带根号Riemann边值逆问题关于边界曲线解的误差估计

摘 要：最早对解析函数边值问题的稳定性讨论应追随到1937年M.V.Keldysh等人对关于调和函数的Dirichlet问题在边界曲线发生摄动时的的稳定性研究。文献[1]讨论了带根号Hilbert边值问题关于边界曲线的稳定性，本文在此基础上进一步讨论带根号Riemann边值逆问题关于边界曲线解的误差估计。

关键词：带根号Riemann边值逆问题；摄动；稳定性

中图分类号：O175.8 文献标识码：A

1 边界曲线摄动后Riemann边值逆问题的提出与求解

文献[2]提出了以下一类带根号Riemann边值逆问题：

设L为复平面中一条封闭光滑曲线，求一对函数Ψz，wt，其中Ψz是以L为跳跃曲线的全纯函数，wt为L上的H类函数，满足以下边值条件：

Ψ+t=G1tΨ-t+g1twt，t∈L，

Ψ+t=G2tΨ-t+g2twt，t∈L.

其中Gjt，gjt∈HLj=1，2，Ψz在z=

SymboleB@ 处有有限阶，要求Ψ+t，Ψ-t在L上单值、连续.

在R-1中的解的状态。

这里记

gt=1 g1t

1 g2t，G0t=G1t g1t

G2t g2t，

D1t=1gtG1t1

G2t1

且Gt=G0tgt.定义指标κ=12π[argG（t）]Γ，并记c=κ+k-m-n.

当边界曲线L发生极小的摄动时，则有以下的带根号Riemann边值逆问题：

Ψ+（ω，ε）ξ=G1ξΨ-（ω，ε）ξ+g1ξw（ω，ε）ξ，ξ∈Lω，

Ψ+（ω，ε）ξ=G2ξΨ-（ω，ε）ξ+g2ξw（ω，ε）ξξ∈Lω.

其中

gξ=1 g1ξ

1 g2ξ，G0ξ=G1ξ g1ξ

G2ξ g2ξ，

D1ξ=1gξG1ξ1

G2ξ1

且Gξ=G0ξgξ.显然D1ξ∈HLω定义指标κω=12π[argG（t）]Lω，并记cω=κω+k-m-n。

文献[2]给出了带根号Riemann边值逆问题的解，即当κω+km+n时，问题的一般解如下，这里t∈L。

Ψz，wt

=PczXz∏z，PctX-tD1t∏t（1）

那么相应的问题的解如下，这里ξ∈Lω

Ψ（ω，ε）z，w（ω，ε）ξ

=PczXωz∏εz，PξX-ωξD1ξ∏εξ。（2）

其中Xω（z）=eΓω

（z-z0）-κeΓω

2 摄动后Riemann边值逆问题解的误差估计

这里取曲线L为单位圆周，则有

定理1 当ω=0时，Xω=X，这时则有

‖X-ωξ-X-t‖L

SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1

證明：由Xω（z）=eΓω（z-z0）-κeΓω可知，

X-ωξ=ξ-z0-κX+ωξ，

那么X-t=t-z0-κX+ωt。

由文献[3]的定义1的证明过程可得

‖X+ω-X+‖L

SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）‖ω‖μ（1-υ）1，

且t-z0∈H（L），那么由数学归纳法可得

t-z0-κ∈H（L），

即ξ-z0-κ-t-z0-κ

SymbolcB@ C·‖ω‖1.

则由文献[4]引理3可得

‖X-ωξ-X-t‖L

SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1

定理2 任给ω∈B（ρ0），G，g∈Hμ（E）.当κ+km+n时，摄动后的带根号Riemann逆边值问题在R-1中的一般解为（1）式所示，此解与带根号Riemann边值问题的解（2）式满足：

‖w（ω，ε）ξ-wt‖L

SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）

证明：由定理1，文献[5]推论2及文献[4]引理3和Pc-1的Hlder连续性可得

‖w（ω，ε）ξ-wt‖L

SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）。

再则由文献[1]中定理2的证明过程可得，当t∈Ω+

Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1] ‖ω‖1+εμ（1-υ）则

‖Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）‖Ω+

=maxt∈Ω+Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）

由最大模原理可得

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω+

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]（‖ω‖1+ε）μ（1-υ）。

再由Ψ+（ω，ε），Ψ+的有界性可得

‖Ψ+（ω，ε）（z）-Ψ+（z）‖Ω+

SymbolcB@ ‖Ψ+（ω，ε）-Ψ+‖Ω+‖Ψ+（ω，ε）+Ψ+‖Ω+

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1）]‖ω‖1+εμ（1-υ）

同理可得

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω-

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。

综上所述

‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω

SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。

参考文献：

[1]曾乔.带根号Hilbert边值问题关于边界曲线的稳定性[J].科技经济导刊，2016（20）：107109.

[2]吴凤敏，刘豪.一类带平方根的Riemann边值逆问题[J].南阳师范学院学报，2009（6）：2022.

[3]章红梅，王传荣.Riemann边值问题关于边界曲线的稳定性[J].福州大学学报：自然科学版，2001，29（1）：14.

[4]Wang Chuanrong，Zhang Hongmei，Zhu Yuchan.The Riemann boundary value problem with respect the perturbation of boundary curve[J].complex Variables and Elliptic Equations.2006，51（8）：631645.

[5]曾乔，林峰.一类奇异积分关于曲线摄动的误差估计[J].四川师范大学学报：自然科学版，2015，38（1）.

作者简介：曾乔（1990），女，海南海口人，硕士，助教，研究方向：函数论。