采用空间解析几何求解多支接闪杆保护范围的原理

朱 奎 荣

(浙江省湖州市气象局, 浙江 湖州 313000)

0 引 言

GB 50057—2010《建筑物防雷设计规范》[1]在附录D中列举单支接闪杆、双支接闪杆等几种常规的接闪器保护范围计算方法。但在实际工作中,由于场地限制、地表起伏以及新旧防雷装置不统一的原因,导致多支接闪杆不能按规则、等高的方式布置,其内侧保护范围的计算成为复杂、繁琐的过程,因此防雷技术人员利用软件计算多支接闪杆保护范围[2-8]。结合实际情况,认为此种软件需要满足以下条件:软件对硬件无要求,能在各种智能手机上使用;软件计算速度快,占用计算资源少,在计算过程中不会产生卡顿现象,能实现即时输入数据和即时输出数据。

根据以上条件,本文介绍一套可以计算多支接闪杆保护范围的软件,阐述该软件算法的基本思路,给出算法推导过程,并提供实例计算过程。

1 算法的基本思路

根据滚球法的性质,3支呈三角形布置的接闪杆在3个针尖形成的三角形外接圆半径小于滚球半径的条件下,可以计算出滚球的球心坐标,从而确定其内侧的保护范围。对于多支接闪杆,则可以将其分解为若干组呈三角形布置的接闪杆组合,在确定每一组合的保护范围后,对所有组合的保护范围取并集,则可以求出多支接闪杆总的保护范围。可见,求解三角形布置的接闪杆的保护范围是求解多支接闪杆保护范围的核心,而求解滚球球心坐标是求解三角形布置的接闪杆保护范围的核心[9-10]。

根据接闪杆的顶点坐标和滚球半径,可以列出一个球面方程组,求得滚球的球心坐标,但该方程组的求解非常繁琐。若已知3支接闪杆的针尖形成的三角形外接圆圆心坐标,则可以将问题转化为比较容易求解的直线方程和平面方程。

2 建立XYZ坐标系,确定各平面、直线和点之间的关系

建立XYZ坐标系,设3支接闪杆的杆尖的编号分别为A点、B点、C点,可组成空间三角形ΔABC,其各顶点的坐标分别为(XA,YA,ZA)、(XB,YB,ZB)、(XC,YC,ZC)。为降低推导的复杂程度,在建立坐标系时应注意:① 以高度最低的杆尖为A点(若有两支高度最低的接闪杆,则为该两杆中的任意一根);②A、C点连线在XOY坐标平面上的投影平行于X轴(即YA=YC);③A、C点在X轴上的坐标应保证XC>XA;④B点的Y轴方向坐标应保证YB>YA。平面、直线与点之间的空间位置关系如图1所示。

图1 平面、直线与点之间的空间位置关系

若建立的坐标系使各顶点的坐标不满足条件①～④,则应增加判断最低杆高以及旋转、平移坐标系的步骤,确保旋转、平移坐标系后各顶点的坐标符合上述要求。

为确定各平面、直线和点的关系,首先要确定以下各平面、直线方程式的系数。

(1)A、B、C三点形成的平面的平面方程1:

αx+βy+γz+D=0

(2) 平面方程1与XOY坐标平面相交形成的直线方程1(当3个针尖的杆高相同时,不存在直线方程1):

αx+βy+D=0

(3) 通过A、C两点的直线方程2:

为正确旋转、平移坐标系,需要确定以下各平面、直线和点之间的关系:

(1) 直线方程1与直线方程2的夹角θ(存在直线方程1的条件下)。

(2) 平面方程1与XOY坐标平面的夹角Φ。

(3)A点到直线方程1的垂点L的坐标(XL、YL)以及距离j(存在直线方程1的条件下)。

(4) 直线方程1与X轴的夹角Ω(存在直线方程1的条件下)。

(5) 空间三角形ΔABC的边长a、b、c、外接圆的半径r以及∠A的余弦值。

(6) 球心到外接圆圆心的距离d1,若外接圆半径r大于滚球半径R,3支接闪杆的保护范围应根据单支接闪杆或双支接闪杆进行计算。

3 建立新坐标系,确定外接圆圆心坐标后平移、旋转坐标系

以A点为坐标原点,使C点位于X01轴上,在平面方程1所在平面上建立X01Y01Z01坐标系,如图2所示。

图2 X01Y01Z01坐标系

已知空间三角形ΔABC三边的边长和∠A的余弦值,可以求得A、B、C三点在X01Y01Z01坐标系中的坐标,并根据中垂线的性质,求得三角形ΔABC在该坐标系内的外接圆圆心坐标(X010,Y010,Z010),然后根据各平面、直线和点的关系,以A点为原点旋转、平移坐标系,具体流程如下:

(1) 旋转Z01轴,旋转角度为Φ,使X01轴与直线方程1平行,建立X02Y02Z02坐标系,则可以求得三角形ΔABC的外接圆圆心在X02Y02Z02坐标系下的坐标(X020,Y020,Z020),如图3所示。

图3 X02Y02Z02坐标系

(2) 将X02Y02Z02坐标系沿Y02轴平移至L点,建立X03Y03Z03坐标系,则可以求得三角形ΔABC的外接圆圆心在X03Y03Z03坐标系下的坐标(X030,Y030,Z030),如图4所示。

图4 X03Y03Z03坐标系

(3) 旋转X03轴,旋转角度为Φ,使Z03轴与XOY坐标平面垂直,建立X04Y04Z04坐标系,则可以求得三角形ΔABC的外接圆圆心在X04Y04Z04坐标系下的坐标(X040,Y040,Z040),如图5所示。

图5 X04Y04Z04坐标系

(4) 旋转Z04轴,旋转角度为Ω,使X04轴与X轴平行,建立X05Y05Z05坐标系,则可以求得三角形ΔABC的外接圆圆心在X05Y05Z05坐标系下的坐标(X050,Y050,Z050),如图6所示。

(5) 平移X05Y05Z05坐标系,由L点平移至O点,使X05Y05Z05坐标系与XYZ坐标系重合,则可以求得三角形ΔABC的外接圆圆心在XYZ坐标系下的坐标(X0,Y0,Z0)。

4 保护范围判定

已知平面方程1和外接圆的圆心坐标(X0,Y0,Z0),可求得通过外接圆圆心且垂直于平面方程1的法线方程:

其中,m3=α,n3=β,p3=γ。

设滚球的球心坐标为(XG,YG,ZG),则滚球球心到外接圆圆心的距离满足:

联立方程,可以求得两组滚球球心坐标(XG1,YG1,ZG1)和(XG2,YG2,ZG2),取ZG1和ZG2的最大值的那一组数据作为滚球球心坐标,若ZG1=ZG2,则两组数据相同,均可作为滚球球心坐标。若ZG小于滚球半径R,说明滚球的底部已经接触到地面,建筑物的保护范围根据单支接闪杆或双支接闪杆进行计算。

已知滚球的球心坐标为(XG,YG,ZG),设需要保护的建筑物坐标为(XD,YD,ZD),可求得两点间的距离为

当d2大于等于滚球半径R时,说明建筑物在3支接闪杆的保护范围内。

5 计算实例

已知3支接闪杆A、B、C的坐标分别为(10,10,20)、(20,20,30)、(30,10,25),判断位于(20,15,10)处的一类防雷建筑物是否在保护范围内。

根据以上条件,可以求出如下各平面、直线的方程。

(1)A、B、C三点形成的平面的平面方程1:

50x+150y-200z+2 000=0

(2) 平面方程1与XOY坐标平面相交形成的直线方程1:

50x+150y+2 000=0

(3) 通过A、C两点的直线方程2:

(x-10)/20=(z-20)/5=t

根据以上平面、直线的方程,可以求出各平面、直线和点的位置关系:

(1) 直线方程1与直线方程2的夹角θ为156.978 47°。

(2) 平面方程1与XOY坐标平面的夹角Φ为38.328 82°。

(3)A点到直线方程1的垂点L的坐标为(2,-14,0),距离j为32.249 03。

(4) 直线方程1与X轴的夹角Ω为-18.434 95°。

(5) 空间三角形ΔABC的边长a、b、c分别为15、20.615 53、17.320 51,外接圆半径r为10.504 12,∠A的余弦值为0.700 14。

(6) 球心到外接圆圆心的距离d1为28.100 95。

以A点为坐标原点,使C点位于X01轴上,在平面方程1所在平面上建立X01Y01Z01坐标系,通过旋转、平移该坐标系,则可以求得三角形ΔABC在不同坐标系内的外接圆圆心坐标,如表1所示。

表1 不同坐标系下的外接圆圆心坐标

已知平面方程1和外接圆的圆心坐标,可求得通过外接圆圆心且垂直于平面方程1的法线方程,进而求得滚球的球心坐标为(14.200 49,-4.898 53,45.698 05)。

已知滚球的球心坐标和建筑物的坐标,则可求得两点间的距离d2为41.278 77,由于两点的距离大于30 m的滚球半径,因此可以判断建筑物在3支接闪杆的保护范围内。

6 结 语

建立XYZ坐标系,确定建筑物和接闪杆的坐标以及任意选取的3支接闪杆针尖所形成的平面方程、直线方程以及它们之间的位置关系;根据所选取的3支接闪杆的针尖建立X01Y01Z01坐标系,在计算坐标系下的接闪杆针尖形成的三角形外接圆圆心坐标后,通过平移、旋转X01Y01Z01坐标系,使之与XYZ坐标系重合,求得外接圆圆心在XYZ坐标系下的坐标,从而推导出滚球的球心坐标,最终通过计算滚球球心坐标与被保护建筑物之间的距离是否大于滚球半径来判断任意3支接闪杆的保护范围。

[1]建筑物防雷设计规范:GB50057—2010[S].

[2]高磊.多支不等高避雷针保护范围的计算及应用[J].广东气象,2009,31(2):43-44.

[3]高磊.直击雷防护相关问题探讨[J].气象科技,2007,35(3):436-438.

[4]马蕾,王丽,路平.滚球法计算多支不等高避雷针联合保护范围的新算法[J].电气技术,2012(9):50-53.

[5]劳小青,潘家利.采用几何计算法判断三支不等高避雷针的保护范围[J].气象研究与应用,2008,29(1):72-74.

[6]张子引.利用AutoCAD几何求解3支不等高避雷针保护范围[J].气象科技,2010,38(6):778-780.

[7]汪双宽.在AutoCAD中用VBA实现发电厂和变电所避雷针保护范围计算及自动绘图[J].云南水力发电,2010(4):73-76.

[8]方庆军.利用CAD技术实现避雷针保护范围设计[J].电力设计,2005,6(3):60-63.

[9]施广全,刘明远.利用AutoCAD三维作图绘制接闪器保护范围[C].第七届中国国际防雷论坛论文,2008:354-355.

[10]同济大学数学教研室.高等数学(上册)[M].4版.北京:高等教育出版社,1996.