函数单调性的教学方法探究与反思

李一帆

摘 要：函数的单调性是函数的重要性质，其判定方法在也是数学中相当重要的一个知识点，可通过数形结合来实现，但对于高职院校的学生来说，如何让其有效掌握高等数学中的单调性判别法，为函数单调性选择更为简单的判定方法是本文探究的重点。

关键词：单调性 判别法 教学方法 反思

一、引言

函数的单调性是函数的重要性质，在初等数学中，我们已经学习过通过作差法判别函数的单调性，但对于某些复杂函数或特殊函数，作差法并不能实现单调性的判别，因此在高等数学中，我们引入了利用导数判定函数的单调性，但是如何能让学生更容易掌握导数方法判别呢？这是值得探究和反思的。

二、單调性判别法的教学方法探究

（一）作差法的优势和弊端

设函数的定义域为，，任取，且，恒有，则称函数在内单调增加；如果任取，且，恒有，则称函数在内单调减少。单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数。

在初等数学阶段，我们对函数的单调性的判别方法为定义判别法，即“作差法”，简单函数或一般函数可容易由其判断出来。（由图1所示）

图1

但是，在实际教学和应用中，我们“作差法”存在一些优势，但同时也存在一些弊端。

作差法优势：容易掌握；弊端：复杂函数或特殊函数无法判断出单调性。

例1判断函数在其定义域上的单调性。

解 因为的定义域为，则

任取且，作差得

根据假设，容易得出，因此判定在其定义域上单调增加。

例2 函数是否容易利用“作差法”判断其单调性？

解 因为的定义域为，则

任取且，作差得

但在上式中的正负无法确定，因此“作差法”无法判定其单调性。高等数学中，导数判别法判别函数的单调性有效的解决了这一问题。

（二）利用导数判定函数的单调性优势、弊端及授课反思

1.导数判定函数的单调性优势、弊端

定理 设函数在上连续.在内可导.

（1）如果在内，则函数在上单调增加；

（2）如果在内，则函数在上单调减少。

导数判别法判定函数单调性的优势在于它可以判断复杂函数甚至一些相对抽象的函数容易判定其单调性。但是其弊端在于对于数学基础相对薄弱的职业院校学生来说不易掌握。

2.导数判定函数的单调性的授课反思

那么作为职业院校的教师应该如何讲授让学生更容易理解呢？我认为，在实际教学中，可从两方面讲授，以便学生视自己学习情况看哪种方法更易理解。

（1）利用拉格朗日中值定理理解判定定理

设是内任意两点，且，在上运用拉格朗日中值定理得：

如果，则。因为，所以有，

因此在上单调增加。

同理可证，在上单调减少。

（2）利用导数的几何意义理解判定定理

我们知道，导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。即

对于增加性不同的函数，它们每一点处切线斜率，或者说导数有什么特点吗？我们通过下图来观察一下。

图2

在图2-（1）中，是单调增加的，切线与夹角均为锐角，而锐角的正切值都是正值，由导数的几何意义可知，此时，因此判定是单调增加的条件为内；在图2-（2）中，是单调减少的，切线与夹角均为钝角，而钝角的正切值都是负值，此时，因此判定是单调增加的条件为内。注：判断时，和不影响判定结果。

例2中，“作差法”未能判定的单调性，下面我们利用导数试判定其单调性。

例3 利用导数判别法判定的单调性。

解 因为的定义域为， 而在上，

所以在其定义域上单调增加。

例4 确定的单调区间

解 的定义域为.求的导数的

.

解方程，得、

这两个根把分成三个部分区间、及.

所以：在上单调增加. 在上单调递减。

结语

本文对函数单调性初等数学阶段的“作差”判别法和高等数学阶段的导数判别法的优点和弊端进行了论证，在教学方法进行了探究和反思，主要目的是为了在教学过程中使学生更好的掌握所学内容，做到学以致用的。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上）第三版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]张杰霖.抽象函数单调性的证明技巧 [J].试题与研究（教学论坛），2011（8）.

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