椭圆积分在理论力学中的应用

张存　刘建林　陈立明

【摘 要】椭圆积分表達形式优美而简练，是开展力学、物理理论研究的重要工具之一。在理论力学、大学物理等本科课程中也存在很多问题可用椭圆积分进行精确求解。其中大学物理相关实例已有大学物理教育工作者对其进行了总结。而对于理论力学中的相关实例，其精确解答多出现在分析力学、非线性动力学等专著中，在理论力学教材中却鲜有讨论。本文对理论力学教材中涉及椭圆积分的相关动力学问题进行了系统总结，并利用椭圆积分给出了相应的解析解。然后从椭圆积分定义出发，给出了一类可用椭圆积分表示的动力学方程。这一总结有助于我们深刻认识这些动力学模型的物理本质，同时也为理论力学课程开展研究性学习提供有益参考，并且激发学生进行科学探索的好奇心。

【关键词】椭圆积分；单摆；复摆；圆轮滚动；直杆滑落

中图分类号： O411 文献标识码： A 文章编号：2095-2457（2018）04-0022-003

Applications of Elliptic Integrals in Theoretical Mechanics

ZHANG Cun1 LIU Jian-lin2 Chen Li-ming3

（1.Department of Engineering Mechanics， Shijiazhuang Tiedao University， 050043 Shijiazhuang， China；

2.College of Pipeline and Civil Engineering， China University of Petroleum （East China）， 266580 Qingdao， China；

3.College of Aerospace Engineering， Chongqing University， 400030 Chongqing， China）

【Abstract】Elliptical integrals are very useful in the theoretical study of mechanics and physics. In fact， many problems in the undergraduate courses "theoretical mechanics"， can be solved analytically using elliptical integrals. In this paper， these cases have been summarized， whose solutions are expressed with elliptical integrals. Meanwhile， a type of typical dynamics systems are discussed， whose solutions can be described using elliptical integrals. This study may be helpful in understanding the physical nature of these above nonlinear dynamics systems， and could be used as teaching materials for the inquiry-based learning in theoretical mechanics.

【Key words】Elliptical integral； Simple pendulum； Compound pendulum； Cylinder rolling on a cylindrical surface； Falling rod

0 前言

椭圆积分是一类重要的特殊函数，其结构简练、优美，因而在力学、物理等领域中得到了广泛应用，受到很多学者的青睐[1-3]。例如材料力学中细长杆发生弹性大变形的形貌[4-6]、表界面力学中固体表面上液滴的轮廓形状[4-7]、非线性动力学中弹簧振子的非线性振动[8]，以及电磁学[9]等各类问题中都成功应用了椭圆积分。本文作者也利用椭圆积分开展了一系列关于表界面力学方面的研究工作，主要包括：刘建林等人给出了单根碳纳米管在范德华力作用下截面的坍塌形貌[6]、张存等人给出了粘附碳纳米管的半坍塌构型以及坍塌构型[5]；刘建林等人给出了悬臂梁发生大变形粘附时的构型[4]；刘建林等人给出了固体表面上液滴的轮廓形状的解析解[1]。

除了上述问题，在动力学中也存在大量与椭圆积分相关的问题。例如对于单摆摆动这一经典问题，在当前通用的理论力学和大学物理等教材中均直接假定其振动幅度为小摆角，然后采用线性化的假设就可以得到以三角函数表示的周期解。而实际工程中，很多单摆将会发生大幅度振动，目前对于单摆具有大摆角时的研究则很少见诸报道，故而通用教材中鲜有涉及。该问题实际上可以用椭圆积分给出精确解答；另外，在理论力学中还存在其它可用椭圆积分求解的算例，涉及到很多动力学问题。由于椭圆积分形式简单，可以代替冗长的数值结果或者级数表达式，因此从科学方法论的角度来讲，在教学中引入它可以使问题的解答变得简单明了。从课堂教学效果的角度来看，椭圆积分使得这些动力学问题的解答变得完备，可以大大拓宽学生的知识面，有助于培养学生宏观把握问题、全面思考问题、正确解决问题的能力。

有鉴于此，全面梳理这些从不同角度提出的问题，然后统一从椭圆积分形式角度展示其核心脉络，已经势在必行。故此，本文针对理论力学教材中出现的一些涉及椭圆积分的动力学问题进行了分析总结，并给出了利用椭圆积分表示的精确解答，并揭示其内在统一性。

1 应用举例

1.1 单摆问题

第一个例子就是单摆问题，它也是大学物理及理论力学中经常讨论的一个经典问题。但是，在一般教科书中通常只讨论单摆发生小摆角振动情况下的解答，而很少讨论其大幅度振动。如图1所示，设单摆的长度为l，端部小球质量为m；初始时刻小球速度为零，摆角为θ0（0<θ0<π/2）。将小球看作质点，由机械能守恒得

m（l）-mglcosθ=-mglcosθ（1）

两边对式（1）进行求导，可以得到相应的微分方程为

+sinθ=0（2）

其中=，=。

很显然，当θ很小时，sinθ≈θ，该问题的解答为

θ=θ0cosω0t

其中θ0为振幅，ω0=为角频率。显然，单摆振动周期为T0=2π。

对于大摆角情况，在周培源先生编著的《理论力学》教材[12]中有详细的讨论。该问题可以将时间 表示为转角 的积分形式：

t=？蘩（3）

其中转角的取值范围为-θ≤θ≤θ0。由该问题的对称性，本文只考虑0≤θ≤θ0的情况（下同）。

引入变换k=sin>0以及sin=ksinφ（0≤φ≤），则式变为

t=？蘩=[F（k，）-F（k，φ）]（4）

其中F（k，φ）=？蘩dφ为第一类不完全椭圆积分。

因此，大摆角单摆的振动周期为

T=4K（k）（5）

其中K（k）=F（k，）为第一类完全椭圆积分，下同。

1.2 复摆问题

图2所示复摆（或称物理摆），其质量为m，质心为点C，摆对悬挂点O的转动惯量为Jo。设初始时刻该复摆角速度为零，摆角为θ0（0<θ0<π/2）。则利用椭圆积分，可以求得该摆的摆动周期。

利用刚体绕定轴转动的微分方程，可得该物理摆的转动微分方程：

+sinθ=0（6）

与方程及其解答进行对比可知，复摆的周期为

T=4K（sin）（7）

1.3 圆轮纯滚动问题

如图3所示，一均质圆轮半径为r，质量为m，在半径为R的圆弧上往复滚动。设表面足够粗糙，圆轮做纯滚动。设初始时刻圆轮角速度为零，摆角为θ0，则可以求得圆轮质心的运动方程。

由机械能守恒定律，有

JCω+mv-mg（R-r）cosθ=-mg（R-r）cosθ

将JC=mr2、vC=-（R-r）、ωC==-代入上式并整理，得

+sinθ=0（8）

与方程及其解答进行比较可知，圆轮纯滚动的周期为

T=4K（sin）（9）

1.4 直杆滑落问题

如图4所示，均质细杆AB长为2l，质量为m、相对质心的转动惯量为JC=ml2，上端A沿墙壁向下滑，下端B沿地板向右滑，不计摩擦。初始时刻直杆角速度为零，与墙面的夹角为θ0。类似地，也可求出脱离墙面之前杆的运动方程。

由机械能守恒，有

m（l）+JC+mglcosθ=mglcosθ（10）

相应的微分方程为

-sinθ=0（θ≤θ≤）（11）

对比方程及其解答可知，该问题的解答为

t=？蘩（12）

这里需要注意的是，转角θ的取值范围为θ0≤θ≤，因此有cosθ0≥cosθ。

引入变换cos=cossinφ（0<φ≤），k=cos>0，则解答可用椭圆积分表示为

t=？蘩

=[F（k，）-F（k，φ）]（13）

1.5 讨论

上面列举的几个典型动力学问题，其解答均可以用橢圆积分表示。对于一个一般性的动力学问题，如何才能判断它是否能够用椭圆积分来表达呢？在这里，我们尝试从椭圆积分的定义出发给出一些判据。

对于保守系统，由机械能守恒得

2+V（u）=E0（14）

其中u为广义坐标，=，=，2为广义动能，V（u）=？蘩f（u）du为广义势能，E0为系统的总机械能。

对上式两边进行时间的求导运算，则与之对应的微分方程为

+f（u）=0或=-f（u）（15）

方程可以通过两边乘以dt=du并积分得到：

？蘩dt=？蘩d=？蘩f（u）dt=-？蘩f（u）du

对式进一步积分，得

t-t0=？蘩（16）

由椭圆积分的定义[10]，当势能函数 是 的三次或四次多项式（等价地，函数 为 的二次或三次多项式）时，该问题可用椭圆积分表示。显然，无阻尼无驱动的杜芬方程 便属于该种情况。该微分方程的精确解答可表示为

t-t0=？蘩（17）

对于如何将此式表达为椭圆积分超出了本文的讨论范围，感兴趣的读者可参阅文献[13]。

在本文所举算例中，令u=sinθ，则有

t-t0=？蘩

=？蘩（18）

可以验证这些算例（1-u2）[EO-V（u）]均为u的三次或四次多项式，因此可以用椭圆积分表示。

通过上述讨论可知，若动力学系统为保守系统，且其广义势能可表示为自变量的三次或四次多项式，或者其广义势能可表示为自变量正弦或余弦的一次或二次多项式，则该问题可用椭圆积分表示。

2 结论

本文对理论力学教材中可用椭圆积分求解的动力学问题进行了较为全面的总结，并利用椭圆积分给出了相应的解析解。最后，给出了一类解答可用椭圆积分表示的普遍动力学方程。本文工作有助于我们深刻认识这些动力学模型的物理本质，激发学生的探索欲望，同时也为理论力学研究性教学提供有益参考。

【参考文献】

[1]J.Liu，X.Feng.On elastocapillarity：A review.Acta Mechanica Sinica，2012，28，928.

[2]A.J.Brizard.A primer on elliptic functions with applications in classical mechanics[J].European Journal of Physics，2007，30，729.

[3]J.Snape.Applications of Elliptic Functions in Classical and Algebraic Geometry[D].University of Durham，2004.

[4]J.Liu. Analogies between a Meniscus and a Cantilever[J].Chinese Physics Letters，2009，26，116803.

[5]C.Zhang，L.Chen， S. Chen. Adhesion between two radially collapsed single-walled carbon nanotubes[J].Acta Mechanica，2013，224，2759.

[6]J.Liu，R.Xia.A unified analysis of a micro-beam，droplet and CNT ring adhered on a substrate：Calculation of variation with movable boundaries[J].Acta Mechanica Sinica，2013，29，62.

[7]B.Roman，J.Bico.Elasto-capillarity： deforming an elastic structure with a liquid droplet[J].J Phys Condens Matter， 2010， 22， 493101.

[8]劉延柱.非线性振动[M].北京：高等教育出版社，2001.

[9]张之翔.电磁学中几个简单问题里的椭圆积分[J].大学物理，2002，21，22.

[10] 王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论[M].北京：北京大学出版社，2012.

[11]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学I（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[12]周培源.理论力学[M].北京：科学出版社，2012.

[13]A.H.Salas，J.E.Castillo H. Exact solution to Duffing equation and the pendulum equation[J].Applied Mathematical Sciences，2014，8，8781.