半正定极因子的扰动界

涂媛媛，尚旭东

(南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院，江苏 泰州 225300)

1 预备知识

文献[1]给出矩阵广义极酉分解两个扰动界，该成果改进了陈小山和黎稳[2-3]的相关结论.本文利用广义极分解及奇异值分解的方法，提出F范数及2-范数下新的扰动界，改进了已知结论.

定义1.1[4]设A∈Cm×n有分解

A=QH，

(1)

若Q∈Cm×n是次酉矩阵，H∈Cn×n为半正定阵，则这一分解叫作A的广义极分解.

(2)

(3)

则A=QH是A的广义极分解.

矩阵的广义极分解不唯一，从而给问题的研究以及实际应用带来了困难.下面定理的限制条件，可使广义极分解唯一.

R(QH)=R(H)

(4)

的限制下，A的广义极因子Q，H唯一确定，并由(3)式给出.

(5)

(6)

(7)

(8)

‖Aij‖≤‖A‖，‖B‖≤‖A‖，‖C‖≤‖A‖，‖D‖≤‖A‖，

其中i，j=1，2.

Δ=[α，β]⊂R，Δ′=R(α-δ，β+δ)，δ>0.

2 主要结果

(9)

则S，T为酉阵.由引理1.1有

(10)

同理可得

(11)

应用引理1.1—1.2及(10)—(11)式，

(12)

另一方面，由(12)式可得

注1当引理1.3中的酉不变范数取为F范数时，

(13)

比较(13)与(9)式有

因而定理2.1在酉不变范数取为F范数的情况下改进了文献[1]中定理3.1的结果.

(14)

由引理1.4，

而文献[1]中(3.6)式为

显然，本文的结果改善了文献[1]中推论3.1的结果.

注3在一定条件下，本文定理2.2的结果也改善了文献[4]中的著名估计

(15)

(16)

由此得

(17)

(18)

(19)

由(17)式及引理1.4可得

由(18)，(19)式得

注4当酉不变范数取为2-范数时，文献[1]中定理3.1结果为

(20)

[参 考 文 献]

[1] HONG X L，MENG L S，ZHENG B.Some new perturbation bounds of generalized polar decomposition[J].Applied Mathematics and Computation，2014，233(10)：430-438.

[2] CHEN X，LI W.Variations for the Q-& H-factors in the polar decomposition[J].Calcolo，2008，45(2)：99-109.

[3] LI W.On the perturbation bound in unitarily invariant norms for subunitary polar factors[J].Linear Algebra and its Applications，2008，429(2/3)：649-657.

[4] 孙继广，陈春晖.广义极分解[J].计算数学，1989(3)：262-273.

[5] LI W.Some new perturbation bounds for subunitary polar factors[J].Acta Math Sinica，2005(6)：1515-1520.

[6] 孙继广.矩阵扰动分析[M].第二版.北京：科学出版社，2001：72-95.

[7] DAVIS C，KAHAN W M.The rotation of eigenvectors by a perturbation[J].SIAM J Numer Anal，1986(7)：1160-1174.