学生计算技能形成的心理分析及教学策略

周吉锋

摘 要：计算是学生数学学习的重中之重。着眼于学生的计算心理，教学中教师可以引导学生在生活化的情境中建构算法，在物质化的操作活动中建构算法，在图形化的诠释中建构算法，在形式化的表达中建构算法。通过算法建构、算理理解，让学生的计算技能逐步形成，并逐渐达到准确化、智能化和快捷化的境界。

关键词：计算技能；心理分析；教学策略

计算是学生数学核心素养中最基本的技能，在学生的数学学习中占据着重要地位。有学者甚至将计算与思维并列，称为“数学的本质”。德国著名教育家赫尔巴特曾经这样说，“所有确定的知识，都必须从计算开始”。作为一种心智技能，衡量学生计算水平高低的主要标识为：计算的准确度、计算的速度、计算的灵活性和对计算算理算法的清晰度。小学计算包括三种类型：一是口算；二是笔算；三是估算。所有的计算，都必须理法（算理和算法）融通。从心理学视角看，计算是一种心智活动技能，其发展总是从低级走向高级、从简单走向复杂、从具体走向抽象。

一、激活心理经验，在生活化情境中建构算法

学生的经验往往是计算算理的重要组成部分，抽象的计算算法往往需要学生生活经验的支撑，只有在经验化的情境之中，学生才能因景生情、因情生思。以情境作为背景，能够让学生深度理解计算的顺序、计算的算理等。学生对计算算法的体认过程往往是在数学知识与生活经验间来回穿行的过程。在生活经验的情境中学习计算，能够顺应学生的认知思维、计算思维和数学知识的自然生长。

例如苏教版小学数学四年级下册的《运算律》，教材都是从学生生活化的经验情境入手，引导学生提出问题、分析问题、解决问题，然后形成相应的数学猜想，接着引导学生根据相应的数学猜想，借助计算或者生活经验进行验证，建构从个别到一般的数学模型。如《加法的交换律和结合律》，教材的情境图是这样的：28个男生跳绳，17个女生跳绳，23个女生踢毽子。跳绳的有多少人？跳绳的和踢毽子的一共有多少人？教学中，笔者从问题情境中的数量关系出发，从问题情境中问题解决的方法出发，引导学生列出算式，28+17与17+28，（28+17）+23与28+（17+23），进而形成加法交换律和结合律的数学猜想。通过举例验证，学生发现两道算式的得数相同。由此，学生从生活原型抽象、建构出数学模型——“△+☆=☆+△”“（a+b）+c=a+（b+c）”等。

在生活化情境中，学生计算心智活动技能的形成不是无源之水无本之木。当学生在计算中遭遇挫折、障碍时，学生可以时时返回经验的源头，去找寻算理理解、计算顺序理解的支撑。如对于这样的计算题：135-99，有学生用“135-100+1”，有学生用“135-100-1”。于是部分学生主动运用这样的生活事理来阐释：妈妈带了135元买99元的生日蛋糕，递给营业员100元，营业员找回1元，连同剩下的零头35元，合起来是36元。在这里，生活经验成为学生理解计算顺序、算法的强而有力的武器。

二、建立心理图像，在物质化操作中建构算法

苏联著名教育心理学家加里培宁认为，学生计算的心智活动技能是一个从外部的物质活动向内部的心理活动转化的过程。所谓“物质化活动”，是指学生借助实物或实物的模拟物如小棒、圆片、模型等具有齐性的教具或者学具将数学学习内容表征出来，然后进行观察、操作、比较、想象、实践等的活动过程。在这个过程中，外在的物质化活动能够逐步成为学生内在的心理图像，外在的计算知识能够逐步内化为学生的计算技能。

例如教学《9加4》（苏教版小学数学教材第1册），这是学生在学习了20以内的数之后组织的学习活动。苏教版数学教材以主题图的形式呈现：盒子里有9个桃子，盒子外有4个桃子。一只猴子在思考：一共有多少个桃子？通过主题图，学生发现这是一个属于“合并”的数学问题，因此很快地列出算式：9+4。接着，有学生借助自然数的序数和基数意义进行数数，从9往后数，得到了14。显然这不是一个好的计算方法。基于此，笔者在教学中运用PPT课件，展示了盒子里的9个桃子，盒子外的4个桃子。首先提出这样一个数学问题驱动学生的数学思维：怎样移动桃子，就能让我们一眼看出一共有几个桃子？孩子们纷纷指出，可以将外面的一个桃子移到盒子里面。课件动态展示了桃子的移动过程，这种动态的感知，为学生的物质化操作奠定了基础。接着，学生将手中的小棒分成两部分：9根和4根，他们从4根里面拿出1根放到9根里面，凑成10根，也就是1捆。这种操作，丰富了学生的心理表象，形成了这样的感悟：可以将4分成1和3，9和1合起来是10，10和3合起来是13，由此，学生形成“凑十法”的计算模型。这种算法的构造对于学生今后的计算将产生深远的影响。不仅是“凑十法”，计算中的“凑整”思想方法也在这个过程中悄悄地萌芽。

物质化的操作活动让学生获得了动觉经验，学生将逐步摆脱具体的物质化操作，而在头脑中多次重复这一过程。这是一个心理图像得以建立的过程。笔者发现，许多学生在计算时从边算边说这样的操作过程逐渐过渡到内部言语，最后演变为计算的心智技能。

三、丰富心理表征，在图形化诠释中建构算法

“数形结合百般好，隔离分家万事休”。学生在计算过程中，数与形相互结合，能够丰富学生的心理表征。将抽象的数的计算与形象、直观的图形进行相互转化，是让学生领悟算理、明确算法的有效路径。在计算中，算理是说明算法的依据、道理，因而是建构算法的基础。而算法则是算理的简约化、抽象化的概括，是对算理的抽象和提升。如果说，算理是计算的道理、原理的话，那么算法则是计算的模型、操作程序。算理回答的是“为什么”的问题，算法回答的是“怎么做”的问题。算理和算法相辅相成、相互促进。学生计算心智技能发展的最高境界就是“理法通融”，即既理解算理，又通透算法。

例如教学苏教版小学数学教材第10册的《解决问题的策略——转化》，对于 “1/2+1/4+1/8+1/16”这样的计算，有教师在教学中针对本题的特征让学生画图，学生先画一个正方形表示单位“1”，然后在正方形上依次表示出1/2、1/4等。通过图形直观，学生直接解决问题。这里，从表面上看，尽管学生在解决问题的过程中也采用了数形结合，但学生的这种数形结合仅仅是一个特殊题目的解决策略而已。如何让这种静态的算法建构转变为学生动态的算理理解？笔者在教学中是这样处理的：单位“1”可以用正方形来表示，1/2怎么表示？1/4呢？据此，学生首先将算式中的一个个分数分别在一个图形中进行表示，并且洞察了这些分数之间的关系，明晰了相应的图形操作。在此基础上，引导学生从图形的整体入手，形成解決问题的策略，建构出新颖、创新的算法。有了这样一个心理表征的丰富过程，学生在计算诸如1/3+1/6+1/12+…+1/48，1/4+1/8+1/16+…+1/64等计算题时就能够左右逢源、得心应手、游刃有余。一系列的图形表征、操作，让学生形成了认识上的飞跃，从中发现了计算的规律。

算法是算理的外衣。如果算理不清，那么算法就难以牢固。而如果算法不明，那么学生的计算技能就难以形成。教学中，教师引导学生借助“图形”，用“形”表“数”，以“形”驭数，学生透过算法的外衣能够深度探寻到算理的内在本质。借助图形化的心理表征，学生得以成功地建构算法。

四、深化心理理解，在形式化表达中建构算法

学生对计算算法的建构过程是一个形式化、符号化的过程。无论是低年级的“凑十法”“破十法”“平十法”等计算模型的建构，还是低中年级的笔算竖式形式写法的确立，无论是中高年级计算顺序的揭示还是中高年级简便运算律的使用，究其本质，都是学生的经验、操作、图形表征不断积累、调整、利用、提升的形式化过程，是学生的一种积极主动的建构。在这个过程中，教师要深化学生对计算的心理理解，尤其要关注算理中蕴含的数学思想方法，体现的丰富的数学活动经验。

例如教学《运算律》，当学生形成了加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律以及分配律形式化的符号表达后，笔者为了深化学生的心理理解，让学生对着运算律的符号表达式，阐述符号表达式所表示的意思。学生从文字到符号，又从符号到文字，对运算律形式的心理理解更加深刻。在学生运用这些符号表达式进行简便运算后，笔者引导学生概括这些运算律的特质。有学生认为，交换律的特点是数字顺序变了，其他的如计算顺序、计算方法、计算结果都不变；有学生认为，结合律的特点是计算顺序变了，其他的如数字顺序、计算方法、计算结果都不变；有学生认为，分配律的特点是计算方法变了，计算结果不变；有学生认为，运算律能让计算变得简便，但计算时思維过程复杂了；有学生认为，运用简便运算要注意计算结果不变，这一点我们可以用来判断运算律用得对还是错……在这种对形式化、符号化算法的多向交流、探讨、表达中，学生对运算律的心理理解更丰富、更深刻了。他们将整个运算律的知识点连接起来，形成了一个系统的、有结构的、有指导性价值的知识网络。这种建立在对算法特质深化理解基础上的运算律对学生的计算实践更具科学的指导性。

对于计算算法中的形式化符号以及学生计算技能的形成，教师不能让学生机械识记，也不应对学生的计算技能进行过度的强化训练，而应引导学生在深度理解算理、掌握算法基础上，对算法进行多向度辨析，以此开发学生的计算思维，深化学生对算法形式化符号的理解。

计算教学不仅要关注学生计算的准确度、理解度，还要关注学生计算的创新度。在计算教学中，教师通过激活学生的心理经验、建立学生的心理图像、丰富学生的心理表征等，不断改善教学方式，让学生在算理理解、算法建构、技能形成以及思维开发等诸方面都能得到发展。扎实、有效地推进计算教学，能够让学生的计算达到准确化、智能化、快捷化的境界。