用类比思想来认识初、高中几何的几个结论

周桂芸

(山东省淄博市第十七中学 255033)

立体几何是几何学的重要组成部分，对高中学生来讲，学这部分内容的基础是初中的平面几何，教学中注重把平面几何的知识推广到空间中来，采用类比推广的方式，从二维平面过渡到三维空间，对突破教学难点，开拓学生的思维的广度非常重要.下面看几个例子.

一、等边三角形的内切圆与外接圆(二维平面)和正四面体的内切球与外接球(三维空间)

平面几何中： 等边三角形有且只有个内切圆与一个外接圆，其圆心为等边三角形的中心.

如图1等边△ABC的边长为a，则有以下四个结论:

空间几何中：正四面体有且只有一个内切球和一个外接球，其球心是正四面体的中心.如图2若正四面体的棱长为a，亦有上述类似的四个结论:

下面求解一下.如图2，过A作AO′⊥面BCD,垂足为O′.连结O′D.

在Rt△AO′D中：

∴正四面体的高

设正四面体的中心为O，则O即为其内切球的球心，亦为外接球的球心，且OA=OD=R，OO′=r.

在Rt△OO′D中：OD2=OO′2+O′D2,

由此得出：R=3r.

二、正方形的内切圆和外接圆(二维平面)与正方体的内切球和外接球(三维空间)

空间中：(如图四)正方体中：

三、平面中，正三角形内的任一点到各边的距离和为定值；正四面体内任一点到四个面的距离和为定值

空间中：正四面体的四个面面积为S，体积为V，在四面体内任取一点P，P到各面的距离分别为h1、h2、h3、h4，求证：h1+h2+h3+h4是定值.

分析高一学生在做此空间题目时，几乎无从下手，但只要回顾平面几何中的证法，学生深受启发，对比如下：

简证在平面中

S△ABC=S△APB+S△BPC+S△APC，

∴h1+h2+h3=h为定值.

空间中：V=VP-ABC+VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD，

四、平面中的勾股定理推广到空间中是什么结论呢

二维平面 → 三维空间

图形推广：

直角三角形→三条棱两两垂直的棱锥

有以上知识做铺垫、渗透，学生能写出结论猜想，这是一非常正确的结论.其证明方式很多，现介绍一种(教学中，此证明仅供有兴趣的学生参考).

如右图：由VA、VB、VC两两垂直，

既得出面VAB、面VBC、面VCA两两垂直；

作VO⊥面ABC，连接CO并延长交AB于E.由VC⊥VB，VC⊥VA，可知：VC⊥面VAB，由VE⊂面VAB可知：

VC⊥VE，△VEC为直角三角形.

∴△ABC的面积的平方为：

证毕.

教学中运用这类比的思想，从二维空间到三维空间加以渗透，启发学生独立思考.大胆猜想，然后严密证明，这符合数学思维训练要求.我们在教学中要善于发现知识的内在联系，多给学生一些有益的启发，然后指导学生去思考、去发现.

参考文献：

[1]王瑾,贺贤孝.数学证明与数学发现[J]. 数学通报,2000(10).

[2]罗增儒.数学证明的作用[J]. 中学数学教学参考,2001(05).