初中数学动点问题解析与思路探讨

◎杨欣

一、动点问题的概述

动点问题可以称为“几何动态”问题，它通常指的是几何图像中，一个可以沿一定方向或在一定范围内移动的动点，在移动过程中能够反映几何图形的变化规律。从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

二、动点的解题思路解析

动点问题是指以几何知识和图形为背景，以运动变化为视角，探讨动点运动中的规律。这些问题揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在关系，以及在一定条件下可以相互转化的唯物辩证关系。这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解。

例1，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N。

（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由。

（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交角CDG的平分线于H，求证：BN＝NH。

（3）过点M分别向AB、AD作垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值。

例2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，sinB＝3／5，点 D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm／s，点P沿A→F→D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动。在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN。设平行四边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2），点P运动的时间为t（s）。

（1）当点P运动到点F时，MQ＝cm；

（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；（3）是否存在某一时间t，使平行四边形PMQN与矩形FDEC重叠部分是平行四边形且面积为15／2？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由。

单动点问题是指只有一个动点，通过综合平行四边形、三角形的性质，结合定理、图形分析和其他知识进行正确的分析和转换，解决这些问题，如例1所示，解决问题的思路如下：在问题（1）中，采用数形组合的方法来解决问题。首先，有三种条件可以使我们根据图像将ABM转换成等腰三角形，即AB＝AM，AB＝BM，AM＝BM。问题（2）以N为移动点，从本质上讲，这是一个将运动点转化为不动点的一般性问题。问题（3）是求最大面积的形式。首先，当M在AC上时，可以根据勾股定理计算出边长，用面积公式求出面积。其次，当M在CG上时，重叠区域为梯形，通过分割得到。

双动点型如例2所示，两个点以相同的速度和不同的方向同时开始运动。他们的想法如下：（1）P点运动过程中，因为F为中点，P和Q的速度相等，可以确定分别AF＝FC＝3厘米，BQ＝AF＝3厘米，再通过MQ∥AC知道△MBQ∽△ACB，由此可以找出答案；（2）在P点从F点移动到D点的过程中，当P点落在MQ上时，可以得到t＋t－3＝8的表达式。（3）可以根据问题计算和图形DE＝1／2，AC＝3，DF＝1／2，BC＝4，然后证明△MBQ∽△ABC和MQ＝3／4t，由此可以分类讨论问题：（1）当3≤t＜4时，重叠部分的图形为平行四边形，y代入求解即可；当4≤t＜11／2时，重叠部分为矩形，根据图 y＝3［（8－t）－（t－3）］。当11／2≤t≤7时，图形的重叠部分为矩形。根据图，y＝3［（t－3）－（8－t）］，同理计算得出结果。

三、几何画板演绎动点辅助教学

教师解决动态问题可能相对简单，但在日常教学中，如何清晰地向学生解释动态问题是一个很大的难题。因此，信息社会为教师带来了新的方法——几何绘图板等数学软件，来解决动点问题，方便老师展示教学内容。根据相关调查显示，学生喜欢在数学课上学习几何画板，用几何画板软件上数学课的支持率高达100%，90%的受访者认为几何画板在数学教学中，可以使抽象的数学知识简单、直观、生动和具体，更容易被接受和理解。

四、结语

动点问题是指与一个或多个点在指定区域内移动有关的问题，通常伴随着点移动的各种变化。“动点”分为点的运动和线的运动（数不清的点构成线），所以动点问题往往与函数和几何有关。一般来说，动点问题可以分为动点问题和动线问题，而动点问题包括单动点问题和双动点问题。在运动点问题的日常教学中，可以使用几何绘图板等数学软件直接描述运动点的变化，辅助教学。