基于脉冲响应函数和虚拟脉冲响应函数的挡土墙结构损伤诊断*

徐乾，杨超，陈建功

（1.陕西理工大学土木工程与建筑学院，陕西汉中723001；2.三峡大学三峡库区地质灾害教育部重点实验室，湖北宜昌443002；3.重庆大学土木工程学院，重庆400045）

挡土墙作为一种常见的支挡结构，广泛用于建筑工程、交通工程、地下工程等领域。然而，在环境侵蚀、材料老化、荷载变异等因素的综合作用下，损伤（微裂隙、孔洞）会在挡墙内部不断出现并累积；当这些损伤积累到一定程度，就可能引发挡墙的破坏或失效。如：2008年杭州市地铁地下连续墙倒塌事故，造成了21人丧生、24人失踪、直接经济损失4 961万元；2012年福建南安申鹭百米挡墙塌陷，造成大量民宅被毁、百余村民被迫撤离；2014年青岛市一挡墙发生坍塌，事故造成18人死亡、3人受伤；2016年福建泉州一别墅区挡墙坍塌，造成2人死亡、6人受伤。因此，有必要定期或实时对挡墙结构的 “健康状况”进行诊断，以期及时发现损伤、及时处理。

目前，关于土木工程结构的 “健康诊断”大都针对梁[1-2]、板[3]、柱[4]等结构构件，或是建筑结构[5-6]和桥梁结构等[7-9]。刘礼标等[10-11]基于动力参数法识别挡墙损伤。但，挡墙结构具有大体积、高质量等特点，损伤（尤其是局部损伤）对其动力参数（如频率、振型等）的影响较为微弱。在观测噪声干扰下，精确测量频率或振型（尤其是高阶振型）变化十分困难[12-14]。因此，基于动力参数的损伤诊断方法仍然无法有效诊断挡墙损伤。而大量研究表明：基于小波包变换的损伤诊断方法具有良好的损伤敏感性和鲁棒性，可有效诊断结构损伤[15-17]。基于此，本文对挡墙结构系统脉冲响应函数及虚拟脉冲响应函数进行了小波包频带能量谱分析，创建损伤特征向量谱、提出损伤识别指标，基于损伤特征向量谱及损伤指标诊断挡墙损伤。

1 损伤识别指标

在外部激励作用下，结构将产生动力响应。对结构损伤前后动力响应信号进行小波包分析，可获得损伤信息。当外界激励恒定时，对结构动力响应信号进行小波包频带能量谱分析，可诊断结构损伤。然而，基于响应信号的小波包频带能量谱并不属于结构系统的固有动力属性；当外界激励变化时，基于响应信号的小波包频带能量谱随激励变化而变化。而结构系统激励与响应间脉冲响应函数（以下简称脉冲响应函数）或系统虚拟激励与虚拟响应间虚拟脉冲响应函数（以下简称虚拟脉冲响应函数）则属于结构系统固有属性[18]。因此，分别对脉冲响应函数和虚拟脉冲响应函数进行小波包频带能量谱分析，提出损伤指标。

1.1 脉冲响应函数

对于一个多自由度线性阻尼结构系统，其运动微分方程为：

式（1）中 M∈ Rn×n、C∈ Rn×n、K∈ Rn×n分别表示结构动力系统的质量矩阵、阻尼矩阵以及刚度矩阵。U∈Rn×1与F∈Rn×1分别为系统的位移矩阵和激励力矩阵。

在瞬时激励F（t）作用下，结构系统响应为U（t），对激励和响应进行傅里叶变换，在频域内满足下式：

式（2）中H（ω）是频率响应函数，U（ω）和F（ω）分别为响应U（t）和激励F（t）的傅里叶变换，其中

对频响函数H（ω）进行傅里叶逆变换，得到系统激励与响应间的脉冲响应函数H（t）：

通过以上分析可知，不论激励恒定还是变化，只要系统激励与响应已知，即可求得脉冲响应函数。

1.2 虚拟脉冲响应函数

同样，对于一个多自由度动力系统，参考点j的响应uj（t）（虚拟激励）的自谱密度Guu（ω，j）为：

式（6）中U（ω，j）为虚拟激励uj（t）的傅里叶变换，U*（ω，j）为uj（t）的复共轭。

参考点j的响应uj（t）和测点i的响应ui（t）（虚拟响应）的互谱密度Gyu（ω，i，j）为：

式（7）中U（ω，i）为响应ui（t）的傅里叶变换。根据激励和响应在频域内的关系，U（ω，j）和U（ω，i）可分别表示为：

然后计算uj（t）和ui（t）间的虚拟频率响应函数 Hyu（ω，i，j）：

对Hyu（ω，i，j）进行傅里叶逆变换，即可求得uj（t）和ui（t）间的虚拟脉冲响应函数Hyu（t，i，j）：

从以上分析可知，系统响应间虚拟频率响应函数Hyu（ω，i，j）与激励无关。同理可得，响应间虚拟脉冲响应函数Hyu（t，i，j）同样与激励无关。当两点响应已知时，即可求得其虚拟脉冲响应函数。

1.3 损伤特征向量谱

对脉冲响应函数H（t）或虚拟脉冲响应函数信号Hyu（t，i，j）在I层尺度空间上进行小波包分解可得：

式中，hJI和hyuJI表示I层尺度空间上的子频带信号分量。根据小波包频带能量谱理论，任一子频带信号的能量EJ为：

式中，l为信号采样点个数。因此，信号的小波包

频带能量谱EI可表示为：

对EI进行归一化处理，并按大小进行排序后，形成一个能量比序列ERI：

在ERI基础上，定义能量比偏差ERDK：

式中和分别表示结构无损状态和有损状态下第K个频带的能量比。基于ERDK定义小波包频带能量比偏差向量谱ERDI：

ERDI反映了每个子频带上的能量比变化情况，若结构未发生损伤，ERDI＝0；若结构发生损伤，ERDI≠0。由于观测噪声平均分布在每个子频带上，那些能量较低频带上的能量比变化会被观测噪声所覆盖，而无法有效反映损伤信息，往往只有那些能量较大频带才能有效反映损伤信息。因此取ERI中前P个能量比较大的频带，使相对积累能量比阈值ε0一般取85～95。

识别损伤除ERI中这前P个频带外，剩余的频带对损伤识别的贡献也不容忽视。于是把ERI中剩余的频带合并为一个新的频带，称之为剩余频带，并定义其能量比ERP＋1为：

这（P＋1）个频带就被称为特征频带，于是构建小波包损伤特征向量谱ERDP＋1：

当ERDP＋1＝0，表明特征频带能量比无变化，因此挡墙未发生损伤；当ERDP＋1≠0，表明特征频带能量比已发生变化，此时挡墙发生损伤。因此，损伤特征向量谱可用于判别挡墙损伤状态。

基于ERDP＋1，提出损伤识别指标能量比均方差ERSD：

当ERSD＝0时，挡墙结构无损；当ERSD＞0时，挡墙有损。

2 试验研究

某桩板式挡土墙高2.2 m、长3.0 m，墙厚0.2 m，挡墙锚固深度0.6 m，墙后填土为杂填土，通过浆砌石约束墙后土体侧向变形，如图1中（a）所示。试验中损伤可采用降低弹模（如变换材料）、改变构件横截面积（如钻孔、削弱截面尺寸）、弱化构件连接性能等方式进行模拟。本文通过在无损挡墙上钻孔，用孔洞模拟局部损伤。孔洞直径2 cm、深度为10 cm，如图1中（b）中所示。随着孔洞数量的增加，损伤程度逐渐增加，损伤工况如表1所示。为了表征局部损伤程度DI，令DI＝VD/V＝（N·Vh/V），N表示钻孔数量，Vh表示每个钻孔的体积，V表示挡墙上局部损伤区域的体积，具体尺寸为V＝25 cm×25 cm×10 cm。当DI＝0时，挡墙不存在局部损伤；随着DI的增大，局部损伤程度逐渐增加。

表1 损伤工况Table 1 Damage cases

图1 桩板式挡墙Fig.1 Pile plate retailing wall

对该挡墙进行脉冲激励和环境激励振动测试，如图2所示。施加脉冲激励的装置为DFC-2型力锤，该力锤可同步记录锤击脉冲信号。环境激励一般包括：车辆振动荷载、机械振动荷载、风荷载、地震荷载、爆炸荷载等及其组合，往往具有强烈的随机性和不可控制性。为了模拟环境激励，本文采用与文献[19]类似的方法，即通过多点随机激励模拟环境激励。具体做法是：由3个不同的实验人员，用不同型号的激励锤在任意3个不同的激励点进行连续锤击，如图2中（b）所示。由于激励锤的个体差异性以及试验人员的相互独立性，模拟激励必然具有较强的随机性和不可控制性，因此模拟的激励更为接近真实环境激励。

图2 挡土墙动力测试Fig.2 Dynamic tests on the retaining wall

考虑到充足的测试数据是损伤定位精度的保证，在挡墙上布置了26个水平加速度传感器（941B型拾振器）。信号采集系统为JM3863A型无线振动测试系统，采样频率1 024 Hz；振动测试系统将记录的信号通过网关同步传输到计算机进行处理，网关为JM1802型无线网关；激励点位置如图2中（c）中的Ⅰ-Ⅵ点所示。

通过信号处理，得到锤击脉冲与测点（1-25号测点）响应信号间的脉冲响应函数，以及参考点（26号测点）与计算点（1-25号测点）响应信号间虚拟脉冲响应函数，采用Daubechies18小波函数对脉冲响应函数和虚拟脉冲响应函数进行小波包分解，分解层次为7层，通过阈值（ε0＝95）确定特征频带数量。特征频带是否能够全面反映损伤信息，可以通过特征频带相对累积能量比这一指标来判断。以12号测点为例，当挡墙无损时，其脉冲响应函数前5阶特征频带的累积能量比占总能量比的90%～95%，如图3中（a）所示。这说明，小波包频带能量谱的能量主要集中在少数频带上，而多数频带的能量则较小。另一方面，有损挡墙按照无损挡墙的频带阶次计算相对累积能量比时，前5阶频带的相对累积能量比与完好挡土墙基本相同。这说明，采用无损挡土墙确定的损伤特征频带可以有效地提取挡土墙损伤前后主要频带的能量信息，所选取的能量比积累阈值是合适的，由此确定的损伤特征频带能够较好地反映挡土墙的损伤信息。类似的，通过图3中的（b）也可得到相同的结论。

2.1 判别挡墙损伤状态

基于脉冲响应函数和虚拟脉冲响应函数，构建小波包损伤特征向量谱，如图4-5所示。如前所述，当损伤特征向量谱为零向量时，挡墙不存在损伤；当损伤特征向量谱为非零向量时，挡墙存在损伤。因此，基于脉冲响应函数和虚拟脉冲响应函数的小波包损伤特征向量谱均可判别挡墙损伤状态。然而，受损伤位置以及激励点位置等因素的影响，不同测点的损伤特征向量谱对损伤的敏感性不尽相同，如：7号测点对损伤的敏感性相对较弱，而位于损伤区域的12号测点则具有良好的损伤敏感性。

2.2 诊断挡墙损伤位置

图3 相对累积能量比Fig.3 Relative cumulate energy ratio

图4 小波包损伤特征向量谱（7号测点）Fig.4 Wavelet packet damage feature vector spectrum（point 7）

对于一个结构动力系统而言，结构局部刚度的变化必然引起系统动力响应的变化，且响应在局部刚度突变处变化尤为剧烈。同理，基于脉冲响应函数和虚拟脉冲响应函数的损伤指标在刚度变化处必然发生突变，据此诊断挡墙损伤位置。首先，计算不同损伤程度下25个测点对应的特征频带能量比偏差，然后根据（20）式计算损伤指标ERSD，可得到25个ERSD值。通过MATLAB程序把这25个ERSD值绘制在一张曲面上，通过曲面的变化特征诊断损伤位置，如图6-7所示（其中H表示挡墙高度，L表示挡墙长度）。不难发现，ERSD曲面的峰值坐标出现在（L＝1.5 m，H＝1.0 m）附近区域，而此处正是试验模拟的损伤中心。因此，通过ERSD曲面的峰值位置可诊断挡墙局部损伤位置。

图5 小波包损伤特征向量谱（12号测点）Fig.5 Wavelet packet damage feature vector spectrum（point 12）

图6 损伤指标走势曲面图（DI＝8.04%）Fig.6 Trend surface of the damage index（DI＝8.04%）

图7 损伤指标走势曲面图（DI＝12.06%）Fig.7 Trend surface of the damage index（DI＝12.06%）

2.3 识别挡墙损伤程度

对位于损伤区域的12号测点在不同激励位置、相同损伤程度下的损伤指标取平均值，记为。直接对损伤程度DI与损伤指标进行多项式拟合，会导致多项式阶数较高，以及多项式系数巨大。所以，将相对损伤程度Di与损伤指标间的定量关系进行多项式拟合，得到Di与之间的定量关系式：

式中，Y均表示相对损伤程度 Di，且 Di＝DI×100，x和z分别表示基于脉冲响应函数和虚拟脉冲响应函数的损伤指标均值。

损伤指标与损伤程度间的关系曲线，如图8中（a）所示。不难发现，拟合曲线具有良好的拟合程度，这表明经过多项式拟合得到的定量关系式能较好地表征挡墙损伤程度与损伤指标间的定量关系。当损伤程度与损伤识别指标定量关系已知时，通过损伤识别指标可求出损伤程度。以基于虚拟脉冲响应函数的损伤指标为例，当12号测点的＝1时，相对损伤程度Di＝4.27，绝对损伤程度 DI＝Di/100＝VD/V＝4.27%，当V＝6.25×105mm3时，损伤体积VD＝2.67×104mm3。因此，通过该定量关系式可实现对挡土墙局部损伤程度的定量识别。

受激励影响，同一损伤程度对应的损伤指标值具有一定的波动现象。为了刻画波动的程度，对同一损伤程度下的ERSD进行标准差分析，并绘制ERSD标准差曲线，如图8中（b）-（c）所示。相比之下，基于虚拟脉冲响应函数的损伤指标波动较小，基于脉冲响应函数的损伤指标波动相对较大。因此，基于虚拟脉冲响应函数的损伤指标具有更强的稳定性。

图8 损伤指标与损伤程度关系曲线Fig.8 Relationship curve between the damage index and damage intensity

3 结 论

对脉冲响应函数及虚拟脉冲响应函数进行小波包频带能量谱分析，构建了损伤特征向量谱，并提出了损伤指标。当损伤特征向量谱为零向量时，挡墙无损；当损伤特征向量谱为非零向量时，挡墙发生损伤。局部损伤会导致损伤区域测点损伤指标值突变，通过损伤指标走势曲面图的变化特征可有效诊断挡墙损伤位置。通过损伤指标与损伤程度关系曲线可定性识别挡墙损伤程度，分析损伤程度与损伤指标间的定量关系，可实现对损伤程度的定量识别。基于脉冲响应函数及虚拟脉冲响应函数的损伤特征向量谱及损伤指标均可敏感判别挡墙损伤状态，有效诊断挡墙损伤位置以及定量识别挡墙损伤程度。

虚拟脉冲响应函数只与结构响应有关，与外界激励无关。因此，基于虚拟脉冲响应函数的损伤指标不受外界激励影响，具有较强的稳定性。受锤击脉冲激励时程及激励位置影响，基于脉冲响应函数的损伤指标稳定性相对较差。因此，基于虚拟脉冲响应函数的损伤指标更适于诊断挡墙损伤。

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