和乐文化之优秀案例

张传国　马淑敏

摘 要 利用基本不等式求最值，要注意一正二定三相等，本案例能准确把握高考考点，设计精巧，讲解自然，以学生为主体，引导学生思考，组织学生讨论，激发学生的学习兴趣，渗透数学思想，融贯数学方法，是一堂很好的高三复习课。

关键词 优秀案例 基本不等式 求最值 配凑法 常数代换法 消元法 一正二定三相等

中图分类号：G642.477 文献标识码：A

1教学目标

知识与技能：掌握基本不等式与，会应用此不等式求某些函数的最值。

过程与方法：通过具体例题研究，掌握应用基本不等式求最值的方法，其中包括配凑法、常数代换法和消元法。强调“一正二定三相等”的基本步骤。

情感态度与价值观：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。培养学生的严谨性和批判性。

2教学重难点

重点：应用基本不等式求最值。

难点：多次应用基本不等式的过程中，对“三相等”的验证；基本不等式求最值的方法的灵活应用。

3教学过程

考点梳理：

（1）基本不等式：

基本不等式成立的条件：

等号成立的条件：当且仅当 时取等号

其中称为正数a，b的 ，称为正数a，b的 。

（2）基本不等式的变形

重要不等式：.当且仅当a=b时取等号。

，当且仅当a=b时取等号。

，，当且仅当时取等号。

重要结论：

（a，b同号），当且仅当a=b时取等号。

（3）利用基本不等式求最值

已知a>0，b>0，则

如果积ab是定值p，那么当且仅当______时，a+b有最___值是_______.（简记：积定和最小）

如果和a+b是定值s，那么当且仅当______时，ab有最___值是_____。（简记：和定积最大）

基本不等式求最值的基本步骤是

一正：即问题中的数或代数式必须是正的；

二定：求“积”的最值，考察“和”一定；求“和”的最值，考察“积”一定.

三相等：即求出取最值时应满足的条件。

教材为本：

（1）给出以下函数：

， ， 。当x取正数时最小值为2的函数是________（写出所有正确答案的序号）。

（2）[教材改编] 若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是________。

（3）[教材改编] 若x>-3，则x+的最小值为________。

例题剖析

考向一：配凑法

例1：已知x ，求f（x）=4x-2+的最大值.

[解析] 因为x所以5-4x>0，则f（x）=4x-5+

当且仅当5-4x=即x=1时，等号成立。

故f（x）=4x-2+的最大值为1。

例2：已知，则当取得最大值时的取值为________。

[解析]

当且仅当，即时等号成立.

考向二： 利用常數代换法求最值

例3且求的最小值

讨论：应用基本不等式这样解对不对？

结果：不正确，等号成立的条件不一致。

当且仅当不存在这样的

正解：

当且仅当解得，时等号成立。

讨论：若条件改为x+2y=3，又该如何处理呢？

[总结反思] 常数代换法主要解决形如

“已知cx+dy=t（t为常数），求的最值”型问题，先将转化为，再用基本不等式求最值。反之，

“已知（t为常数），求cx+dy的最值”型问题，也用同样的方法

考向三：消元法

例4：若且求的最小值

解析：，

当且仅当，解得，时等号成立。

教师提问：这个题除了常数代换还有别的方法吗？

法二：解析

当且仅当解得时，取最小值，为18。

消元法可以将二元问题简化为一元问题再解决

课堂小结：

（1）知识点：应用基本不等式求最值

（2）方法：配凑法、常数代换法和消元法。“一正二定三相等”的基本步骤。

（3）课后思考题：已知求的最小值。

4课后评价

（1）老师在本节课的教学过程中，能准确地把握高考中基本不等式的考点，素材选择恰当，讲解由浅入深；重点应用了三个基本方法：配凑法、常数代换法，消元法。

（2）本堂课上的很有活力，课堂上教师极具亲和力，引导学生思考，组织学生讨论问题，板书公整，突出重点，普通话标准，课堂氛围很好。

（3）在例题的设计上，也比较精巧。比如在常数代换法上，先给出一个两次应用基本不等式的错解，先破后正，让学生共享错误资源，在剖析错误的过程中，经历由“误”到“悟”的思维过程，培养学生的严谨性和批判性。再通过例题变式，归纳出常数代换法的应用范围与步骤，这个过程把课程推向高潮。再比如在变式题中应用了常数代换法解题后，老师提示可以一题多解的思路，自然而然引出了又一个主要方法，即消元法。消元法也是高中数学学习中真正体现通性通法的一种方法，将双变量问题转化为单变量问题，让问题简化。

（4）本堂课中，教师并不是满堂灌，而是还课堂给学生，尽可能给学生充足的时间去发挥，独立解决问题、小组讨论去解决问题，激发学生学习的兴趣。

（5）教师在本节课的教学过程中，不仅引导学生学习了基本不等式求最值的基本方法，而且还注重了数学思想的渗透，是一堂很好的高三复习课。