函数一致连续性证明方法探究及推广

李一帆

函数的一致连续性是数学分析中的重点内容，对函数一致连续性的证明是数学分析中的难点，但对于某一例题来说，结合其特点与一致连续性的多种定理，问题会有多种解决方法，但是如何为问题选择一种最有效最简单的解决方法是本文讨论的重点内容.

1以 为例讨论一致连续性的证明方法

分析 在 上处处连续，导函数存在且在定义域两端的极限存在，本文对 ， 上一致连续性的证明这几个重要特点出发，结合相应定理给出五种证明方法.

1.1依定义证明

定义1 设 为定义在区间 上的函数，若对任给的 存在 = ，使得对任何 ，只要 ，就有 ，则称函数 在区间 上一致连续.

证法一 任给 由于 ，故可选取 ，则对任何 ，只要 ，就有

，

这就证得 在 上一致连续.

1.2依定理证明

1.2.1依与导函数有关的定理证明

定理1 设函数 在区间 上有有界导函数，则 在区间 上一致连续.

证法二 因为 在 上存在导函数，且 ，在 上有 ，有界，所以由定理1可知： 在 一致连续.

引理设区间 的右端点为 ，区间 的左端点也为 ，（ ， 可分别为有限或无限区间），若 分别在 和 上一致连续，则 在 上也一致连续.

定理2 若 且 收敛，则 在 上一致连续.

证法三 令 ，则 ， （ ）， ，而 ，所以， 在 上收敛，则由定理2知： 在 上一致连续.

定理3 若函数 在 上可导，且 （常数或 ），则 在 上一致连续的充分必要条件是 为常数.

证法四因为 在 上连续，在 内可导，且 ，

又 ，其中 为常数，所以由定理3可知： 在 上一致连续.

1.2.2依与极限有关的定理证明

定理4 设函数 在 上连续，且 存在且有限，则 在 上一致连续.

证法五 在 上连续，而 0，所以 存在且为有限数，则由定理4可知： 在 上一致连续.

1.3 方法分析

（1）定义证明法最容易想到且是最简单有效的方法.

（2）法二、法三和法四都利用了 在 上存在导函数及其导函数的性质来解决问题，但不同的是法二中要讨论导函数的有界性，法三要讨论导函数积分的敛散性，法四要讨论导函数在 时的极限值，这三种方法相比起来，法四更易操作，其次是法二，再次是法三.

（3）法五利用 在 上的一致连续性及当 时的极限值是否有限来判断它本身的一致连续性，在实际证明中也较易实现的一种方法.

综上，对 在 上的一致连续性证明的方法选择顺序应为：一、五、四、二、三 .

2 函数一致连续性证明方法的推广

2.1 依定义证明较为简单的问题

由于 在 上一致连续意味着：不论两点 与 在 中处于什么位置，只要它们的距离小于 ，就可使 .因此证明一些形式较为简单的，并且容易得出 与 的函数的一致连续性，可依据定义进行证明.例如 ， 、 ， 等函数都能依据定义得出函数在其定义域上一致连续.

2.2 依与导函数有关的定理证明较为简单的问题

某些函数在定義域上存在导函数，此时我们可以考虑依据函数的这一性质来得出所给函数在其定义域上的一致连续性.

2.2.1依定理1证明较为简单的问题

由于函数的一致连续是要求当函数的自变量的改变很小时，其函数值的改变量也很小，从而要求函数的到数值不能太大，所以只需要求函数的导函数有界即可得出函数在其定义域上一致连续.例如证明 ， 、 ， 等函数的一致连续性在依据定理1证明时简单易行.

2.2.2依定理2证明较为简单的问题

对于定义在 上的函数，如果它存在导函数且导函数在其定义域上可积，则可先判断此无穷限积分的敛散性，再依据定理2得出所给函数是否在其定义域上一致连续就变得十分容易了.例如证明 ， 、 ， 时利用定理2来得出结论十分容易.

2.2.3依定理3证明较为简单的问题

对于定义在 上的函数，如果它在定义域上连续，在定义域内可导，并且当 时，其导函数的极限存在且有限，这时可根据定理3得出所给函数在其定义域上一致连续.例如 ， 、 ， 都可依据定理3很容易得出其在定义域上一致连续.

2.3 依与极限有关的定理4证明较为简单的问题

极限存在是函数的一个重要性质，我们可以考虑依据函数的这一性质来证明函数在其定义域上的一致连续性.

对于定义在 上的函数，我们可以通过先判断函数在 处的极限是否存在是否有限，然后再根据定理4来证明函数在其定义域上是否一致连续.例如在证明 ， 、 ， 的一致连续性时，定理4堪称首选.

（作者单位：河南工业和信息化职业学院）