一种稳健加权总体最小二乘的新方法

龚循强

1. 东华理工大学测绘工程学院，江西 南昌 330013； 2. 东华理工大学江西省数字国土重点实验室，江西 南昌 330013； 3. 西南交通大学地球科学与环境工程学院，四川 成都 611756

在测绘地理信息实践中，可能会遇到系数矩阵含有误差的情况，如果此时采用传统的最小二乘(LS)方法进行参数估计显然是不恰当的。为了弥补这个缺陷，在顾及权阵的前提下，采用同时考虑观测向量和系数矩阵误差的加权总体最小二乘(WTLS)方法被认为是更可取的。然而，该方法虽然考虑了系数矩阵存在误差的情况，但对于观测向量和系数矩阵中均可能存在的粗差却没有考虑，致使结果较大地偏离真实值。本文研究加权总体最小二乘的抗差估计方法，并将该方法成功应用在测绘地理信息学科的两个相关方面。论文的主要研究工作和成果如下：

(1) 通过对3种具有代表性的加权总体最小二乘方法(加权总体最小二乘的高斯—赫尔默特模型方法、加权总体最小二乘的牛顿—高斯方法和加权总体最小二乘的拉格朗日乘数方法)的比较，表明了加权总体最小二乘的拉格朗日乘数方法在公式推导和计算效率方面的优越性，更为重要的是该方法能够解决观测向量和系数矩阵的相关性问题。

(2) 现有稳健加权总体最小二乘方法(RWTLS-GHM-Huber方法)利用非线性高斯—赫尔默特模型通过适当的线性化迭代得到参数估计结果，该方法解算过程非常棘手，且迭代更新较为琐碎，更为重要的是该方法没有考虑系数矩阵和观测向量可能存在的相关性问题。同时，RWTLS-GHM-Huber方法选取的Huber权函数缺少淘汰段，不利于提高估值的抗差能力，致使抗差效果变差。为此，本文提出基于IGG权函数的稳健加权总体最小二乘的拉格朗日乘数方法(RWTLS-LM-IGG方法)，并给出了该方法的具体求解步骤。

(3) 为了评估RWTLS-LM-IGG方法的优越性，选取了两个评定指标(单位权方差和均方误差)，并采用模拟数据(分别考虑了粗差数量和粗差大小对参数估计结果的影响)和真实数据进行试验，系统地评估了这种方法。通过与WTLS方法和RWTLS-GHM-Huber方法的比较表明：在模拟数据试验中，RWTLS-LM-IGG方法采用IGG权函数，将观测向量和系数矩阵分别进行选权迭代，所得单位权方差和均方误差更小，且随粗差数量和粗差大小增加而增大的速度比WTLS方法和RWTLS-GHM-Huber方法要慢得多。在真实数据试验中，RWTLS-LM-IGG方法能够更好地探测和抵抗数据中可能存在的粗差，从而使其单位权方差估值比WTLS方法和RWTLS-GHM-Huber方法更小。因此，可以认为该方法能够更加有效地减少粗差的影响，从而使得参数估计的结果更加稳健和可靠。

(4) 为了论证RWTLS-LM-IGG方法在高铁桥墩沉降自回归模型预测中的优势，采用两组高铁桥墩沉降观测数据比较该方法与LS方法、稳健最小二乘(RLS)方法和WTLS方法的沉降预测结果。结果表明：在高铁桥墩的自回归模型沉降预测中，RWTLS-LM-IGG方法较LS方法、RLS方法和WTLS方法有更好的预测效果，并且随着预测周期的增加，这一优势也变得越来越明显。

(5) 在遥感图像场景线性回归分类中，分别采用LS方法、RLS方法、WTLS方法和RWTLS-LM-IGG方法对分类模型进行参数估计，根据参数估计结果对遥感图像场景进行线性回归分类。通过3组遥感图像场景数据，将RWTLS-LM-IGG方法与LS方法、RLS方法和WTLS方法进行比较评估。结果表明：采用RWTLS-LM-IGG方法进行遥感图像场景线性回归分类的精度最高。