在高中数学中渗透高等数学理论

◎徐晓方

高等数学课程不但与其它学科联系密切，而且亦是理科、工科及经管等专业学习的基础，是整个大学课程学习的开端。清晰的内容结构和作为数学应用的基础是高等数学课程的特点，使其成为大学数学的基础课程之一。高等数学课程是我们建立知识体系的主要奠基学科，也是高中数学的发展和延伸。高等数学课程作为学习后继专业课程的基础，其教学目的主要是为了让学生了解基本的知识和方法，培养其数学思维方式。高等数学课程包含了许多分支学科，我们在学习中可以发现，高等数学所研究的对象较高中数学来说有了更深层次的追求，涉及了很多新的概念，同时也强调了许多不同的量。我们不难发现，高等数学和高中数学的研究内容及特点有很多相似之处，但是其研究和运算方法却更加繁杂。正因如此，高等数学课程在知识内容上是高中数学的继续与拓展，在观念上是高中数学的深化与发展，在思想方法上是高中数学的沿袭与扩张。本文将从知识方面、思想方面、学科自身性质方面及观念方面探讨高等数学课程与高中数学的联系，同时分析并归纳高等数学理论在高中数学解题中的若干应用，探索高等数学理论在高中数学教学中的渗透作用。

一、高等数学课程与高中数学的联系

非数学专业的学生在进入大学校门后最先接触的数学基础课程就是高等数学，该课程为非数学专业的三大数学类公共基础课程之一，这表明了它在数学基础课程中的重要地位。在接触高等数学课程后，我们不难发现它和高中数学联系十分密切，该课程是联系初等数学、大学数学的枢纽。有些知识由于局限性使得在高中数学中我们无法深入了解，但是到了高等数学课程中就很容易得到解决。下面我们主要探讨高等数学课程与高中数学在知识方面、思想方面、学科自身性质方面及观念方面的联系。

1.知识方面的联系 高中数学课程中我们掌握了函数的概念、性质以及相关运算法则。学习了高等数学课程之后，拓宽了我们对函数更多的认识，深入学习了函数的性质，如函数的单调性、有界性、连续性、凹凸性及函数的极值等性质，相关的运算法则也有了较为严格的定义。同时，在高等数学课程中不仅对高中数学中所学习的函数导数给出了精确的定义，而且也拓宽了函数导数的性质及相关应用，尤其对函数导数的几何意义做了深入剖析。另外，高中数学课程中所学习的各种初等函数、向量、参数方程、坐标系等知识为进一步学习高等数学课程奠定了理论基础。综合以上，不难看出高等数学课程和高中数学课程有很多联系。它不但让我们了解了许多高中数学中未能理解清楚的问题，而且以各个知识点作为实例，由浅入深，为高等数学的学习打下了坚实的基础。

2.思想方面的联系

（1）抽象化思想小学数学通过数具体物体的数量来学习数字，把我们引入了算术运算时期。中学数学通过未知数x，带领我们走进研究简单函数与方程的时期。高等数学课程开始研究抽象的函数问题，引入我们现在所常见的导数、积分、微分方程及多元函数等，使得数学的研究对象发生了巨大变化，这也是高等数学课程抽象化的原因。

（2）类比推理思想类比推理是数学教学中的一种常用思维方法。在数学学习及教学中，合理使用类比推理方法可以使抽象的数学知识变得具体而生动。

3.学科自身性质方面的联系 由于初等数学到高等数学在研究问题和处理方法上有着很大的区别，人们通常认为大学数学中所学的专业知识在高中数学中几乎无用。其实这是一种错误的理解，正是因为有了这样的区别，我们才能从高中数学的解题思维定式中走出来，通过一种更深远的眼光，站在一个更高的角度来看待高中数学问题。高等数学课程是高中数学的延伸和提高，只有对其基础知识充分掌握，才能适应数学的发展和教材的改革。高等数学知识不仅可以提高学生的学习兴趣，还可以拓宽视野，同时也能应用到中学数学题的解法中去，使复杂问题趋于简便化。

二、课程内容在高中数学解题中的应用

1.导数理论在高中数学解题中的应用 导数理论是高中数学的重要内容，但在高中数学中主要侧重于学习导数的基本运算，对导数的严格定义、理论证明和重要应用没有深入讲解。另一方面，导数理论也是高等数学课程研究的主要内容之一，它使各个章节的内容联系得更加紧密，为高等数学的基本内容提供了理论基础。导数理论与高中数学有着密切的联系，该理论在初等数学中有着非常重要的应用，对高中数学解题起到了“居高临下”的作用。相比高中数学内容，高等数学的导数理论无论是深度、广度还是规范化程度都明显增强了。在目前的高中数学教材中，导数理论处于一种特殊的地位。为使学生能够更好地理解函数的性态以及掌握函数思想在数学上的应用，对于一些不能采用或者难以采用初等数学方法解决的问题，一般可通过建立函数关系式，运用函数思想，并借助于导数这个有力工具来研究其性质，轻松简捷地获得问题的解决，这充分体现了导数工具性和应用性的重要作用。在高中数学课程改革背景下，导数知识已经作为高中数学的重要模块之一，这为高等数学课程教学奠定了坚实的基础。反过来，高等数学课程中的导数理论是高中数学中相关内容的发展与深化，其应用非常广泛，几乎涉及到高中数学内容的各个方面，对高中数学的教学与竞赛具有理论指导意义。

2.极限理论在高中数学解题中的应用 极限是高等数学课程内容中的基本概念，是研究微积分学的重要工具。极限理论在高中数学与高等数学中起着承上启下的作用，下面通过举例阐述极限思想在高中数学里的体现。通过这些例题学习与分析来提高对极限思想方法的理解力，进一步揭示用极限思想方法解决问题的简捷性和优越性。