几种高中数学轨迹方程的常用解法分析

张成兵

（江苏省宿迁市文昌高级中学，江苏 宿迁）

在高中数学的教学大纲以及高考的考查范围内，对于平面上动点的轨迹方程求解内容都是十分重要的。轨迹也就是点的集合，方程则是实数对所构成的集合[1]。基于某种条件来对某个动点的轨迹方程进行求解，本质上是找到不同变量之间的潜在关系，而这种关系的明确和求得则需要以已知点的特点为基础，即需要充分利用已知的条件。在解决实际问题的过程中，因为动点所呈现出的规律不同，因此也需要采用不同的方法[2]。

一、采用直接法求解轨迹方程

在实际求解过程中，如果题目当中的动点自身是几何量等量关系，这些条件表达起来十分简单明了，这样的情况下可以直接将条件进行转化，将其变为由X、Y等字母所形成的等式，这样就可以得到动点的轨迹方程。

如：已知点 A（-2，0），B（2，0），点 P满足条件为PA·PB=12，求p点轨迹方程。

在看到这个题目时应当遵循求轨迹方程的基本步骤，具体求解步骤如下所示：

（1）结合题目实际要求构建平面直角坐标系；

（2）将运动轨迹上任何一点的坐标设置为n（X，Y）；

（3）找到关系式，需要满足已知点和动点都满足的关系式；

（4）将已知点和动点的坐标代入方程当中；

（5）对方程进行化简处理；

（6）需要对曲线方程是否为轨迹方程进行验证，但是在具体求解时第（3）步和第（5）步通常会被忽略。

根据这个求解思路，对以上问题进行解决，解法如下：

设 P（x，y），则PA=（-2-x，-y），PB=（2-x，-y），

所以PA·PB=（-2-x）（2-x）+（-y）（-y）=（x2-4+4y2）=12

对以上公式整理可以得到：x2+y2=16

二、采用定义法求解轨迹方程

该方法的应用需要满足动点轨迹符合基本轨迹的相关定义，这样才可以根据已有的定义来直接得到某个动点的轨迹方程。通常情况下可以满足的定义为抛物线、椭圆、双曲线以及圆等，这些可以直接采用定义法来求得相应的轨迹方程[3]。

例 2：三角形△ABC 周长为 18，且 B（-4，0），C（4，0），求 A 的轨迹方程。

解：根据题中已有条件可知，BC=8，所以 AC +BC =10＞（ BC）

从点A的运动轨迹来看，是椭圆，且运动焦点为B点和C点。具体轨迹如图所示：

A点运动轨迹图

根据公式b2=a2-c2可得b点值

三、采用相关点法求解轨迹方程

在一些求解运动轨迹方程的问题当中，动点所满足的条件不一定都可以使用等式的形式列出，但是动点必然会随着另一个点的移动而发生相应的变化，我们将其称之为相关点，如果相关点所满足的条件可以被分析或者十分明显，那么在这种情况下就能够得到与运动点相关的动点的坐标，进而求得动点的轨迹方程。采用这种方式得到轨迹方程的方法就被称之为相关点2法。

例3：已知P在以F1，F2为焦点的双曲线上运动，求△F1F2P的重心G的轨迹方程。

解：根据题中已有条件可得：a=4.b=3.

再结合相关公式a2+b2=c2可以得到c值。c=5.

由此可知F1，F2=5

在当中，G点为重心，根据重心坐标公式，可以得到x与 x0，y 与 y0的关系。即

因为p点在双曲线上运动，所以即

根据整理可以得到最终轨迹方程为

四、采用参数法求解轨迹方程

在一些动点轨迹方程求解的过程中，容易遇见一些动点所满足的几何条件不容易被得出的情况，甚至也无法找到一些相关点。但是却能够发现，这些点的运动会受到其他相关变量的影响，比如时间、斜率、角度和比值等相关因素的制约。随着动点坐标的变化，另外的某个变量也会随着动点的变化而发生变化，我们就可以将这个变量当做是参数，再结合参数的实际情况构建参数方程，这就是在轨迹方程当中比较常见的一种解决方法，为参数法。其应用范围比较广泛，如果可以选择比较合适的参数，这种方法就会变成一种比较简便的方法。

参数法具体应用在轨迹方程求解的过程中，应当按照以下步骤开展，具体为：

（1）建立专门的坐标系，然后再将设动点p，其坐标为（x，y）；

（2）结合与轨迹运动相关的已知条件，选择更为合适的参数；

（3）以动点p为基础，构建参数关系式，也就是我们说的参数方程；

（4）需要对参数进行消减，继而得到普通的方程；

（5）在整个参数方法应用的过程中，最为重要的环节就是应用参数方程。在实际运用时，如果某个动点是绕着直线某个点旋转，此时的参数可以选择斜率k。

例 4：平面坐标系中，坐标原点为 O，A 点坐标为（3，1），B点坐标为如果点 C 满足以下条件其中α，β∈R，且 α+β=1，求点 C 轨迹方程。

解：设 C 点坐标为（x，y），那么1，3）

由题可知，（x，y）=α（3，1）+β（-1，3）

所以 x=3α-β，y=α+3β

且α+β=1，消参数α，β之后可以得到C点的轨迹方程

即：x+2y-5=0.

总之，轨迹方程的求解在高中数学大纲以及高考考点当中都占据着十分重要的位置，也是学生学习的重难点，必须得到足够的重视。在本文当中，笔者主要对当前高中轨迹方程求解过程中几种最为常见的方法进行分析探讨，并以实例作为例证，使方法理解起来更通俗易懂。但是在实际应用的过程中要根据题目的具体情况选择合适的求解方法，避免出现照抄照搬现象。

［1］代红英.高中数学轨迹方程解法［J］.中国校外教育，2016（27）：116，155.

［2］赵林.例谈点的轨迹方程的求法［J］.中学数学教学参考，2016（27）：41-42.

［3］杨建茹.高中数学探求轨迹方程的常用技法［J］.科技创新导报，2014，11（15）：256.