函数综合应用

2018-07-10 13:35李树逵
世纪之星·交流版 2017年11期
关键词:增函数切线实数

李树逵

函数把客观世界的数量关系和空间形式反映得淋漓尽致,我们通过函数的表示,图像表达,解析式建构,可以清晰地认识到函数既是抽象的,又是具体的。我们在解决问题时,主动利用函数思想方,参变量一元化,表达式的一元化都为我们的研究带来方便。

在研究数学问题时,化归和转化时刻伴随我们,一元化的想法时刻影响着我们解决问题的思路。

例1、已知函数f(x)=x3-x

(1)求曲线y=f(x)在点M(t, f ( t ))处的切线方程

(2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a

解析:

(1)f‘ (x)=3x2-1,曲线y=f(x)在点m(t,f(t))处的切线方程为y-f(t)=f (t)(x-t)。

即y=(3t2-1)x-2t3

(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使得b=(3t2-1)a-2t3

若過点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根。

记g(t)=2t3-3at2+a+b则g‘ (t)=6t2-6at=6t(t-a)

当t变化时,g (t),g(t)变化情况如下表:

t (-∞,0) 0 (0,a) a (a,+∞)

g‘ (t) + 0 — 0 +

g(t) 增函数 极大值a+b 减函数 极小值 增函数

由g(t)的单调性可知,当极大值a+b<0或极小值b-f (a)>0时。方程g(t)=0最多有一个实数;当a+b=0时,方程g(t)=0具有两相异实根t=0或t=;当t-f (a)=0时,方程g(t)=0具有相异二实根

综上,如果过(a,b)可作曲线y=f (x)的三条切线,g(t)=0有三个相异实数根。则

函数问题非常重要,常常体现在主动把一些问题转化为函数问题,在解决这些问题的过程中,导数是非常重要的工具。切线问题,单调性问题,极值(最值)问题,利用导数能非常方便的解决,函数主要应用于不等式和方程中,等与不等是我们一直关注的问题,基本值是用整体讨论个体,用全局讨论局部,用共性讨论个性的应用,是演绎推理的典范。

数学的应用在于审时度势,胸有全局。东一榔头,西一斧头的解决方程可能得益于一时,但终究不是通法。

例2、已知函数

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)证明:若

解析:(1)f(x)的定义域为(0,+∞)

①若a-1<1而1

f ' (x)>0。故f(x)在(a-1,1)上为减函数,在(0,a-1)和(1,+∞)上为增函数.

②当a-1=1即,仅当x=1时f ' (x)=0故f(x)在(0,+∞)上为增函数

③当a-1>1而a>2时,同理可得f (x)在(1,a-1)上为减函数,在(0,1)和(a-1,+∞)上为增函数

(2)考虑函数

,由于10而g(x)在(0,+∞)上单调增从而当00,即有f(x1 )-f (x2 )+x1-x2>0,故

在导数学习过程中,我们体会到了规则步骤的必要性,更重要的是导数的思想和价值;任何事物的变化率都可以用导数来描述,用导数方法研究函数性质与初等方程比较,更一般有效。

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