数学文化视角下问题解决式教学*
——“相似三角形应用举例”教学设计

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(华东师范大学教师教育学院，上海 200062)

●林采露

(楼村小学，广东 深圳 518107)

近年来数学文化受到越来越多的重视，广大的一线教师一直在教学中尝试渗透数学文化，以体现数学精神、思想、方法以及数学的价值.蕴含数学文化的数学课堂给学生呈现的是一个多姿的“数学女王”，而不是一具冰冷的骨架.数学文化教学中问题情境的设计反映学生生活的真实或接近真实性，才能激发学生主动投入问题解决过程中[1].因此，设计具有数学文化的教学，创设真实的问题解决情境，在数学课堂教学中显得尤为重要.基于此，本文以人教版“相似三角形应用举例”一课为例，在数学文化视角下进行数学问题解决式的教学设计，以期抛砖引玉，为进一步深入研究提供案例.

1 课题分析

1.1 教学分析

本节“相似三角形应用举例”课以“数学是有用的”为线索，开展数学问题解决式的教学，让学生经历两次数学问题解决的过程，通过师生互动、现场操作测量、探究和学习相似三角形的应用，使学生充分感受到相似三角形与生活密切联系.另外，从历史上看，相似三角形很早就已经被人们所认识，因此该课程内容具有丰富的数学史与数学文化资源[2].本教学设计将HPM渗透其中，让数学课堂充满文化气息，让数学教学不再平铺直叙，让学生开阔眼界、启发思维、增加兴趣.

1.2 教学目标

1)进一步巩固相似三角形的判定及性质；会用相似三角形解决实际问题.

2)经历实际问题到建立数学模型的过程，培养数学建模能力、抽象概括能力以及分析解决问题的能力.

3)通过问题探究等教学活动，养成动手探究和动脑思考的习惯，培养探究精神，体会“数学来源于生活，更应用于生活”的数学魅力；通过数学史和数学文化的渗透，激发对数学学习的兴趣.

1.3 教学重难点

教学重点：运用相似三角形解决实际问题.

教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.

2 教学过程

2.1 漫步历史

师：同学们，你们认识泰勒斯吗？今天我们好好来认识一下这位数学名家.泰勒斯(公元前6世纪)是著名的古希腊“七贤”之一，被誉为希腊几何学的鼻祖，有人说他是第一个数学家.据说早在2 700多年前泰勒斯仅用竹竿就测量出金字塔的高度，这实在是一件匪夷所思的事啊！大家想知道他是怎么做到的吗？今天我们就穿越时空跟泰勒斯一起来解决这个问题.

展示金字塔的图片，简要讲解金字塔的来历，以丰富而充满文化气息的图片将学生带入课堂，做好学习新课的准备.

师：一天清晨，国王和泰勒斯在金字塔边上散步，国王想考考泰勒斯“能不能测出金字塔的高度”，泰勒斯摆弄了一下手中的竹竿，又抬头看了看天上毒辣的太阳，笑了笑说“当然可以”.他想到了什么方法呢？

设计意图通过数学史故事的情境创设，引发学生的兴趣，激发好奇心和求知欲，渗透了数学史和数学文化，营造了一个有文化的数学课堂氛围.

2.2 解惑传道

1)弄清问题.

师：你能够用老师摆在桌上的道具找到测金字塔高的方法吗？

教师在学生面前展示金字塔模型、竹竿模型和手电筒，现场模拟历史情境，引导学生思考，配合PPT的动画演示，让学生直观感知问题，发现相似三角形，从而突破教学难点.

2)制定计划.

师：在空间中研究这个问题有点复杂，我们不如用简单的平面几何图形将实际情境的各种数量关系表示出来.

图1

师生共同画图(如图1所示)，再从图中发现已知量与所要求的目标，通过几何直观或者结合已知条件的提示感知到各个量之间的关系，从而发现相似三角形.在此过程中师生共同整理出解决问题的思路.

学生与教师互动讨论，大胆猜想，经历泰勒斯测量金字塔时的思考过程，体验实际问题一步步数学化的过程.

3)实施计划与总结提升.

通过已知证明三角形相似，再利用相似比求解出答案.教师严格板书，帮助学生整理解题思路.归纳利用相似三角形解决实际问题的一般步骤：①画图；②寻找已知与未知；③发现相似三角形；④给予证明并求解.

设计意图引入的自然与合理是学生解决问题的动力源泉.以金字塔问题作为一道经典例题进行教学，利用现场演示和动画辅助，使学生直观发现问题的关键，结合启发式教学让学生经历实际问题的数学化过程，体会数形结合的思想方法，提升数学建模与数学抽象的核心素养.

2.3 问题探究

1)创设情境.

师：现在请同学们自己来解决一个实际问题.测量一下这个教室的高是多少？没办法实际测量，也没有阳光和影子可以帮我们，有其他办法吗？

2)弄清问题.

师：现在老师手上有一面镜子，它能否帮助我们测出教室的高度呢？

图2

教师提出新问题，启发学生思考，引导学生利用镜面反射构造两个相似三角形(如图2所示).

师：很多同学已经有了初步的解决方案了.下面请同学们在“认知工作单”(基于西蒙数学认知工作单设计)上自主完成问题的解决，如果还有疑问也可以与同桌探讨一下.

认知工作单中问题设置大致如下：

转化问题1)画图.你能从实际情境中抽象出简单的数学图形吗？用点线面画出来试试，记得标上重要顶点的字母.2)寻找已知与未知.看看你画出来的图，想一想:哪些量用简单的测量工具就能测出来呢？请大概估算一下能测出来的量，那么最终所要求的未知量又是什么呢？

解决问题3)发现相似三角形.观察你所画的图形，从几何直观上或者从已知条件中，你可以发现______与______似乎是相似的(如果没法直接看出来那能不能从已知条件中得到什么启示呢？不行的话，请添加一些辅助线试试).用判定定理______(英语缩写)就可以证明你上面发现的结论.然后利用相似三角形的性质，可以建立等量关系，通过已知条件得到教室高度.4)给予证明并求解.现在已经获得解题思路了，赶快动手落实吧！

学生自主在工作单上完成制定计划和实施计划的过程,教师巡视并适当提示个别学生进行问题的解决.之后，教师请学生到讲台上分享解决问题的过程.教师利用镜子和激光笔(利用光路可逆)进行实地演示，学生在黑板上进行实际问题的转化以及问题的求解.

3)总结提升.

图3

师：同学们都已经学会自己解决这个实际问题了.其实，解决问题的思路可以有很多，如果没有镜子，只有一块三角板我们也可以完成(如图3所示)，得到相似三角形，进而解决问题.这种做法类似于中国古代著名数学家商高发明的“矩尺”工具的用法，有兴趣的同学可以课后进行了解.中国古人早在周朝就懂得利用相似三角形解决实际问题了！

师：还有什么方法可以求出教室高度呢？留给同学们课后思考，自主探究，如果有好的想法欢迎下节课给大家分享.

设计意图让学生在认知工作单和教师的引导下体验实际问题的数学化过程，巩固相似三角形知识.同时以两种不同的测量方案对学生问题解决时思路的多变性进行启发，培养学生的创新意识.实实在在地实现教与学的互动，使学生真正成为课堂的主人，发挥教师的主导作用和学生的主体作用.

2.4 作业布置

师：这节课我们重返到中国古代，运用相似三角形的知识与泰勒斯一同解决了金字塔的测量难题，而且还自己动手实验、探究、计算出了教室的高度.我们不仅领略到了古代数学家的智慧，更重要的是体会到了数学的实用价值，数学是有用的.古人就是为了解决生活中这些可望而不可及的测量问题，才发现并创造了相似三角形，进而利用数学知识去解决生活问题，因此我们常说“数学来源于生活，更应用于生活”.数学，可不是呆板的做题工具，而是解决问题的至尊法宝，只要我们善于发现，善于运用，也可以像泰勒斯那样成为非常机智的人.

1)个人作业.

问题1泰勒斯测量“船何时能到达岸边”问题：岸边有一塔，高为37.8 m，他爬上塔顶，手拿1.2 m的杆子平行于地面，调整杆子使视线通过末端恰好可看见远处的船，而眼睛到杆子的竖直高度为0.2 m，求船到岸的距离.

问题2今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸问井深几何？

(选自《九章算术》)

问题3今有邑方二百步，各开中门，出东门一十五步有木，问：出南门几何步而见木？

(选自《九章算术》)

2)小组作业.

任务1地面上点A，B之间有障碍物，如何测量AB的长度呢？

任务2旗杆AB的底部点B不可到达，如何测量AB的高度呢？

任务3如何测量教学楼的高度？请详细写出你们的测量方法和原理，并收集和准备测量所需要的工具或素材(可自制测量工具)，下次课将实地进行合作探究.如果可以，请给出尽可能多的测量方案.

设计意图教师提炼出本节课的知识点，点明本节课的文化性和实用性，让学生体会数学的文化价值及应用价值.通过布置个人作业，让学生解决《九章算术》中的问题[3]以及希腊河宽问题，从而发现除了测量高度外，相似三角形也可以解决距离、深度、河宽等其他问题.同时在解决问题过程中感受数学史的活力和数学文化的魅力.通过布置小组作业(两道开放性作业题及一道实践题)，让学生更好地巩固和运用本节课所学，进一步落实教学目标.

3 设计说明与总结

3.1 设计说明

本教学设计经过3次实践与多次修改.第一次教学设计仅以数学史作为故事形式通过讲述配合图片的形式展示给学生，发现大部分学生难以理解问题情境.可见初三学生虽具备了初步的应用数学意识，但在心理特点上仍更依赖于直观形象的认识，因此如何让学生通过几何直观感知更好地解决问题将是一大难点.另外，“问题探究”环节直接将问题及工具抛给学生，缺少脚手架，发现大部分学生难以想到方案1(图1)或方案2(图2)，导致探究环节花费了大量的教学时间.

因此，在第二次的教学设计中加入了采用金字塔模型和手电筒等教具进行情境模拟的环节，以帮助学生更好地理解问题情境.考虑到探究环节中的方案1与方案2的获得不是本节课的重难点，因此调整教学，将方案2作为介绍方案，而方案1采用师生对话的形式共同探讨获得.实践发现，效果得到很大改善，许多学生能够理解金字塔问题的提出，但由于教具太小，难以服务到全班学生.“问题探究”环节也取得了突破性进展，学生基本能在认知工作单上根据方案1将实际问题转化并求解.

基于此，第3次修改中，在引入部分增加了多媒体动画的演示，利用信息技术辅助教学突破情境引入的难点.另外，课堂时间有限，在探究环节之后，原设计作为课堂练习的3道数学史应用题都难以在课堂上完成.因此第3次修改中将其调整为课后作业，使得课堂有足够的时间让学生投入到思考与探究之中.

3.2 总结

本教学设计中的数学文化主要体现在两个方面：数学的应用价值和数学史.华罗庚曾说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学.”这正是本节课想告诉学生的第一件事——数学是有用的，是可以解决生活问题的，是与生活密切相关的.而数学史向数学课堂的渗透，使原有“见物不见人”的数学课程具有了较为浓厚的人文气息.学习这样的课程，学生多视角分析数学问题，体会到数学的意义与价值、数学与科学技术的关系以及数学在人类文明进步和文化发展的贡献[4].本设计让学生了解了泰勒斯和商高，求解了古代数学问题，从而体会到古代数学家解决问题的巧妙思维，感受到数学的悠久历史及其与人类文明的密切关系，这才是学生真正喜欢的数学课.

参 考 文 献

[1] 徐斌艳.数学课堂教学中学习文化的探析[J].全球教育展望,2004,33(2):44-47.

[2] 汪晓勤.相似三角形的应用:从历史到课堂[J].中学数学教学参考,2007(18):54-55.

[3] 王进敬,汪晓勤.运用数学史的“相似三角形应用”教学[J].数学教学,2011(8):22-25.

[4] 谢明初.数学史应用于数学教育:发展历程与研究展望[J].广东第二师范学院学报,2013,33(5):85-89.