定义运算“算理”，构建算理体系

郑义富

数学课程标准（2011年版）将“运算能力”作为核心概念提出，运算素养也是学生应具备的数学核心素养之一。但教材或教参中并没有对四则运算的“算理”做过明确的定义，导致教师在教学中只能进行“自我”的表述和模糊判断。本文通过对四则运算算理的梳理，依据算理的作用及地位，结合教学实践，将算理分为“核心算理、基本算理、具体算理、应用算理”，并分别定义，进而构建“算理体系”。

一、整数四则运算算理的基本要素

（1）核心算理。四则运算包括加、减、乘、除四种基础运算，每一种运算的知识点有十几甚至几十个，这些知识点按照小学生认知发展的水平分布在小学各册教材中。相应的算理也呈现出类似的“点状分布”。所有这些点状呈现的算理是否有一个赖以存在并发展的最核心的原理或准则？一定存在！这一核心原理或准则我们就称之为“核心算理”。“核心算理”承担着统领所有四则运算算理及相应算法的重任！

（2）基本算理。四则运算中的加、减或乘、除虽然有着紧密的内在联系，但毕竟在运算规则方法和运算形式上有着很明显的区别。那么，每一种运算都应该有一个主要的贯穿这种运算始终的原理或准则，即为“基本算理”。

（3）具体算理。在小学中，每一种运算按照小学生认知发展规律被划分为不同的知识组块。每一知识组块又根据运算形式和表达方式的不同分为口算、笔算（包括竖式笔算、递等式等）、估算等形式。每一知识组块、每一种运算形式都有其相应的不抽象不笼统细节明确的算理，这就是“具体算理”。

（4）应用算理。我们知道，数学不是封闭的象牙塔，一定要与生产生活紧密联系。那么在具体的实际问题中，又有着解释其实际意义的“算理”作为计算的内在支撑。这样的算理可以称为“应用算理”。

二、算理体系的基本结构

算理体系中的四个基本要素的连接构造应为树状结构。核心算理是根基与主干，基本算理是主干上的四个枝干，分别为加、减、乘、除四种运算。每一枝干上因知识组块的不同而生长出大小不一的枝丫，对应着同一种运算下的细节性的具体算理。在具体算理的枝丫上则舒展着不可计数的树叶——实际应用的算理。这些汁液饱满的树叶让整个算理体系生机勃勃。当然，所有的计算都是基于核心算理这个粗壮的树干而存在的，没有了这个树干，整个体系也就轰然倒塌了。厘清了算理的结构，方能做到将算理“了然于胸”，教学时才能实现“以理驭法”。

三、整数四则运算算理的具体阐释

（一）整数四则运算核心算理的剖析

核心算理包含两个层面，一是计算的原理，也就是十进位值制。二是计算的基本规则，就是计算的模型化。

1. 十进位值制。十进位值制是四则运算算理的根本之源，是最基本的运算准则。十进位值制的发展可以从低到高划分为下面四个层级，这四个层级恰好也对应着运算本身的发展层次。

（1）对应计数。最原始的计数方法应当是与实物一一对应的“点数”法。

（2）十进制计数。随着生产生活的发展，点数法显然不能满足较大数的计数，这就需要重复使用有限数字，按一定规则组合后表示更大的数量，“十进制”也就随即产生。十进制是计数发展的关键节点，一般认为十进制的产生与人的十根指头相关。我们现在的四则运算都是不折不扣的“十进制”，比如加法中的“满十进一”、减法中的“退一当十”都是“十进制”的具体体现。

（3）符号计数。符号计数使得运算变得快捷方便。尤其是阿拉伯字符的发明更是前所未有地发展了运算系統。特别是在“+-×÷”等记录符号出现后，笔算书写变得越来越简洁，这也是四则运算模型化的一个必然条件。

（4）位值制。位值制是建立在进位基数之上的位置系统。有了位值制，就不需要特殊标识表示数值，只需根据不同位置确定相应位值。简单说，就是数字因摆放的位置不同表示的数值大小也不同。在四则计算中强调要数位对齐、同数位相加减，都是基于“十进位值制”，只有位值一致的数才能直接相加减。

2. 模型化。“模型化”指的是不同的运算要遵循相对应的问题情境及固定的运算模式。某一类或几类现实问题可以归为其中一种模型，按照这一模型的运算方式及程序进行计算。四则运算分为加、减、乘、除四种模型。形如“聚合、移入、增加、继续数”等问题适用于“加法”模型；“剩余、减少、比较、往回数，以及加法逆运算”等问题适用于“减法”模型；“相同数的和（等量组聚集）、矩形队列、倍数、搭配”等问题适用于“乘法”模型；“等量递减、平均分、包含、比率、乘法逆运算”等适用于“除法”模型。每一种模型都有着严格的运算规则，这种规则经长时间的演变，最后形成定型，也就是我们现在适用的四则运算规则。可以说，模型化既是四则运算的核心算理，又是四则运算最为显著的外部（外型）特征。

（二）整数四则运算基本算理的表述

整数四则运算的基本算理是核心算理在四种不同的运算中的生长与发展。

1. 加法的基本算理。把两个数合成一个数的运算。运算时相同数位的数逐次直接相加，每一数位加的方法都与个位数加的方法相同，某一数位上的和满十则向前一位进一继续求和。

2. 减法的基本算理。从一个数中去掉另一个数的运算。运算时相同数位的数逐次直接相减，每一数位减的方法都与个位数减的方法相同，某一数位上的数不够减则由前一位退一当十继续求剩余数。

3. 乘法的基本算理。求相同加数和的快捷运算，运算时以乘法（九九）口诀的熟练技能为基础，按数位顺序分步求出和为几个一、几个十、几个百……最后累加求总和。

4. 除法的基本算理。一个数（被除数）被等量（除数）递减，求递减次数（商）及最后剩余（余数）。运算时以乘法（九九）口诀的熟练技能和“平均分”的实操模型为基础，按数位顺序分步求出递减次数和剩余数，每次剩余和下一位数合起来继续计算，直至余数小于递减数不够再减（分）为止。

（三）整数四则运算具体算理与算法的辨析

具体算理是核心算理和基本算理在具体的运算中的解释和说明。与具体算法相呼应，是算法的依据。如，20以内的进位加法的算法有：点数（一个一个数）、接着数（数继数）、依据数的组成（表象记忆法）、凑十法。这些个“算法”都遵循相同的算理，就是“十进制计数”。“凑十法”被公认为优化的方法。有教师将其总结提炼为“看大数、想凑数，拆分小的数，凑成整十数”，这仅仅是算法技巧的概括，既不是算理也不是算法。类似地，20以内的退位减法计算方法有：点数法、想加算减法、破十法、连减法。无论哪种算法，遵循的也都是“十进制计数法”这一核心算理。而其中的“破十法”就是十进制计数在算法中的应用，同时也为减法的竖式写法打基础。当然，减法的竖式写法所遵循的算理还要增加一条“位值制”，即“十进位值制”。“具体算法”需经常根据不同的知识组块进行总结概括。如一位数除三位数算法概括为：从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位，如果它比除数小，再除前两位，除到被除数的哪一位，就把商写到哪一位上，每求出一位商，余下的数必须比除数小。这是一类运算问题的算法概括。强调的是算的“程序”、书写的顺序、表达的规范。而与此相应的具体算理可以这样概括：将被除数（分开）看作几个百、几个十、几个一，依次进行平均分（或计算包含的个数），求出平均分的份数（或包含的个数），每次剩余都和下一位合起来再分。直至最后余数小于除数。

（四）整数四则运算应用算理的例说

整数四则运算应用算理包括直观演示的算理以及解释实际意义的算理。无论是核心算理、基本算理还是具体算理，都是较为抽象的，要想促进学生对算理的理解、算法的把握，还要依据小学生的年龄特点和真实生活经验，借助于直观的表象或空间图形，形象地解释或展示运算算理。这样的算理可以称之为直观算理或应用算理。

1. 实际操作演示直观算理。例如在教学口算除法例题120÷3时，就可以直观演示“分纸”的过程，“10张1沓的纸共12沓，平均分成3份，每份是4沓，即4个10张，也就是40张”。

2. 通过解释实际意义理解并巩固算法。如人教版三年下册口算乘法例1，“每筐装15盒草莓，买3筐共多少盒？”列算式是15×3，口算的过程用算式表达为：10×3=30；5×3=15；30+15=45。教学时就可以通过引导学生说说其“應用算理”进行算法强化。如“先算每筐10盒，3筐就是30盒，再算每筐里的5盒，3筐就是15盒，最后将两次计算的结果相加，得出总盒数为45盒”。同样，在解决实际问题的教学中，我们一定会借助解释实际意义的算理帮助学生分析题意理解算法。这些都体现了“应用算理”的重要作用。

教师要厘清算理，掌握算理的脉络体系，只有这样才能实现在教学中“以理驭法”，让学生“知其然”并“知其所以然”。但是，无论哪一种算理，都是为学生思维的发展服务的，在教学中不必要求学生过分纠缠算理，当以理解内化为重。

责任编辑徐国坚