三角形等分积周线的探究*

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(宁波教育学院,浙江 宁波 315010)

0 引言

三角形的等分积周线，即平分三角形面积的同时也平分此三角形周长的直线.2010年浙江省杭州数学中考模拟题中出现了等分积周线[1].由文献[1]知对于特殊的三角形，存在等分积周线.文献[2]借助几何画板对不等边三角形直观地给出了等分积周线的存在性.那么对于任意给定的三角形是否存在等分积周线？若存在，有几条等分积周线？

文献[3]给出了等分△ABC面积的所有直线，满足条件的直线有无数条且将△ABC分为两个三角形或一个三角形与一个四边形，即至少有一个是三角形.因而若直线DE是△ABC的等分积周线，则只能是图1、图2或图3的情形.不妨设|BC|=a，|CA|=b，|AB|=c.

图1 图2 图3

如图1，设|CD|=m，|CE|=n，则由DE平分△ABC的周长得

由DE平分△ABC的面积得

而

且

故

(1)

的两个根.

(2)

的两个根.

(3)

的两个根.

因此，△ABC的等分积周线DE是否存在，只需考虑方程(1)或方程(2)或方程(3)是否有解.

1 等腰三角形

不妨设AB=AC，即b=c.按图1、图2、图3这3种情形加以讨论：

1.1 情形1

若a-2b=0，即

a=2b或a=b+c，

则与△ABC为三角形矛盾，从而Δ>0，于是方程(1)有两个根

图4

2)若b=a，即△ABC为等边三角形，由图1知此时△ABC的等分积周线为边AC上的中线.

1.2 情形2

当b

b(a-b)≤0，

当b>a时，

或

1.3 情形3

由等腰三角形的对称性，仿情形1类似可得△ABC的等分积周线.综上所述，有：

定理1设△ABC为等腰三角形，且|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c，不妨设b=c，则底边BC上的中线为△ABC的一条等分积周线，且

2 非等腰三角形

2.1 情形1

或

2.2 情形2

2.3 情形3

综上所述，可得：

定理2设△ABC为非等腰三角形，且|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c，不妨设a>b>c，则△ABC有一条等分积周线,且

至此，利用方程(1)～(3)的根给出了三角形的所有等分积周线.

参 考 文 献

[1] 朱宸材.中考“等分积周线”问题浅析[J].中学数学杂志,2012(12):40-41.

[2] 王波,游光伟.用几何画板软件探讨三角形等截线问题[J].信息技术,2013(4):187-188,191.

[3] 陈咸存.等分三角形面积的直线的可视化探究[J].中学教研(数学),2015(5):27-28.