让数学之“根”深“植”于活动经验之中

朱苑

摘 要：数学基本活动经验是学生数学素养发展的基石。将数学之“根”深“植”于活动经验之中，需要唤醒学生的经验自觉，激发学生的经验建构，调适学生的经验迁移，拓展学生的经验延伸。在这个过程中，促成学生数学基本活动经验发展、提升为数学思维经验。

关键词：活动经验；经验唤醒；经验建构；经验迁移；经验拓展

当下，作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》四基目标之一的“基本活动经验”，已经为广大数学教师所关注。但在教学实践中，许多教师对数学基本活动经验的理解还比较肤浅，实践中还存在着误区、偏差。如何将基本活动经验融入教学，让数学之“根”深“植”于活动经验之中？如何让数学活动经验“分裂”“生长”为数学基础知识和技能，形成具有普遍指导意义的数学思想方法？？笔者认为，教师要分析、研究数学基本活动经验形成的过程，以便促成学生基本数学活动经验的积累与萌发。

一、经验的唤醒，让学生形成理性自觉

学生在日常生活和数学学习中已经积累了大量活动经驗。很多时候，数学基本活动经验是作为学生“缄默性知识”而存在的，对学生数学学习发挥着潜移默化的作用。在数学教学中，教师首先要唤醒学生经验，让学生从对数学知识的被动接受转向对数学知识的主动建构。经验的唤醒要实现两个转向：从“关注活动结果”转向“关注活动过程”，从“引领活动开展”转向“引发活动展开”。只有当学生在遇到某个具体问题时能自觉调用经验，自主筹划经验，运用经验尝试自我建构、形成新发现时，学生才能真正成为探究学习的主体。

比如，苏教版五年级下册的《异分母分数加减法》的目的不仅是要让学生掌握“异分母分数加减法”的计算方法，而且要让学生积累和深化解决问题经验。在呈现例题“明桥小学有一块长方形试验田，其中种黄瓜，种番茄。黄瓜和番茄的面积一共占这块地面积的几分之几？”之前，不少教师往往组织学生复习通分，这种有意暗示，看似唤醒学生经验，其实却是学生按教师预设好的路径去理解、掌握新知，窄化了学生思维，封闭了学生思路，这样的唤醒是虚化的、伪化的唤醒。笔者在教学中，让学生直面问题：你能不能自己想办法来解决这个问题？学生自己唤起解决问题的相关经验。学生将自我解决问题经验在组内交流，在全班展示、分享。有学生采用“化分为小法”，这是基于学生小数计算经验；有学生采用“画图法”，这是基于学生对“分数的意义”概念学习经验；还有学生采用“通分法”，这是基于学生掌握“分数的基本性质”后的通分经验等。可见，每一种学习成果都体现了学生经验的作用。这样的经验唤醒是自觉的，而不是胁迫的、绑架的。

发展学生的数学基本活动经验是基于学生数学学习的“最近发展区”的，学生对数学基础知识、基本技能的掌握是基于学生数学活动经验的。不同的经验调用会产生不同的问题解决方式。只有当学生头脑中的相关经验调用失败或者卡壳时，才需要教师适时介入与引导。因此，唤醒学生数学基本活动经验追寻一种理性自觉。

二、经验的运用，让学生展开主动建构

美国著名心理学家霍华德·加德纳在《智能的结构》中倡导学生的学习方式应以“主动参与”“探究发现”和“交流合作”为主。学生积累、调用数学活动经验的过程是学生观察、操作、实验、猜想与验证的过程。学生经验运用追寻学生主动建构，追寻学生数学学习“再创造”，追寻让学生主动经历“数学化”过程。通过学生主动探究，让学生已有知识经验不断地“分裂”“生长”“融合”，从而不断积淀，形成新的典型化数学活动经验。

在教学苏教版小学数学五年级上册《平行四边形的面积》时，学生想到了多种方法：一是直接“数方格”方法；二是间接“转化”方法。在“转化”方法的探究过程中，不同学生调用不同活动经验展开主动探究。如一部分学生认为，将平行四边形拉成长方形，另一部分学生认为，将平行四边形剪拼成长方形等。尽管从结果来看，第一种猜想是错误的，第二种猜想是正确的，但从过程来看，两种猜想具有同等价值。接着，笔者让学生对各自的数学猜想运用已有知识经验展开探究。探究第一种猜想的学生发现：将平行四边形拉成长方形，平行四边形的面积发生了变化，平行四边形的周长没有发生变化。探究第二种猜想的学生发现：将平行四边形剪拼成长方形，平行四边形的面积没有发生变化，平行四边形的周长发生了变化。经过操作探究，学生对经验性猜想进行“证实”“证伪”。这里，“证实”是有价值的，“证伪”同样也是有意义的。

学生数学活动经验运用追寻着学生自主、能动、有意义的建构。这种意义建构，不仅仅是正确，也包括错误。有时，错误的教学价值比正确的教学价值更大，因为学生只有从错误中才能得到反思的过程，汲取真正的活动经验。只有学生运用经验主动建构，学生数学学习才能真正发生，学生数学活动经验才能和学生生命同生共长。

三、经验的迁移，让学生进行积极调适

学生数学基本活动经验的形成是一个循环往复、螺旋上升的过程。有些学生，其经验的结构化层次较高，能够顺利地启动联想，提取自己的经验，实现“旧知”到“新知”的迁移。但也有学生，其经验结构化层次较低，不能顺利地同化、顺应，或者经验处于“惰性”状态，不能达成“新知向旧知”的转化。基于此，教师要对学生的“经验层次”进行准确定位，如哪些学生的经验处于“专家”行列，哪些学生的经验处于“新手”状态。只有赋予学生时空，让学生积极主动地调适经验，才能实现学生经验的顺利迁移。

教学苏教版小学数学教材四年级下册的《乘法分配律》，笔者放手让学生运用自己已有的知识经验展开探究。“专家学生”能够很快调用、迁移自己的已有知识经验进行探究，如有学生画出两个等宽的长方形，用两个长方形的面积和进行推导；有学生画出一个长方形，用长方形周长的不同计算方法进行推导；有学生调用自己的购物经验——“买相同个数的两种物品，一共需要多少元钱”进行推导；还有学生用“做早操的经验”画出班级男生和女生方阵图进行推导等。应该说，“专家学生”的经验迁移很顺利，而且探究方法多样。但是，“新手学生”却无所适从，他们很茫然，对乘法分配律很是陌生。为此，笔者引导学生积极调适自己的经验，帮助学生打开思维通道，引导学生“回头看”，让学生口算乘法（如32×3）、笔算乘法（如15×25），并对算法背后的算理进行剖析，明晰“两位数乘两位数”算法背后的算理。通过厘析，学生发现，新知和旧知却是“旧时相识”。如此，学生找到了乘法分配律的经验支撑，深刻地理解了乘法分配律，通过迁移，实现了新旧知识的重组。

经验迁移，关键是学生能够找寻到新旧知识的链接点、生长点。通过迁移转化，学生能够开启思维的大门，从旧知形成过程中获得某种启示。学生数学后续学习是建立在先前学习基础之上的，在新知面前驻足、回眸，在经验中回溯，能够积极调适学生经验结构，让学生获得向前跃迁的灵感启迪。

四、经验的拓展，让学生逐步内化提升

学生数学活动经验的形成是一个长期、循序渐进、缓慢提升的过程。如果教师在教学中仅仅于一两节课的时间就奢望形成学生的数学基本活动经验是不现实的。有时候，尽管学生经历了数学知识的形成过程，展开了相应的数学化活动，但由于没有在学生心中留下印记，容易导致师生苦心经营的数学活动经验“随风消逝”。在数学教学中，教师应该对学生数学活动经验拓展延伸，促进学生数学活动经验的内化，让学生的数学基本活动经验演变为数学问题解决的策略经验、方法经验和思想经验等。

教学苏教版小学数学教材四年级下册的《三角形的内角和》，学生基于各自经验，产生了多元化探究方法，如“量角法”“拼角法”“折角法”等。在学生运用一系列“实验法”探究“三角形内角和”后，笔者出示了“帕斯卡方法”，升华学生的数学学习活动。因为任意的两个完全相同的直角三角形可以拼成长方形，长方形的内角和是360°，所以任意的直角三角形内角和是180°；因为任意的锐角三角形、钝角三角形都可以沿着高分成两个直角三角形，而两个直角三角形的内角和是360°，其中两个直角形成一个平角，所以任意锐角三角形和钝角三角形的内角和是180°。教学中，教师为学生提供充足的时空去思考，鼓励学生交流、反思，深化学生对数学活动的认识。在这个过程中，学生不仅掌握了数学实验归纳的方法，而且领略到了演绎推理与完全归纳推理融合证明的精妙。学生自然生发出新的问题：四边形、五边形、六边形……多边形的内角和是多少度呢？是运用实验归纳法还是运用数学推理呢？这样的教学，让学生对活动经验进行反思、反刍，形成新的数学思考，为多边形内角和的教学奠定了经验基础。

某种意义上，学生的数学知识就是学生的结构化经验。因此，数学教学不仅要唤醒、调适学生的数学活动经验，更要发展、提升學生的数学活动经验，让学生在活动经验的不断反思、拓展延伸中获得生长。所以，美国著名教育家杜威先生说，“教育即经验的重组与改造”。

积淀、发展和提升学生的数学基本活动经验是一个长期而艰巨的过程。只有学生积极主动地参与到数学活动中来，在数学活动中经历、感受、体验，才能促成学生数学活动经验的内化、积淀、发展和提升，从而促成学生数学基本活动经验向更高层次的、数学化的数学思维经验迈进，进而逐渐发展学生数学“核心素养”！