点估计的一种敏捷算法

2018-06-01 10:50
赤峰学院学报·自然科学版 2018年5期
关键词:估计量概率密度参数估计

王 灿

(成都师范学院 数学学院,四川 成都 611130)

1 引言

参数估计包括点估计和区间估计两种方法,而点估计又是区间估计的基础.目前比较常用的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法等,其中矩法虽然简单,但其局限性比较大,对期望不存在的随机变量无法使用;最大似然法依据“一次实验就发生的事件有较大的概率”的思想,是目前应用比较广泛的方法.但对分布律或概率密度复杂的随机变量而言,此种方法的计算量就比较大.但其衍生出的派生估计法[1]就在一定程度上简化了计算.

2 算例

为了使计算更加简便,先给出正态分布的最大似然估计量和派生估计量,并结合定理把已知分布类型的随机变量逼近成正态分布N(μ,σ2),再化成标准正态分布,这样在原来派生估计法的基础上,只需要选择)作为派生估计量即可.

例 1设 X~N(μ,σ2),μ,σ2为未知参数,X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,样本值为x1,x2,…,xn,求 μ,σ2的估计量.

解法一最大似然估计法

X的概率密度为:

似然函数为:

取对数有:

对参数求导有:

解法二派生估计法

则互相独立且都服从标准正态分布,因此把看作来自总体的样本,由正态分布N(μ,σ2)参数均值和方差的最大似然估计,得

两种解法所得结果相同,但派生法更简单.

例 2已知 X~B(n,p),X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,求未知参数p的派生估计量.

解因为 X~B(n,p),由 De Moivre-Laplace定理,得

由标准正态分布N(0,1)参数均值的派生估计量得

例3已知X~U(0,θ],证明未知参数θ的最大似然估计量不是无偏的,但其派生估计量是无偏的.

解由已知得似然函数为显然 L(θ)随 θ 的增加而减少,故 L(θ)在 max{x1,x2,…,xn}处取得最大值,于是θ的最大似然估计量为θ^=max{x1,x2,…,xn},

推得的概率密度为

故最大似然估计量=max{X1,X2,…,Xn}不是无偏的;

因为 X~U(0,θ],由中心极限定理得

由标准正态分布N(0,1)参数均值的派生估计量得

故派生估计量=2是无偏的.

3 结语

以上实例表明,把中心极限定理应用到参数估计理论中是很好的思路,不仅可以简化很多分布类型的参数点估计计算过程,且得到的估计结果还可能具有更好的性质.

〔1〕 孙祝岭.点估计的一种新方法[J].统计与决策,2010(11):163-164.

〔2〕 顾蓓青,王蓉华,徐晓岭,吴生荣.极大似然估计的间接求法[J].统计与决策,2010(10):153-155.

〔3〕 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008.149-156.

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