引领思维在生动中走向深刻
——人教版四上《对策问题》教学片段及思考

（作者系浙江省嘉兴教育学院义务教学研究处副处长，浙江省数学特级教师）

数学教学的核心是发展学生的数学思维。提升以思维为核心的数学素养，已经成为当前深化小学数学课堂教学改革的重要方向。数学教学要积极引领学生产生高质量的数学思考，让学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界。数学课程标准指出，教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。小学数学教学应以活动为主线，以有趣、丰富的数学活动为载体，引领学生思维在生动中走向深刻。近期，笔者对人教版四上《对策问题》一课进行了多次教学实践研究，努力践行引领学生思维在生动中走向深刻的教学理念。

片段一：游戏热身，激活思维

1.第一次游戏：两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次抽一张牌，牌点数大者胜。

教师先后与两名学生比赛，各抽一张牌，根据点数大小确定胜负，学生的参与热情瞬间被激活。

两次比赛后，教师引导学生思考：这样比赛，靠什么获胜？

学生都认为“靠运气获胜”。教师板书：获胜——运气好。

2.第二次游戏：两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出3次，赢两次者胜。

学生理解规则后，教师给出两组牌让学生选择。红色牌：9、7、5；黑色牌：8、6、3。

（1）教师让学生先选牌，学生都选择红色的这三张。教师板书：（获胜）——实力强。

（2）教师故意给学生出难题：教师先选牌，也选红色的这三张，并逐一贴在黑板上，引导学生思考：你们拿黑色的这三张，还有办法获胜吗？怎样出牌，才能获胜？

学生独立思考，同桌交流后，推荐一名学生到黑板上用三张黑色牌给出获胜方案。

在确认学生三局两胜获得胜利后，引导学生思考：老师实力强，学生实力弱，靠什么获胜？

交流后教师板书：（获胜）——对策优。

（3）引导学生理性思考：还有别的应对策略吗？请说明理由。

这个问题需要学生进行理性思考，对推理能力和表达能力的要求都比较高。因此，教师先让学生独立思考，然后组织四人小组展开交流，最后小组内推选代表表述观点。

生1：黑方只能用最小的3和红方最大的9比，保证后面两局的胜利。

生2：如果不用3和9比，不管用8或6，都会先输一局，而3一定会再输一局。

3.教师结合板书进行小结：比赛的时候，靠运气好能获胜，靠实力强能获胜，实力弱的靠对策优也能获胜。

扑克牌游戏是学生常玩的游戏，本节课教师从扑克牌比大小的游戏引入，一下子就将学生吸引住了。第一次游戏简单直接，目的是创设生动有趣的比赛情境，降低教学起点，让学生人人都能参与。第二次游戏，教师故意给学生出难题——教师先选牌，逼迫学生进行理性思考：实力弱，怎样对阵才能获胜。实践证明，田忌赛马中以弱胜强的策略，学生完全能够想到。通过交流，学生能在具体情境中感悟到，优化对阵策略，实力弱的一方也能获得胜利。

在这一环节中，最后一个问题富有挑战性：还有别的应对策略吗？请说明理由。解答这个问题，教材采用的方法是罗列出所有应对方法（一共6种），然后发现只有一种方法能获胜。但在教学实践中发现，这不是学生原生态的思维，当面对这个问题时，学生更愿意用推理、说理的方式，而且也能表达清楚。所以我将这个问题交流的教学目标定于培养学生推理能力和表达能力，而引导学生有序思考、一一列举放到第二个环节。

片段二：疑难探究，锤炼思维

1.提出挑战性问题：教师故意背对学生，打乱三张红色牌的顺序，反面朝上随机呈现在黑板上。

师：不知道老师的出牌顺序，你还能获胜吗？

学生独立思考后，指名一位学生在黑板上摆好黑色牌（反面朝上）。

师：摆好后，我们的出牌顺序就都不能变了。现在我们先来看看这位同学的黑色牌的出牌顺序（教师翻开黑色牌，黑色牌的排序是随机的，每次教学都可能不一样）。

2.提出猜想：

师：你们认为比赛结果会怎么样？

生1：我们肯定输了！

生2：我们不太可能赢。

师追问：你们有可能获胜吗？

生3：有可能。

生4：我们获胜的可能性很小。

教师板书猜想：有可能胜；胜的可能性小。

教师质疑（分别打上问号）：有可能胜？红色牌的排列顺序是怎样时，你们能获胜？

3.思考交流：

生：6上面是5，8上面是7，3上面是9。

教师引导学生思考：如果红色牌的出牌顺序是5、7、9，黑方能否获胜？观察、交流后确认“有可能胜”。

师：胜的可能性小？你们是怎么想的？

生1：红色牌不一定是这么出的。

生2：红色牌还有很多种出法，黑色牌都会输的。

师：红色牌到底有几种不同的出法呢？请大家独立写一写。

学生独立写完后，请几名学生口答（一般情况下，大多数学生都能有序地写出所有6种不同的出法），教师有序板书6种出法，并引导学生观察、思考：在这6种出法中，黑色牌能获胜的有几种？

师：经过刚才的交流和讨论，谁能再说一说，为什么说黑色牌胜的可能性小？

生：因为红色牌一共有6种不同的出牌方法，其中黑色牌能获胜的只有一种，所以说黑色牌胜的可能性小。

4.验证猜想：

教师翻开红色牌，翻开前让学生决定先翻开哪一张，希望看到几。（一般学生都希望先翻开3上面的那一张，并希望它是9）

教师翻开3上面那一张后，继续引导学生思考。如果翻开后是9，学生会非常兴奋，这时教师追问“你们一定能获胜了吗？”；如果翻开后不是9，教师追问“还要继续翻吗？”。这样教学，数学活动的思维含量得到显著提高。

5.质疑讨论：

师：刚才我们认为，实力弱的时候，靠对策优也能获胜。现在怎么成了胜的可能性小了？

生1：因为我们不知道红色牌的出牌顺序。

生2：这样我们没办法用对策，只能靠运气了。

师：看来靠对策优获胜是有条件的，那就是要后出牌，这就是我们经常说的“后发制人”（板书）。

引导学生经历思维的全过程，是培养学生数学思维能力的重要途径。在每人三张牌比大小的游戏中，正常情况下，学生是不知道对方的出牌顺序的，这时候，学生可以预判对方可能的出牌顺序，但也得清楚地认识到实力弱的一方“有可能胜”，但“胜的可能性小”，从而懂得靠对策优获胜是有条件的。怎样让学生达成这样的认识，并在这其中发展思维呢？上述教学中，将红色牌反扣在黑板上是十分重要的一步，当学生看不到红色牌出牌顺序时，就会深入思考比赛的结果，提出猜想。当学生需要想办法说明“有可能胜”时，他们的推理能力就得到了锤炼。当学生需要说明“胜的可能性小”时，有序思考，罗列所有可能的出牌顺序成为学生的主动需求。当学生在生动、有趣的数学活动中深刻认识到靠对策优获胜必须具备“后发制人”的条件时，思维的严谨性得到了较好的锤炼，这正是基于数学核心素养的教学。

值得一提的是，本节课的教学内容虽然是优化思想，但从思维能力培养的角度，还有前伸后延的教学目标，前伸是学生已有的有序思维的应用，后延是随机思想的渗透。

片段三：变式运用，完善思维

第三次游戏：师生两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出3次，赢两次者胜。

师：第三次游戏规则同前，但要再增加一条：先选牌的，先出牌（课件补充呈现）。

师：老师为大家重新抽出了3张红色牌和3张黑色牌。请大家思考，你们准备让老师先选牌，还是你们先选牌？

生1：老师您先选牌，我们后选。

生2：这样我们可以后发制人。

教师呈现下面的两组牌：

红色牌：10、7、4。

黑色牌：9、3、2。

当学生看到牌，马上后悔了，嚷嚷着“肯定输了”。

师：你们怎么知道肯定赢不了？

生1：因为老师你一定会选红色牌的。

生2：黑色牌只有一张9能获胜。

师：如果红色牌不变，还是 10、7、4。但允许你换掉1张黑色牌，你准备换哪一张？

学生都想换掉那张最小的2，也有学生认为换掉3也行。

师：如果换掉2，你准备换成几？最小可以换成几？换成4行不行？

通过交流，学生认识到，只有较大的两张黑色牌大过较小的两张红色牌，黑方才有可能获胜。

师：除了要后发制人，靠对策优获胜还需要满足什么条件？

生1：牌不能太小。

生2：实力相差不能太悬殊。

生3：至少要有2张牌能大过对方。

教师补充板书：实力相当，后发制人。

不断制造思维冲突，是组织数学活动的关键因素。只有让学生一次次掉入思维陷阱，才能不断激发学生的思维能量。面对新规则“先选牌的，先出牌”，还停留于第二次游戏活动经验中的学生自然掉入了思维陷阱。但当学生意识到上当后，他们的数学思维就得以完善，更加严谨了。

片段四：经典故事，提升思维

1.视频播放《田忌赛马》的故事，播放到一半时暂停。

师：你知道孙膑给田忌出了怎样的主意？

生：田忌用下等马对齐威王的上等马，用上等马对齐威王的中等马，用中等马对齐威王的下等马。

师：你能在黑板上找到齐威王的上等马吗？看着黑板说一说第一次比赛和第二次比赛田忌的马的出场顺序。

生：第一次——上、中、下；第二次——下、上、中。

2.继续播放视频，感受田忌赛马的智慧。

3.深入思考：在《田忌赛马》的故事中，谁最聪明？聪明在哪里？

生：孙膑最聪明，他让田忌改变马的出场顺序，实现以弱胜强。

师：孙膑的策略有风险吗？你认为孙膑的聪明还体现在什么地方？

生1：孙膑的策略也是有风险的，如果齐威王猜到孙膑会让田忌改变出场顺序，他只要也变一变，田忌就不可能获胜了。

生2：孙膑他懂得齐威王的心理，预判到第一次获胜的齐威王不会改变马的出场顺序。

师：是啊，知彼知己才能百战不殆！

按照人教版教材的编写顺序，本课例题教学的是《田忌赛马》的故事，扑克牌比大小是练习中的内容。笔者在教学时，调整了教材的教学顺序，从扑克牌游戏切入。一方面，四年级学生更熟悉也更喜欢在游戏活动中学习；另一方面，扑克牌游戏更容易引导学生有层次地思考，数学化地表达。在学生通过参与数学游戏活动，对优化思想有了较为深刻的认识后，再让学生听一听《田忌赛马》的故事，并将孙膑的优化思想和扑克牌游戏的优化思想进行同化，从而实现迁移，提升了学生的思维水平。

综观整个教学过程，教师引领学生在数学游戏活动中充分经历优化思想的形成过程，不但懂得以弱胜强的策略，还明晰了靠策略取胜所必须具备的条件，让学生的思维更加严谨、深刻，较好地达成了引领学生思维在生动中走向深刻的教学理念。这样教学《田忌赛马》的故事，从德育教育的角度思考，还让学生明白一些人生的道理，笔者认为，如果通过本节课的教学，学生只知道以弱胜强，靠策略取胜，他们收获的只是一些小智慧、小技巧。其实，一个人要想胜出，首先要靠实力，只有强大自己，才能立于不败之地。当实力还弱于对方时，也不能放弃努力，因为在一定条件下，正确选择应对策略，也能够以弱胜强。通过这一内容的教学让学生对这些问题有所思考、有所感悟，这或许比培养学生的数学思维更加重要。

通过《对策问题》一课的案例分析，可以梳理出引领学生思维在生动中走向深刻的教学策略。

首先，数学教学要始终保持学生对未知的好奇心。对未知的好奇与渴望是驱动学生探索的强大动力，创设情境、发现问题和提出问题，都要置学生于愤悱之间，要挠到学生认知的痒处。如本课教学中，主要教学情境就是扑克牌游戏，教师通过“拿黑色的这三张，还有办法获胜吗”“不知道教师的出牌顺序，你还能胜吗”“你们准备让老师先选牌，还是你们先选牌”这三个问题始终让学生保持着对未知的好奇心。

其次，要努力让学生主动投入探索之中。改变教师满堂问的教学方式，以具有较大思维空间的核心问题引领学生探索，保证学生独立探索的时间，努力让课堂静下来，让学生的思维自然流淌。如本课教学中，在研究“不知道教师的出牌顺序，你还能胜吗”这个问题时，教师放手让学生主动思考，自主探索，合作交流，从而引领学生思维走向深刻。

再次，要引领学生有效展开对话与交流。教师教学的艺术集中体现在引领学生对话与交流的能力，只有引领合理才能有效将学生的思维引向深刻。如何找到反馈的最佳切入点，如何合理安排生成性学习材料的反馈顺序，如何在对话与交流的关键处适时追问，等等，都需要教师智慧应对。