以隐形圆为背景编拟问题的新视角*

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(大厂高级中学,江苏 南京 210044)

文献[1]介绍了以阿波罗尼斯圆为背景编拟试题的新方法.在这些问题中，阿氏圆是隐形的，解题中需通过求轨迹将圆化隐为显，再研究它的几何性质.“隐形”“求轨迹”是求解的关键词，也是编拟试题的两种手段.如何将圆在题面中“隐藏”起来，除阿氏圆外，不外乎圆的轨迹定义，即平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，编拟试题时将“定点”和“定长”用其他几何关系或数量关系来描述.这类试题题面新颖，解法基本且多样，能较好地考查学生对基本概念的理解能力，审题、转化和解决问题的能力.本文介绍这方面的新颖试题，以馈读者.

视角1化隐为显轨迹圆.

设计方法将隐形圆包装在一个数量关系等式中，通过“建(系)设(点)限(制条件)代(入)化(简)”，求出关键点的轨迹方程即圆的方程.

图1

m2+h2=3.

设P(x，y)，由PB2+PC2=3，得

又3PA2=3，即PA=1，点P在以点A为圆心、1为半径的圆上.因此，

设△ABC的面积为S，则

图2

例2如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.记线段CD的中点为M，求线段AM长的最大值.

直线AB的方程为y=x+4，点P在AB上，从而

即y-x=4λ.

(1)

由于Rt△COP∽Rt△MOC，于是

CO2=OM·OP，

即

亦即x2+y2=4λ.

(2)

由式(1)和式(2)，得

x2+y2=y-x，

即

评注事实上，不难将例2一般化，只要直线AB与⊙O相离，点M的轨迹都是圆；而当直线AB与⊙O相交时，只要点P还在⊙O外，点M仍然在一段圆弧上.本题的核心是求出点M的轨迹，剩下的事就简单了.

视角2相关点求伴随圆.

设计方法点A在已知⊙C上，点B是点A的相关点，当点A变化时，点B的轨迹若是圆(记为⊙D)，则称⊙D为⊙C的伴随圆.通常从点A到点B用几何变换实现，如平移、对称、伸缩等.

因为点Q在圆x2+(y-1)2=1上，即

所以

即

x2+(y-3)2=9，

因此点P的轨迹是以C(0，3)为圆心、半径为3的圆.

评注点Q在已知圆上运动，随之变化的点P的轨迹也是圆，用“相关点法”求点P的轨迹方程，再研究这个圆与已知直线的关系.显然，本题也可以由点P求点Q的轨迹(伴随直线)，再研究该伴随直线与已知圆的关系.

分析设线段AB的中点为M，则CM⊥AB.在Rt△CAM中，

(x+4)2+(y-a)2=5.

因为M是线段AB的中点，所以

即

设M(x,y),P(x0,y0),则

从而

于是点M(x,y)在圆(x+4)2+(y-a)2=5上，因此

解得

a=2或a=-18.

视角3张角为定也是圆.

设计方法与某线段所张的角为定角的顶点轨迹是圆(弧).特别地，张角为直角时轨迹是圆，且该线段为圆的直径.某些条件隐含定角，只需根据定角，挖出圆(弧)，再进一步转化位置关系.

分析线段AB的中点为M，则OM⊥AB.在Rt△OAM中，

从而点M在圆心为O、半径为2的圆上，其轨迹方程为

x2+y2=4.

又以CD为直径的⊙E方程为

当点A，B在⊙O上运动时，即点M在圆x2+y2=4上运动时，始终有∠CMD为锐角，即点M始终在⊙E外，从而圆x2+y2=4与⊙E相离，即

OE>1+2=3，

亦即

解得a<-2或a>0.故实数a的取值范围是(-∞，-2)∪(0，+∞).

评注这里有两个隐形圆:一是点M的轨迹，由于⊙O及其弦长AB为确定的，从而弦中点M的轨迹是⊙O的同心圆；二是“∠CMD为锐角”的等价条件“M在以CD为直径的圆外”，将几何条件转化为两个隐形圆的位置关系.

视角4类似比值阿氏圆.

阿氏圆模型的特征是距离之比为常数，那么距离的平方之比为常数呢？显然，本质是一样的.请看下面一道改编的应用题.

图3

2)若要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，求λ的取值范围.

分析设商场A,B的面积分别为S1,S2，点P到A,B的距离分别为d1,d2，则

其中k为常数，k>0.以AB所在直线为x轴、A为原点建立如图3所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(10，0).设P(x，y),

即

从而

化简得

此即商场B相对于A的“更强吸引区域”.

所以点P不在商场B相对于A的“更强吸引区域”.

2)由m1

将S2=λS1代入，得

从而

(x-10)2+y2<λ(x2+y2),

化简得 (1-λ)x2+(1-λ)y2-20x+100<0.

因为0<λ<1，配方得

与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是：圆心为B(10，0)、半径为r2=2的圆的内部及圆周. 由题设，⊙B内含于⊙C，即BC<|r1-r2|. 因为0<λ<1，所以

整理得

圆是高考的重点也是热点内容之一，反复考查，在形式上逐年推陈出新.除了熟悉的阿波罗尼斯圆外，本文介绍了在命题中常用的几种把圆隐藏在题面中的方法.像这样来源于数学史、数学定义的题型是我们取之不竭的宝库，若在平时的教学中教师能够较多地进行渗透，不断地变换视角、改编挖掘，则将更有利于提高习题的教学质量，培养学生的数学学习兴趣，促进学生创造思维的发展.

参 考 文 献

[1] 余建国.以阿氏圆为背景编拟问题的新视角[J].中学教研(数学)，2015(7):16-18.