基于先验信息的供水管网阻力系数识别

任刚红 杜坤 和丽蓉 徐冰峰 杜雨

摘要：供水管網阻力系数识别是指通过调整管网水力模型中管道阻力系数使模型计算值与监测值相符的过程。由于实际中监测点数量有限，管网阻力系数识别为欠定的优化问题。现行方法通常采用管道分组这一参数化方法将欠定问题转换为超定，应用遗传算法或其它随机搜索算法求解。提出了基于先验信息的供水管网阻力系数识别算法，所提出算法根据管道管材、管龄等先验信息对管道阻力系数进行估计，并将估计值作为伪观测值引入目标函数将欠定优化问题转换为超定，采用高斯-牛顿算法进行求解。与现有方法相比，所提出算法避免了管道分组不唯一的问题；再者，推导了供水管网阻力系数雅克比矩阵解析式用于搜索向量构造，提高了参数识别计算效率。采用小型管网阐明了雅克比矩阵计算及搜索向量构造，利用大型管网验证了算法的实用性。

关键词：供水管网；阻力系数识别；先验信息；雅克比矩阵解析式

中图分类号：TU99.3 文献标志码：A文章编号：16744764（2018）02004607

收稿日期：20170314

基金项目：国家自然科学基金（51608242）；云南省应用基础研究青年项目（2017FD094）；云南省人才培养计划项目（14118943）；云南省教育厅基金项目（2015Y077）

作者简介：任刚红（1992），女，主要从事市政工程研究，Email：554769994@qq.com。

杜坤（通信作者），男，博士，Email ：250977426@qq.com。

Received：20170314

Foundation item：National Natural Science Foundation of China（No.51608242）； Applied Basic Research Youth Project of Yunnan Province（No.2017FD94）； Personnel training program of Yunnan Province （No.14118943）； Education Department Fund Project of Yunnan Province（No. 2015Y077）

Author brief：Ren Ganghong（1992），main research interest：Municipal engineering， Email：554769994@qq.com.

Du Kun（corresponding author）， doctor， lecturer，Email：250977426@qq.com.Pipe resistance coefficient identification of water distribution

system based on prior information

Ren Ganghong1， Du Kun1， He Lirong1， Xu Bingfeng1， Du Yu2

（1. Faculty of Civil Engineering and Mechanics， Kunming University of Science and Technology， Kunming， 650500， China；

2. The third construction engineer company LTD， of China construction second engineer bureau， Hubei， Wuhan， 430022， China）

Abstract：Pipe resistance coefficients （PRCs） identification of water distribution systems （WDSs） is a process of adjusting the PRCs in hydraulic model of WDSs to make its predictions consisting with measurements. Because the number of monitoring sensors is limited in practice， the identification of PRCs of WDSs is an underdetermined optimization problem. Existing methods trend to use a parametric method of pipe grouping to convert the underdetermined problem to overdetermined， and then solve it using GA or other stochastic searching algorithms. This paper presents a prior information based algorithm for PRCs identification of WDSs. In the proposed method， the PRCs are estimated previously according to prior information of pipe material and pipeage， and then used as pseudo observations introduced into objective function to convert the underdetermined optimization problem to overdetermined one， and the Gauss Newton algorithm is utilized to solve it. Compared to existing method， the proposed algorithm avoids the nonuniqueness problem of pipe grouping； in addition， the analytic formula of Jacobian matrix of PRC is deduced for searching vector construction， which improves the calculation efficiency of parameter identification. A simple network was used to illustrate the calculation of Jacobian matrix and the construction of search vector， and a larger network was utilized to validate the practicability of the method.

Keywords：Water distribution system； Resistance coefficient identification； Prior information； Jacobian matrix formula

管網水力模型被越来越多的水厂用于优化供水调度、指导运营管理，如何使水力模型比较准确的反映管网实际运行状态，保证决策结果的可靠性，是目前许多水厂面临的难题。在管网水力模型中，相对于管道长度、管径等参数，管道阻力系数具有较大不确定性，需要根据实测的节点水压及管道流量进行识别，以保证管网水力模型精度。

与传统水力平差计算正好相反，管网阻力系数识别以监测的节点水压及管道流量作为已知量反算模型中管道阻力系数，国内外学者通常将该反问题转换为优化问题进行求解。袁一星等[1]提出了CGADFP混合优化算法进行管网阻力系数识别。王卓然[2]将SCEMUA算法与EPANET水力计算模块相结合识别管网阻力系数。詹书俊等[3]通过建立以模型计算值与监测值差的多目标优化问题，采用NSGA算法求解优化问题实现管网阻力系数识别。Dini等[4]提出了基于蚁群算法的管网参数识别方法。刘永鑫等[5]利用遗传算法求解管网连续性及能量方程识别管网阻力系数。信昆仑等[6]运用全局灵敏度法进行管道摩阻灵敏度分析，采用NSGAII算法对灵敏度较大的管道进行参数识别。

笔者注意到，由于管网中监测点数量远少于管道数（即已知量个数少于未知量个数），管网阻力系数识别是欠定的优化问题。针对该问题的处理，Kang等[7]根据管道的管材及管龄对管道分组，并假设同组管道阻力系数相等，将欠定问题转换为超定进行求解。Wu等[8]根据管道在管网中位置对管道分组减少未知量个数，使管道阻力系数识别结果唯一、可靠。Mallick等[9]从识别结果稳健性的角度出发探讨了管道分组问题，其研究表明，管道分组这一参数化方法能有效降低识别结果方差，但由于实际管网拓扑结构不同，及监测点数量、布置差异，不存在唯一准则适用于所有管网。

本文提出了基于先验信息的供水管网阻力系数识别算法，其基本思路是根据管道的管材、管龄等先验信息，对管道阻力系数进行估计，并将估计值作为伪观测值引入目标函数，采用加权最小二乘法求解优化问题识别管道阻力系数。与现有方法相比，所提出算法无需对管道分组，通过利用先验信息将欠定问题转化为超定，克服了现有方法中管道分组不唯一的缺点；再者，通过权重系数权衡先验信息与测量信息避免了参数过拟合问题。此外，推导供水管网雅克比矩阵解析式用于构造搜索向量，提高了管道阻力系数识别计算效率。

第2期 任刚红，等：基于先验信息的供水管网阻力系数识别1基于先验信息的供水管网阻力系数

识别框架实际中管道阻力系数除了与管道的管材及管龄相关外，还与管道内壁涂料厚度、腐蚀程度及管网水力状态等随机因素相关。所提出识别算法一方面承认基于先验信息的管道阻力系数包含一定有用信息，另一方面要求参数识别结果应尽量减少模型计算值与实测值间差异。基于此，优化问题的目标函数可构建为f（C）=∑nHi=1wHHoi-Hi（C）2+

∑mqj=1wqqoj-qj（C）2+∑mk=1wCCok-Ck2（1）式中：nH为水压监测点数；n为管网中节点数；mq为管道流量监测点数，m为管道数；Co为管道阻力系数经验值；wH、wq、wC分别为节点水压、管道流量及管道阻力系数权重系数（分别为水压与流量监测值误差方差、管道阻力系数估计值方差的倒数）；Ho为水压监测值、H（C）为对应的模型计算值；qo为管道流量监测值、q（C）为对应的模型计算值。优化问题的约束条件为供水管网质量与能量守恒方程。为便于推导，将式（1）化为矩阵形式：f（C）=Ho-H（C）

qo-q（C）

Co-CTWHo-H（C）

qo-q（C）

Co-C（2）由于管网能量方程为非线性，故需采用迭代法求解优化问题。本文采用高斯牛顿算法求解上述优化问题，相对于广泛使用的遗传算法，其具有计算效率高的优点，且不需要进行额外的参数设置。若第k次迭代的解为：f（Ck+ΔCk）=

Ho-H（Ck+ΔCk）

qo-q（Ck+ΔCk）

Co-（Ck+ΔCk）TWHo-H（Ck+ΔCk）

qo-q（Ck+ΔCk）

Co-（Ck+ΔCk）（3）式（3）的线性展开式为：f（Ck+ΔCk）≈

ΔHk-JH（Ck）ΔCk

Δqk-Jq（Ck）ΔCk

ΔCok-ΔCkTWΔHk-JH（Ck）ΔCk

Δqk-Jq（Ck）ΔCk

ΔCok-ΔCk（4）式中：JH（C）、Jq（C）为梯度向量，为与监测值对应的雅克比矩阵的行向量；ΔHk=HoΔH（Ck）；Δqk=qoΔq（Ck）、ΔCok=Co-Ck。当目标函数取得极小解时，有：f（Ck+ΔCk）Ck=

-2JH（Ck）

Jq（Ck）

ITWΔHk-JH（Ck）ΔCk

Δqk-Jq（Ck）ΔCk

ΔCok-ΔCk=0（5）式中：JH（Ck）为nH×m矩阵，Jq（Ck）为mq×m矩阵，I为m×m的单位矩阵，[JH（Ck）Jq（Ck） I]T为（nH+mq+m）×m矩阵。因为nH+mq+m>m，即矩阵[JH（Ck） Jq（Ck） I]T的行向量个数大于列向量个数，管道阻力系数修正值为：ΔCk=JH（Ck）

Jq（Ck）

ITWJH（Ck）

Jq（Ck）

I-1·

JH（Ck）

Jq（Ck）

IWΔHk

Δqk

ΔCok （6）图1给出了供水管网阻力系数识别流程图，其中识别模块与正计算模块将对方的输出作为输入进行反复运算直到ΔC达到规定精度（本文取001）。理论上ΔC可取任意小值，由于实际中C的取值范围为90～150，则当ΔC=0.01时，ΔCC<0.001，即最终计算误差小于千分之一，满足实际工程需要。

图1供水管网阻力系数识别流程图

Fig.1Water supply pipe network resistance

coefficient identification flow chart2供水管网雅克比矩阵计算

如图1所示，在管网阻力系数识别过程中需要反复计算雅克比矩阵用于构造搜索向量，但笔者注意到，目前大多数学者[10～13]采用有限差分法估算管网雅克比矩阵，其需要逐个扰动参数反复进行管网水力平差计算，故会导致巨大计算量，这不利于大型管网阻力系数识别。鉴于此，本文推导了供水管网雅克比矩阵解析式，以提高参数识别计算效率。管网质量与能量守恒方程为Aq-Q=0

ATH+h=0 （7）式中：A为管网衔接矩阵，q为管道流量向量；Q为节点流量向量；H为节点水压向量；h为管道水头损失向量。式（7）的微分式为AΔq-ΔQ=0

ATΔH+Δh=0 （8）配水管网水头损失多采用海澄威廉公式计算：h=KqC1.852Ld4.871（9）式中：K为单位换算系数；q、C为管道流量及海澄威廉系数；L、d为管长及管径。管道水头损失对管道流量的偏微分式为hq=KuqC1.8521.852Ld4.871q=h1.852q（10）根据式（10）还可得：qC=hd4.871KuL11.852=qC（11）

hC=-1.852hC（12）根据式（10）、（11）及（12），管道水头损失对管道阻力系数的向量微分方程可写为Δh=ΔB-1SΔC（13）其中B=q11.852h10…0

0q11.852h1…0

00…q11.852h1

S=q1C10…0

0q2C2…0

00…qmCm当管网中存在水泵时，矩阵B中对应元素为（cb）-1|q|1-c，设水泵方程为hpump=a-bqc，a、b及c为水泵性能参数。根据式（7），可得Δh=-ATΔH（14）将式（14）带入式（13），可得BATΔH=SΔC（15）根据式（15），可得ABATΔH=ASΔC（16）根据式（16），可得ΔH=（ABAT）-1ASΔC（17）同样地，管道流量的向量微分方程为Δq=SΔC+BΔh（18）将式（14）带入式（18），可得Δq=SΔCΔBATΔH（19）将式（17）带入式（19），可得Δq=SΔCΔBAT（ABAT）-1ASΔC（20）根据式（17）、（20），节点水压及管道流量对管道阻力系数的雅克比矩阵的解析式为HC=（ABAT）-1AS

qC=S-BAT（ABAT）-1AS（21）3基于数值仿真的监测值生成

供水管网参数识别存在补偿误差问题，例如：当调整管道阻力系数或节点流量都能使模型计算值与监测值相符时，则无法分辨模型误差源于节点流量或管道阻力系数，即二者间存在补偿误差。如何获得有用监测值是在利用优化算法进行参数识别前首先应回答的问题。针对管网阻力系数识别，Ostfeld等[14]表明，应通过消火栓放水并记录放水量以减小节点流量补偿误差、获得有用监测值。Ormsbee等[15]指出消火栓放水至少应保证管网供水压力下降大于3.5m，使管网处于高负荷水力“紧绷”状态，以加大监测值对管道阻力系数敏感度，否则收集的监测值是无用的。

从算法验证角度来说，通过开展实地消火栓放水获得监测值，需要投入大量人力、财力，且影响管网正常运行，显得代价过高。再者，由于实际管网阻力系数未知，而监测值又存在误差，这导致参数识别结果及模型准确性都失去参照，不利于算法验证。鉴于上述两方面原因，为便于算法验证，本文参考文献[11]所采用的数值仿真法产生监测值。

1）管网水力模型构建；EPANET是目前使用最广泛的管网水力计算引擎，故在EPANET中构建管网水力模型开展相关研究；

2）管道阻力系数“真值”生成；考虑到实际管道阻力系数不仅与管龄及管材相关，还与管道内壁涂料厚度、腐蚀程度，及管网水力状态等随机因素相关。为准确反映实际情况，采用随机抽样法生成管道阻力系数；不失一般性，假定管道阻力系数真值服从N（Co，σ2）的正态分布，其中Co为根据先验信息估计的管道阻力系数；

3）监测值生成；应用EPANET进行管网水力计算，采用随机抽样法产生随机误差添加到计算的管道流量及节点水压中作为“真实”监测值。这里添加的随机误差可包括水压、流量本身的监测误差，同时还可包括节点流量的补偿误差；

4）管道阻力系数识别及结果评判；根据产生的“真实”监测值，应用所提出算法识别管网中各管道阻力系数。在评判识别结果时，一方面可将识别结果与管道阻力系数“真值”进行比较，另一方面可观察模型计算精度的改善情况。

4案例分析

4.1案例1

案例1的主要目的是阐明雅克比矩阵计算及搜索向量构造。为便于阐明，选取图2的小型管网作为例子，其中各管道管长均为500 m，管径均为200 mm。假设根据管龄、管材等先验信息估计的管道阻力系数为90（海澄威廉系数），真实管道阻力系数服从N（90，102）的正态分布，随机抽样所得管道阻力系数真值如图2所示。此外，假定节点1的水压及水泵供水量被监测，通过添加随机误差产生监测值，如图2所示。

图2举例管网1

Fig.2Example pipe network1表1给出了节点水压對管道阻力系数的雅克比矩阵（ABAT）-1（AS），表2给出了管道流量对管道阻力系数的雅克比矩阵SBAT（ABAT）-1（AS）。表1雅克比矩阵（ABAT）-1（AS）

Table 1Jacobian matrix（ABAT）-1（AS）管道1管道2管道3管道4管道5节点10.072 1 -0.001 3 0.003 2 0.003 1 -0.000 6 节点20.066 6 0.004 7 0.008 0 0.000 2 0.000 0 节点30.067 6 -0.000 3 0.000 7 0.005 4 0.001 9 节点40.058 4 0.001 8 -0.004 4 -0.004 2 0.000 8 表2雅克比矩阵SBAT（ABAT）-1（AS）

Table 2Jacobian matrixSBAT（ABAT）-1（AS）管道1管道2管道3管道4管道5管道10.132 30.004 0-0.009 9-0.009 50.001 9管道2-0.057 8-0.020 70.050 9-0.030 50.006 2管道3-0.057 8-0.020 70.050 9-0.030 50.006 2管道40.074 4-0.016 70.041 0-0.040 00.008 1管道50.074 4-0.016 70.041 0-0.040 00.008 1 水泵-0.132 3-0.004 00.009 90.009 5-0.001 9

根据表1及表2给出的雅克比矩阵，所提出算法第一次迭代时的搜索向量能构建为：表3第一次迭代时搜索向量[JH（C1） Jq（C1） I]T

Table 3Search for vectors for the first

iteration[JH（C1） Jq（C1） I]TJH（C1）Jq（C1）I0.072 1-0.001 30.003 20.003 1-0.000 6-0.132 3-0.0040.009 90.009 5-0.001 91000001000001000001000001其中JH（C1）为矩阵（ABAT）-1（AS）的第一行（详表1），Jq（C1）为矩阵SBAT（ABAT）-1（AS）的最后一行（详表2）。如前述，权重矩阵W中元素wH、wq、wC分别为监测误差方差及管道阻力系数估计值方差的倒数。不失一般性，认为监测值误差服从正态分布，其中水压监测值均方差σH=0.3 m，流量监测值均方差σq=2 L/s，则权重矩阵W为W=0.3-2000000

02-200000

0010-20000

00010-2000

000010-200

0000010-20

00000010-2第一次迭代修正计算值为：ΔC1=JH（C1）

Jq（C1）

ITWJH（C1）

Jq（C1）

I-1·

JH（C1）

Jq（C1）

IWΔH1

Δq1

ΔCo1=5.91

-0.25

0.62

0.59

-0.12表4给出了迭代过程中ΔC值及管道阻力系数。

最终识别结果，表5给出了参数识别前后模型误差。 表4代过程中ΔC值及最终识别结果

Table 4ΔC value in the process and final identification results初值C1C2C3C4C5||ΔC||2ΔCk=15.91 -0.25 0.62 0.59 -0.12 5.98 ΔCk=20.16 -0.03 -0.02 -0.03 -0.02 0.16 ΔCk=30.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 终值96.06 89.72 90.60 90.56 89.86 真值981058075102

表5参数识别前后模型计算值与真实值间的差

Table 5The difference between the value of the model and

the real value before and after the parameter identification添加的

监测误差识别前

模型误差识别后

模型误差节点1水压0.11 m0.43 m 0.01 m节点2水压0.48 m 0.09 m节点3水压0.43 m 0.04 m节点4水压0.59 m0.27 m平均绝对误差0.48 m0.10 m管道1流量1.36 L/s 0.61 L/s 续表5添加的

监测誤差识别前

模型误差识别后

模型误差管道2流量-0.67 L/s -0.36 L/s 管道3流量-0.67 L/s -0.36 L/s 管道4流量0.69 L/s 0.25 L/s 管道5流量0.69 L/s 0.25 L/s 水泵流量1.5 L/s-1.36 L/s -0.61 L/s平均绝对误差0.91 L/s0.41 L/s

由表4可知，管道1的阻力系数被较准确识别，其它管道阻力系数值基本不变。这是由于管道1为高位水池出水管，其管道流量远大于其它管道，处于高负荷水力状态，导致监测值对管道1阻力系数敏感度远大于其它管道。上述结论可通过表1、表2的雅克比矩阵进行说明。雅克比矩阵又称灵敏度矩阵，反映了监测值对参数的灵敏程度，其中元素值越大表明对应参数对模型计算精度影响越大且越容易被识别，反之亦然。例如：表1中的第一列代表了各节点水压对管道1的阻力系数灵敏度，其中各值比其它各列的值均大了一个数量级以上，表明监测值对管道1阻力系数灵敏度远大于其它管道，即管网水力模型精度主要取决于管道1的阻力系数，且管道1阻力系数更容易识别。

由表5可知，参数识别前，节点水压平均绝对误差为0.48 m，管道流量平均绝对误差为0.91 L/s；参数识别后，节点水压平均绝对误差为0.1 m，管道流量平均绝对误差为0.41 L/s，模型计算误差整体上明显减小，这表明利用所提出算法识别管网阻力系数能提高模型计算精度。此外，节点1的水压与真实值的差异仅为0.01 m，远小于监测误差值0.11 m，这表明应用所提出的加权方法能有效防止参数过拟合。再者，根据表4可知，整个参数识别过程仅需要三次迭代，表明所提出算法计算效率高。

4.2案例2

为进一步验证算法可行性，本案例利用某实际大型供水管网测试算法。管网基本情况如图3所示，其中包括43个节点、62根管道。假设在节点4、6、10、17、30、36及38上设置水压监测点，监测误差服从N（0， 0.32）正态分布，且有e4=0.29 m、e6=-0.41 m、e10=0.27 m、e17=0.06 m、e30=-0.18 m、e36=-0.43 m、e38=0.15 m。根據管材及管龄估计的管道阻力系数经验值为100（海澄威廉系数），实际管道阻力系数服从N（100，102）的正态分布。

图3举例管网2

Fig.3Example pipe network2应用所提出算法识别管网阻力系数，限于篇幅原因，不对结果进行详细列举。总体而言，与案例1类似，流量较大的主供水管道4、6、11、42、47、51的阻力系数被较准确识别，与灵敏度分析结果一致。经管道阻力系数识别，模型节点水压平均绝对误差由0.76 m降低到0.11 m，最大节点水压计算误差由1.5 m降低到0.48 m，模型计算精度有较大改善，这表明所提出算法可用于实际大型管网参数识别。此外，整个参数识别过程仅需要三次迭代，且6、36节点水压计算误差小于监测值随机误差，表明所提出算法计算效率高，能有效避免参数过拟合问题。

5结论

供水管网阻力系数识别是欠定的非线性优化问题，目前大多数研究通过管道分组这一参数化方法将欠定问题转换为超定，并采用遗传算法或其它类似随机搜索算法求解。本文提出了基于先验信息的供水管网阻力系数识别算法，其根据管材、管龄等先验信息估计管道阻力系数，将估计值引入目标函数，采用高斯牛顿法进行求解。与现有方法相比，所提出算法无需对管道分组，利用先验信息将欠定问题转换为超定，避免了管道分组不唯一的问题。再者，推导了供水管网阻力系数雅克比矩阵解析式用于搜索向量构造，提高了参数识别计算效率。最后，采用小型管网阐明了雅克比矩阵计算及搜索向量构造，利用实际大型管网对算法进行测试。

结果表明，所提出算法通过3次迭代就能获得最终识别结果，计算效率高且能避免参数过拟合问题。通过分析还发现，管网水力模型计算精度主要取决于管网中供水主管管道阻力系数，通过识别这些管道阻力系数，保持其它管道阻力系数不变，不失为一种可行的识别方法。值得说明的是，参数识别结果及识别后模型计算精度与监测点数量、布置位置及数据采集时管网运行状态密切相关，通常应用高负荷运行状态下的水压监测数据能得到更准确的管道阻力系数校核值。通过优化监测点布置，采集消火栓放水试验时监测值能改善识别结果、提高模型计算精度。鉴于监测点布置本身是一个复杂的优化问题，其超出了本文的研究范围，在此不进行深入探讨。在工程实践中，Walski [16]建议可将监测点布置在用水量较大的节点及管网外围（远离水源）的节点。

参考文献：

[1] 袁一星， 张志军. 供水管网校核模型参数估计与求解方法的研究[J]. 给水排水， 2005， 31（9）：105111.

YUAN Y X， ZHANG Z J. Study on estimation and approach of parameters of calibration model for water distribution network model[J]. Water & Waste Water， 2005， 31（9）：105111.（in Chinese）

[2] 王卓然. 给水管网管道阻力系数校正试验研究[D]. 哈尔滨工业大学， 2012.

WANG Z R. experimental study on calibration of pipeline roughness in water distribution networks[D]. Harbin Institute of Technology， 2012.（in Chinese）

[3] 詹书俊， 陶涛. 基于NSGA—II的供水管网模型校核[J]. 给水排水， 2013， 39（3）：158160.

ZHAN S J， TAO R. Model checking of water supply network based on NSGA II[J]. Water & Waste Water， 2013， 39（3）：158160.（in Chinese）

[4] DINI M， TABESH M. A new method for simultaneous calibration of demand pattern and hazenwilliams coefficients in water distribution systems[J]. Water Resources Management， 2014， 28（7）：20212034.

[5] 刘永鑫， 邹平华， 马月璇. 基于遗传算法的供水管网阻力系数辨识[J]. 中国给水排水， 2014（23）：113116.

LIU Y X， ZOU P H， MA Y X. Identification of resistance coefficient of water supply network based on genetic algorithm[J]. China Water & Wastewater， 2014（23）：113116.（in Chinese）

[6] 信昆侖， 詹书俊， 陶涛，等. 基于灵敏度分析的供水管网模型多目标校核[J]. 同济大学学报：自然科学版， 2014， 42（5）：736739.

XIN K L， ZHAN S J， TAO T. Multi—objeetive Calibration of hydraulic model in water distribution network based on sensitivity analysis[J]. Journal of Tongji University（Natural Science） ， 2014， 42（5）：736739.（in Chinese）

[7] KANG D， LANSEY K， KANG D， et al. Demand and roughness estimation in water distribution systems[J]. Journal of Water Resources Planning & Management， 2010， 137（1）：2030.

[8] WU Z Y， CLARK C. Evolving effective hydraulic model for municipal water systems.[J]. Water Resources Management， 2009， 23（1）：117136.

[9] MALLICK K N， AHMED I， TICKLE K S， et al. Determining pipe groupings for water distribution networks[J]. Journal of Water Resources Planning & Management， 2002， 128（128）：130139.

[10] LANSEY K E， ElSHORBAGY W， AHMED I，et al. Calibration assessment and data collection for water distributionnetworks[J].Journal of Hydraulic Engineering， 2001， 127（4）： 270279.

[11] KANG D， LANSEY K. Realtime demand estimation and confidence limit analysis for water distribution systems[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2009， 135（10）： 825837.

[12] PEREZ R， PUIG V， PASCUL J， et al. Pressure sensor distribution for leak detection in Barcelona water distribution network[J]. Water science and technology： water supply， 2009， 9（6）： 715.

[13] MNDEZ M， ARAYA J A， SNCHEZ L D. Automated parameter optimization of a water distribution system[J]. Journal of Hydroinformatics， 2013， 15（1）：7185.

[14] OSTFELD A， SALOMONS E， ORMSBEE L， et al. Battle of the water calibration networks[J]. Journal of Water Resources Planning & Management， 2012， 138（5）：523532.

[15] ORMSBEE L E， LINGIREDDY S. 1997. Calibration of hydraulic network models [J]. Journal AWWA， 89（2）： 4250.

[16] WALSKI T M. Technique for calibrating network models. 1983 [J]. Journal of Water Resources Planning & Management， 109（4）：360372.