指向核心素养的教学设计与实施*
——由高三“线面垂直”复习课谈起

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(嘉兴市第一中学,浙江 嘉兴 334000)

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析[1].在数学学习中，应如何培养这些核心素养呢？

1 对高三教学现状的思考

当下，高三数学复习课普遍的做法是“定义+辨析”“题型+方法”，对学生进行机械、重复的训练，教学变成了“刷题”，失去了它应有的本真.到头来学生一遇到情境新颖的问题还是一筹莫展，思维品质、应用知识解决实际问题的能力低下.这与《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“新课标”)倡导的数学核心素养的培养是背道而驰的.作为高三数学教师的笔者一直在思考：高三究竟要怎么教，才能让学生从肤浅的知识堆积学习上升到深层能力与品格的养成，不做或少做“无用功”？适逢学校公开展示周，笔者讲授了一节公开课——“线面垂直”复习，把自己对数学核心素养的思考渗透在教学设计之中.磨课的过程，加深了笔者对数学核心素养的理解，也是笔者对这个看似“高大上”的概念所进行的“接地气”的实践.

2 聚焦核心素养，提高复习课的价值

数学教学不仅要追求有效，更要追求价值，这个价值就是学生的数学素养，这是数学学科育人的根本.

2.1 做好课题分析，明确核心素养目标

教学是一种有目的、有计划的活动.学习目标是课堂教学过程中，学生一切学习活动的出发点和落脚点.它是教学的灵魂，是学习的质量标准，引领着教学的全过程，也决定评价任务的设计和教学方法的选择[2].因此，设计教案的第一步要设计好教学目标，并且要充分关注数学核心素养的达成.由于数学核心素养是在学习过程中形成的，因此它不能脱离内容与过程.不同的学习主题对核心素养的培养有所侧重[3].“立体几何”内容侧重发展学生的哪些核心素养呢？从图形角度，它适合发展直观想象素养；从几何证明的角度，它有利于培养逻辑推理和数学运算素养；从定理应用的角度，它又适合培养数学建模和数学抽象素养.因为立体几何的定理，本质上讲就是一个空间图形的模型，定理应用就是要从实际问题情境中抽象或分离出符合定理的空间图形模型，然后用定理去加以解决.因此，笔者就“线面垂直”这节复习课的内容确立了以下3个培养目标：

1)树立数学定理即数学模型的意识，能从实际问题情境中找到符合定理模型的基本元素，从而解决问题，培养数学建模素养；

2)理解定理模型的图形语言，能够在实际问题情境中抽象出与定理模型对应的基本图形，并运用定理加以解决，发展数学抽象和直观想象能力；

3)通过数学运算或逻辑证明的方法，在解决实际问题的过程中，提升逻辑推理与数学运算素养.

2.2 抓住3条主线，达成核心素养目标

“四基”是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学生数学学科核心素养的有效载体.教学中要引导学生理解基础知识，掌握基本技能，感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，促进学生数学学科核心素养的不断提升[1].

2.2.1 知识线：利用概念图织点为网，构建知识整体框架

帮助学生建构知识的概念图，形成整体的知识框架，进而促进核心素养的形成.本节课的核心知识包括线面垂直的定义、判定、性质及其应用.

所谓温故而知新，学生进行一轮复习，不仅是将原来学习过的知识温习一遍，更重要的是要能够将这些知识之间的关联整理清楚，形成知识网络，并能在实际问题中自如地加以应用.因此，与学生一起建构知识概念图(如图1)是很好的路径.

图1

整理概念图的过程中，注意自然语言、符号语言和图形语言并举，让学生进一步体会这3种语言各自的特点.一般情况下，在理解题意的阶段需要把题目中给出的自然语言或者是符号语言“翻译”成图形语言，然后通过图形语言来分析题目的条件，建立已知与未知的关联，图形语言更有助于发现实际图形中可作为定理模型使用的基本图形.当头脑中已经建立起了解决问题的完整思路时，就要通过符号语言或自然语言来表达整个逻辑推理过程.以上建构知识概念图，将数学的3种语言融汇成了一体，加深了学生的理解和记忆，方便学生应用时进行知识提取.

2.2.2 思想方法线：树立“模型”意识，强化“降维”思想

应用定理解立体几何题，首先要树立“定理”即“模型”的意识，学会从复杂图形中分离出定理“模型”.要证明线面、面面垂直，常常需要通过“降维”处理.

例如，要求学生在图形中找出互相垂直的直线和平面，笔者设计了以下例题.

例1如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点.你还能发现哪些线面垂直关系?

图2 图3

设计意图从较为简单的判断垂直关系入手，把学生容易处理的问题作为思维切入点.例1中的几何体也是例2图形的基础，通过例1为下面例2中垂直关系的进一步研究作好铺垫.

例2如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E是PC的中点，EF⊥PB，垂足为F，联结DE,DF,BD,BE.

1)求证：PB⊥平面DEF；

2)试判断：四面体BDEF中有几个面是直角三角形，并指出其中的直角；

3)设M,N分别为AD,PB的中点，联结MN，MC，NC，求证：平面CMN⊥平面PBC.

设计意图例2的3个小题分别是对线面垂直、线线垂直、面面垂直的判断或证明，让学生进一步掌握线面垂直的判定和性质定理模型及其应用.

2.2.3 文化线：渗透中华文化，增强民族精神

在例2中有两个几何体我国很早就有研究，而且它们还拥有自己的名字：一个是底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的名字叫“阳马”；另一个是四个面都为直角三角形的四面体叫“鳖臑”.

关于“阳马”和“鳖臑”，《九章算术·商功》里是这样描述的：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”

图4

阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊几何体的称谓，取一个长方体，沿它的一个对角面一剖为二，如图4所示，得到两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.

再沿堑堵的一个顶点与其对棱所构成的平面剖开，如图5所示，得到一个四棱锥和一个三棱锥.以矩形为底，并有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥四面都是直角三角形，称为鳖臑.

图5

通过“鳖臑”的引入，了解我国古代对立体图形的研究方向和方法，体会古代数学家对人类的贡献.下面引入两道相关的高考试题，感受几何体“鳖臑”在现今学习垂直关系时的意义和价值.

例3如图6，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，联结DE,DF,BD,BE.

1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑?若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由.

(2015年湖北省数学高考理科试题第19题)

图6 图7

(2008年浙江省数学高考理科试题第14题)

分析了解了“鳖臑”的由来，即可知几何体“鳖臑”的外接球就是对应长方体的外接球，外接球O的半径为长方体体对角线长的一半，体积也就容易求得了.

3 将评价作为教学的一个环节，实现“教—学—评”一致性

3.1 为什么要将评价作为教学决策的依据

评价是一种基于证据的推理，没有评价的教学是一种无目标的教学[2].泰勒指出：“因为评价涉及学生行为变化的证据，所以，获得任何有关教学目标所期望的行为的有效证据，都是一种合适的评价.”[3]因此，如果在课堂中就能够及时获得学生对教学目标达成情况的反馈，教师就不再凭感觉来猜测学生是否会了，而是能更准确地作出判断，更灵活地调整自己的教学行为，保证课堂教学的有效性.

3.2 依据目标设置评价任务，实施目标导向的教与学

所谓评价任务，是指检测学生的学习目标达成情况而设计的检测项目，包括：纸笔测试、师生问答、展示表演、实验或者调查报告、小论文等，可以当堂实施，也可以通过课后作业等方式进行.根据本节课的学习内容和目标，笔者设置了几个当堂评价任务.这样可以最快得到反馈，课内主要的问题当堂解决，最大程度地保证高三复习的效度.

学生本节课的学习目标有4个：

1)理解线面垂直的定义，总结线面垂直的判定方法和性质，形成系统的知识结构；

2)树立数学定理即数学模型的意识，能从实际问题情境中找到符合定理模型的基本元素，从而解决问题，提高数学建模和直观想象素养；

3)通过应用定理解决实际问题，进一步强调等价转换和“降维”思想，体会数学定理作为一种基本模型的应用价值，提高逻辑推理素养；

4)通过“鳖臑”的引入，了解我国古代对立体图形的研究方向和方式，体会古代数学家对人类的贡献.

针对目标1)和目标2)，在整理完概念图后，笔者设计了一个评价任务“在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点.你还能发现哪些线面垂直关系”，以此来检测学生对线面垂直的判定方法的掌握情况，以及对定理模型的识别能力和对定理的应用能力.

针对目标2)，笔者在例2第2)小题之后设计了一个评价任务“我们要如何画出一个四面皆为直角三角形的四面体”，此题需要构造，相比识别、证明来讲，对学生要求更高，通过学生的回答判断学生对几个定理模型的掌握情况、直观想象能力.

针对目标3)，笔者设计了例2的第3)小题，这是一个纸笔测试任务，由学生独立完成，以此可以评价学生对定理模型要素的把握、“降维”思想的运用以及逻辑推理能力.

针对目标4)，笔者展示了浙江省数学高考试题，并设置问答任务“由《九章算术》中几何体‘鳖臑’的来历，你能解决这道高考题吗”.通过此题的解决，使学生感受“鳖臑”几何体在现今学习垂直关系时仍时常作为考查的载体，体会数学的文化价值.

这堂课，笔者从数学内容的本质出发，将知识线、思想方法线、文化线并举，贯彻“教—学—评”一致性，尝试对基于数学核心素养培育的教学实践.诚然，笔者的尝试还很肤浅，只求抛砖引玉，但我们不惧改变，且思且行……

参 考 文 献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017版)[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 卢明，崔允漷.教案的革命：基于课程标准的学历案[M].上海：华东师范大学出版社，2016.

[3] 卢明.数学教学要既见“树木”又见“森林”[N].中国教育报，2018-03-07(10).

[4] 泰勒.课程与教学的基本原理[M].施良方,译.北京：人民教育出版社，1994.