激发联想、学会构造

郭小青

数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美，而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。构造法是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。运用构造法解数学题可激发学生的发散思维，利于培养学生思维的敏捷性、创造性和解题能力。下面通过几个实例说明构造法的巧妙应用。

引例：已知：a，b∈R+且a+b=1.求证：■+■≥■。

要证明上述问题，方法很多，如比较法、分析法、综合法，但是此题是一个无理不等式，直觉上是要先转化为有理不等式，再通过平方后变形化简运用基本不等式即可完成。但问题是我们能否通过联想、构造法来解决这一问题呢，如何构造相对应的数学模型呢？本文以下简述几种常用的构造方法。

一、依据几何特征，联想构造平面几何图形

先仔细观察此题结构，联想相应的几何背景，借助背景图形的直觉功能，使较为抽象的数量关系转化为更直观的几何图形，以形助数，简单明了地抓住问题的本质。

证明1：由■，■联想到勾股定理，它们都表示直角三角形的斜边长，因此可构造直角三角形来证明；

如图1所示：AB=BC=CD=1，BE=a，CE=b，则AE=■，DE=■，AD=■。

显然有AE+DE≥AD，故原不等式成立，当且仅当E为BC的中点，即a=b时，等号成立。

巩固练习1：若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之。

思路分析：此题反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）转化为数学问题：已知实数a，b，m∈R+且a

证明：由题意得■<■（b>a>0，m>0）

证明：（构造几何图形）如图2示，在Rt？驻ABC及Rt？驻ADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD

∵？驻ABC∽？驻ADF，显然CF>CE，

∴■=■<■=■

二、学会转化，构造平面内两点间的距离公式

证明2：观察不等式结构联想到平面内两点距离公式，能否建立两者间的关系呢？

显然原不等式中含有两个变量a、b，不防消去变量b，可得到■+■≥■，即■+■≥■。

容易发现：左边表示x轴上动点P（a，0）（0

可构造图3：取B点关于x轴对称点C（1，-1），则|PA|+|PB|≥|AC|=■，即证。

证明3：通过均值代换构造两点距离公式；令a=■+m，b=■-m（-■

左边=■+■=■+■.塔表示x轴上动点Q（m，0）（-■

巩固练习2：问当x取何值时，函数y=■+■有最小值，并求出最小值。

解析：

∵ y=■+■

=■+■

=■+■

注意到此时观察式子结构特点，从而联想到平面两点距离公式，

求y=■+■的最小值就是求轴x上的点到A、B两点的距离之和的最小值。如图4示：作点A（1，-2）關于x轴的对称点A'（1，2），根据平面几何知识，A'B就是所求的最小值，易知：ymin=A'B=■=5。

设P的坐标为（x，0），则由得■=■，得x=■，所以当x=■时，ymin=5。

三、通过类比联想，直接构造复数或向量的模

通过观察结构特征，发挥联想，对已有的认知结构模式相类比，从而探索问题新的意义，突破思维定势，构造新的模型，达到优化解题效果。

证明4：由■，■联想到复数、向量的模及其三角定理。

可设Z1=a+i，Z2=b+i.则|Z1|=■，|Z2|=■，|Z1+Z2|=■=■，再根据复数模定理|Z1+Z2|≤|Z1|+|Z2|，即证■+■≥■。

四、分析关系特征，直接换元，构造三角函数模型。

由关系式a+b=1直接联想cos2θ+sin2θ=1，可采用三角代换，将不等式问题转化到三角函数问题。

证明5：令a=cos2θ，b=sin2θ（0<θ<■），则有：

左边=■+■=■+■

≥2■

=2■

∵ 0

∴ 左边≥2■=2■=5，当且仅当θ=■时，即a=b时，等号成立。

五、激活想象，发散思维，作较深层次的背景探究，回归构建基本函数模型

本题表面上看是无理不等式的证明，并有两个变量相互制约，常采用纯不等式的方法去证明。但如何仔细挖掘此题的结构特征，能否联想到相关的函数模型，利用函数的图像、性质解决，是否更有效呢？

证明6：由■，■联想到与函数f（x）=■有关，将问题转化到研究函数f（x）=■的性质入手，容易得到函数f（x）=■的图象是等轴双曲线y2-x2=1的上一支，且在第一象限。

观察图像可发现f（x）=■在R上是凹函数。即满足■≥f（■）。因此■≥f（■）=f（■）

∴ f（a）+f（b）≥2f（■）=■

此解法思路颇为新颖，知识性较综合，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行函数模型构造，始终“盯住”要证、要解的目标。有利于训练学生的思维能力和想象能力。

由以上例题可看出构造法可以使某些抽象的代数问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。构造法其实质就是通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题迎刃而解，解题过程简捷明了。

由此可见，构造法是多么的重要。但由于它异于常规的思维，因此掌握起来有一定难度。只要同学们平时多加强这方面的训练，在做题中要注意培养这种思想意识，开拓自己的思维视野，不断在实践中摸索，去粗取精，相信会取得很好的效果。

责任编辑黄博彦