符号意识:一种有意味的“准代数素养”

2018-04-12 09:20吴连红
数学教学通讯·小学版 2018年2期

吴连红

摘 要:數学教学要发展学生的“准代数素养”,就必须重视对学生进行符号意识的培育。教师要关注学生数学表达,启蒙学生代数思维,建构数学代数模型。学生经历了符号化体验、符号化运用、符号化创造过程,就能形成鲜明的数学符号意识。

关键词:符号感;准代数;准代数素养

英国著名数理逻辑学家罗素曾经这样说,“数学的本质是概念和符号”。德国著名数学家莱布尼茨也曾说:“符号的巧妙和符号的艺术,是人们绝妙的助手,因为它们使思考工作得到节约。在这里它以惊人的形式节省了思维。”符号是数学学科的基本特质。在小学数学教学中,学生的符号意识主要体现在:能够自觉地运用符号表示数、数量关系、变化规律,能够初步运用符号进行运算、推理。只有学生形成了鲜明的“符号意识”,才能培育其“准代数素养”。

一、关注数学表达,点燃符号意识

苏联著名教育家斯托利亚尔说,“数学教学就是数学语言的教学”。的确,某种意义上,学生学习数学,就是学习一种语言,无论这种语言是用文字表达,还是用图形或者符号表达。在学生的数学表达中,文字语言通俗、图形语言直观、符号语言抽象但具有普适性。教学中,教师要允许学生的文字语言、图形语言表达,但要引导学生向符号语言积极迈进、提升。要让学生领悟符号所表达的意义,能够将文字语言、图形语言和符号语言进行积极的转换。

例如在《运算律》(苏教版小学数学四年级下册)教学中,不仅要让学生理解交换律、结合律和分配律,更要让学生将自己的理解表达出来。如有学生在表达“加法结合律”时,先是直接表述操作过程:三个数相加,可以先把前两个数相加,再加上第三个数,也可以先把后两个数相加,再加上第一个数。这样的表达让人觉得冗长,听得费力。于是,有学生尝试运用直观的图形进行表达,比如(△+☆)+○=△+(☆+○)等。在图形表达中,有学生认为,☆好像一个不守信用的人,一会儿与△处好朋友,一会儿又与○处好朋友;有学生认为,谁能够和☆凑成整十数、整百数,☆就和谁处好朋友;还有学生说,处好朋友的时候,好朋友的家的位置不能变化……显然,学生通过直观的数学语言,已经对“加法结合律”的特点有了较为感性而深刻的把握,但图形在有些学生眼里还是具体的。教学中,笔者引导学生用符号进行表达。于是,有学生尝试运用抽象的符号表示:(a+b)+c=a+(b+c),有学生发现,“加法结合律”有一个特征,就是组成算式的数字顺序不变,变的只是运算顺序;有学生发现,运用“加法结合律”,只有连加才能运用……正是由于学生能够在不同语言之间进行互译、沟通,学生才能够对诸如“89+75+25=89+(75+25)”之类的习题进行灵活判断与选择。

数学表达有助于点燃学生的符号意识。在数学等价叙述中,学生能够将自己对数学定理、定义等的理解表征出来。值得注意的是:培养学生的符号意识并不能一蹴而就,而是一个从“具体事物的认识”到“个性化符号表示”再到“学会数学表示”的循序渐进的过程。这个过程,是学生的数学符号意识的萌芽、开花和结果的过程。只有当学生经历了数学化的语言表达,才能发展学生的数学思维,提升学生自主学习的品质。

二、启蒙代数思维,形成符号意识

学生数学符号意识的发展是一个循序渐进、潜移默化的过程。教学中,教师应当积极启蒙学生的代数思维,让学生形成自觉的符号意识。法国著名思想家、数学家笛卡尔说,“所有的数学问题都可以转化成代数问题”。正是由于代数思想,才赋予了数学自然生长的力量。正如张奠宙教授所说,“原来用算术解决问题,只局限于一题一小技,只会爬、滚,而自从有了代数,解决问题犹如有了翅膀,会跑、会飞了。数学的问题解决更自由了”。在小学数学教学中,教师应当结合相关的内容有意识地设计形成学生符号意识的材料,让学生展开符号化活动。

例如教学《正反比例的意义》(苏教版小学数学六年级下册),通常教法是:教师单独教学正反比例,导致学生今天学习正比例,就会判断成正比例的量;明天学习反比例,就会判断成反比例的量。教学过程简单化、线性化。从写出数量关系到将数量关系变形,直导学生判定。如此,有学生在正反比例学习中依葫芦画瓢、简单模仿,尽管能够准确判定两种量之间的关系,但却不能理解两种量之间特定的依存关系。笔者在教学中,将正比例、反比例和不成比例的数量联通起来,进行统整优化式的主题教学。如此,学生在学习、判定时没有了固定的模式、套路,而必须根据两个数量之间的变化规律进行合理的分析。教学中,笔者首先出示了多种素材,诸如“蜡烛燃烧与汽车行驶”“两个人的年龄变化”“人的身高和体重”“正方形的周长和边长”“一块砖的面积和房间的总面积”“书的单价和书的数量”“正方形的边长和面积”“股市行情”“被减数和差”等。在这个过程中,学生对具体的数量不再是感悟式的判断,而是自己假设数据,列表、画图,根据两种量所对应的两个数的动态变化关系展开理性判断。孩子们发现,在这些量中,有的一种量变化,另一种量不发生任何变化;有的一种量扩大,另一种量也扩大;有的一种量增加,另一种量也增加;有的一种量增加,另一种量反而减少;有的一种量扩大,另一种量反而缩小……学生通过对多样化素材的分类分析和聚类分析,形成对“正比例解析式y/x=k”和“反比例解析式xy=k”的深刻理解。这个过程发展了学生的代数思维,渗透了数学的函数思想。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出,发展学生的符号意识是数学教学的重要内容。在数学课堂中,教师应充分挖掘算术中的代数特性,精心呵护与扶植学生的准变量思维。准变量思维是学生从“算术思维”发展到“代数思维”的桥梁和纽带。在数学教学中,教师要依循学生的认知规律,充分把握学生的认知基础和潜在困难,制定合理的代数教学目标,逐步打开学生的代数之门。

三、建构代数模型,创造符号意识

数学的显著特点是形式化、符号化,每一个概念或关系都有确定的符号表示。用符号表示数、数量及其数量关系是代数学的一个基本特征。同时,学生代数思想的形成经历了一个从感性到知性再到理性的应用过程。教学中,教师不仅要引导学生认识符号、理解符号,还要让学生灵活地运用符号、创造符号,不断激活符号生长过程中的各种因子,帮助学生建构数学模型,让学生感受到“数学模型”的魅力。

例如部分学生在解决这样一道计算题——“888888×123457-888889×123456”(苏教版小学数学教材四年级下册)时不知所措;部分学生借助计算器解决问题;还有一部分学生能够感受到算式中潜藏着规律特征。如何运用这样的习题拓展学生的符号思维?笔者在教学中引领学生观察。学生发现,888889比888888多1,而123457比123456多1,于是有学生猜想算式结果为0,但这只是一种直觉。教学中,笔者启发学生创造符号表征算式,激活学生用字母表示数、用符号表征算式的需求。于是,学生纷纷展开尝试,有学生用a表示888888,用a+1表示888889,将原式改写成123457a-123456(a+1),据此解决问题;有学生用a表示123456,用a+1表示123457,将原式改写成888888(a+1)-888889a,据此解决问题;还有学生用a表示888888,用b表示123456,将原式改写成a(b+1)-(a+1)b,据此解决问题。应该说,学生用符号表示算式的方式是充盈的,他们在用数学符号解决问题的过程中充分感受、领略到符号的魅力,在播种符号、创造符号的过程中激活了学生的代数思维,催生了数学模型的建立。这种逐步展开的符号化学习,能让学生对符号的意义和价值获得更多的体验、感悟,让学生自觉地走进符号化的数学世界。

当然,学生代数意识的启蒙不能仅仅局限于“字母代数”,也要习惯于对“数字代数”的意义建构。学生徜徉在建构、创造数学符号的路上,就能领略到数学符号的简约之美、严谨之美、抽象之美、統一之美等。在这个过程中,学生能领略到数学的符号化魅力,他们收获的也不仅仅是数学之美,还会产生更多的数学发现,体验到数学发现后的惊喜。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出:“要用符号表示数、数量关系和变化规律。”可见,发展学生的符号意识,培养学生的“准代数式”思维是数学教师义不容辞的责任。著名数学教育家弗赖登塔尔说得好:“与其说是学习数学,毋宁说是学习数字化;与其说是学习公理,毋宁说是学习公理化;与其说是学习形式,毋宁说是学习形式化。”符号赋予了学生数学问题解决的力量。在数学教学中,教师应该有意识地为学生提供运用符号的机会,帮助学生逐步建立数学代数思想。只有学生经历了数学化、符号化的活动,才能积累丰富的数学符号化经验,才能在数学符号化体验、符号化运用、符号化创造中优化符号意识。