非小角度摆的周期研究

徐元熙

摘 要：欲非小角度摆的周期需结合使用理论分析，实验探究，现象推理的方法，周期大小在重力加速度一定，忽略空气阻力的时候，有摆长，摆角与摆锤质量可能对其进行影响。当摆角小于5度，摆长在1米左右，可当作简谐运动处理，其理论结果与实际结果相差不远。而当摆角较大，摆长较小时，不能当作简谐运动处理。因此需要进一步研究。

关键词：单摆；周期；椭圆积分；能量守恒

中图分类号：TB 文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2018.06.080

1 引言

简谐运动为位移与时间关系遵从正弦（或余弦）函数规律的振动，其周期T=2π×mk，其中m为振子质量，k为振动系统的回复力系数，所以知道小角度摆的周期T=2π×Lg，其中L为摆长，g为当地重力加速度。我们认为：小角度摆之所以能够当作简谐运动处理，是因为它的角可以忽略不计，而大角度摆则需同时考虑摆长与摆角，所以需要新的的公式。

2 小角度摆

首先我们从小角度摆进行分析，对于一个小角度摆，其摆角大小趋近于0，设摆角为θ当它达到最高点时，其加速度为θg，将其运动等效于一个匀速圆周运动，其法相加速度等于gθ，同时也等于v2r，其中由于θ比较小，其半径约为Lθ，可以解出v=θgl，该等效圆的周长=2πr=2πθl，其周期为周长与速度的比值，解得t=2πlg，而大角度摆不成立的原因为其运动不能等效于一个匀速圆周运动。

3 理论分析

对于这类问题，一般有4种解法。包括最基本的牛顿第二定律与速度基本公式，比较巧妙的能量守恒，动量守恒。对于能量守恒，只能算出其速度与位移的关系，而对于计算周期并没有什么直接作用，对于动量守恒，由于摆线与重力同时对其作用，由于在一段长时间内在固定方向上动量不守恒，故很难算出其规律，而由于其主体为运动学问题，使用牛顿第二定律不如直接分析其运动，故只能回归最初级的运动分析。由于很容易使用能量守恒算出每一小段的速度，并且可以根据速度算出每一小段所用时间。故很容易想到要使用微积分，从而将每一小段时间进行积分，进而算出整个周期。

4 思路概述

首先，通过能量守恒算出速度，其次，利用角速度是角度关于时间的一阶导数，从而反解小段时间，再将所有小段时间进行积分，再用一系列三角函数恒等变化后，将此积分算出或转变为不可解析积分，从而得出最终答案。

5 理论推导

如图所示，设单摆的长为L，摆锤的质量为m，当单摆的偏角为θ，设此时摆锤速度为v，其动能为12mν2，其重力势能为mgh，通过分析该系统内的几何关系，其中h=l（1-cosθ）由于均为保守力做功，可由能量守恒定律知，其机械能守恒，即动能与势能总和一定，其势能只有重力势能。所以可以列出方程12mv2+l（1-cosθ）mg（c为常数），通过最高点状态，求出常数c，可求出c=l（1-cosα）mg，将c代入得，12mv2+l（1-cosθ）mg=l（1-cosα）mg，化简得12mv2=1mg（cosθ-cosα），进一步化简得v2=21g（cosθ-cosα）（1）

由于角速度为角度的一阶导数，而线速度为角速度乘以半径，则有：

6 实验探究

6.1 实验用具

带横梁铁架台、细线、小球、秒表、游标卡尺、直尺、量角器。

6.2 实验内容

①组装实验器材如图1所示，校准水平，调整角度，使得摆动在同一平面内。

②调整摆长为L1，摆角为thita1，将其由静止释放，并按下秒表。记录摆动15次的时间为t1。

③仿照②改变摆长摆角再做35次。

④分析数据，得出结论。

6.3 实验误差分析

试验中，本地的重力加速度为一个不确定的值。故无法直接按照9.8m/s2算。并且现实中具有空气阻力，测量值会有一定的偏差。椭圆积分只能知道它的近似值，不能知道准确值也会造成少量误差。

7 单摆的应用

7.1 单摆机械钟

图2即是惠更斯摆钟的基本结构。钟的机械动力仍由重錘提供，但擒纵器的摆动频率由单摆控制。一个与擒纵器心轴连在一起的L形杆伸向单摆，L形杆的杆头分叉，刚好卡住刚性的摆棍（如图2），单摆摆动时带动L形杆转动，从而把摆动的频率传递给擒纵器。摆钟的优越性在于，单摆的频率与推动它的初始力量无关，而只与重力和摆长有关，这样守时机构就真的不再受到动力机构的干扰了。之后，惠更斯又发明了一种游丝—摆轮装置。游丝是一个螺旋形的弹簧，连在摆轮上，当摆轮向一个方向转动，使游丝发生形变，产生一个力拉动摆轮回转，在转过平衡位置后，游丝再一次发生形变，又产生一个反向的力，重新把摆轮拉回来。这样就能维持一种能够周期性的震动，像横摆、单摆一样，用来控制擒纵器的频率。游丝—摆轮与单摆一样独立于动力机构，其频率不受其他机械部分影响，而利用游丝—摆轮制成的钟表相对于摆钟的优点主要在于不依靠重力，因此只要设计合理，那么其在移动中仍可准确走时，也就意味着相对更加便携。后来英国人哈里森发明的第一台能够精确运行的航海钟就采用这种机构的。

7.2 测量当地重力加速度

单摆做简谐运动时的周期由单摆的长度和当地的重力加速度决定，其周期为T=2πlg，从中可以看到若能测得单摆运动的周期和摆长，则可计算出当地的重力加速度，这节我们来测量我们所在处的重力加速度。

问题一：测量重力加速度。

解读：单摆在偏角很小（小于10°）时，其摆动可看成简谐运动，其固有周期T=2πlg，由该式可得g=4π2lT2，据此，我们只要通过实验方法测出摆长l和周期T，就可以通过计算得到当地的重力加速度g。

问题二：实验操作过程。

解读：（1）让细线穿过球上的小孔，在细线一端打一个稍大些的结，制成一单摆。

（2）将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂。

（3）用刻度尺和游标卡尺测摆长（摆长l=摆线长l′+小球半径r）。

（4）把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度不大于10°，然后放开摆球让它自由摆动，待摆球摆动稳定后，当摆球过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成50次（或30次）全振动的时间，求出完成一次全振动的时间，即周期T。

（5）改变摆长，反复测量几次，求出重力加速度，算出重力加速度g的平均值。

问题三：实验数据处理方法。

解读：数据的处理一般有两种方法，即计算平均值法和图像法。

（1） 所谓平均值法，就是将测得的几组l、T值代入关系式g=4π2lT2，求出几个g值，然后求平均值。

（2）图像法即以摆长l作为横轴，以T2为纵轴，通过描点作出T2-l图像，求出斜率k，则g=4π2k.则该地重力加速度g=4π2k=4π2tanα。

参考文献

[1]黄正平.单摆周期公式的理解和应用[J].中学生数理化：高二版，2008，（9）.

[2]沈晨，许炎桥，袁张瑾.更高更妙的物理[M].杭州：浙江大学出版社，2010.