智能手机陀螺仪传感器测量转动惯量研究

黄建成石峰宇赵 昶赵 曼

(1北京石油化工学院信息工程学院;2北京石油化工学院机械工程学院;3北京石油化工学院数理系;北京 102617)

转动惯量是一个物体做旋转运动时惯性大小的量度。一个刚体对于某转轴的转动惯量决定了该物体绕着此转轴进行某种角加速度运动所需要施加的力矩。如果刚体的形状简单，且质量分布均匀，可以通过数学方法直接计算出它绕定轴的转动惯量。对于形状复杂、刚体质量分布不均匀的刚体，数学计算极为复杂，因此如何用实验方法简单有效地测量刚体的转动惯量具有重要的实际意义。目前常用的测定转动惯量的方法有恒力矩法、三线摆法、扭摆法等，每种方法各有优缺点，但无论何种方法，基本都需要直接或间接测量角速度或摆动时间。采用光电门计时器及配套单片机测量上述两个量相对常用并且精度较高，缺点是仪器综合成本高，体积大，容易损坏，而且一般都是用于测量固定尺寸和规则形状的刚体，因为这些刚体可以放置在装有光电门的转盘上。而对于不规则形状或尺寸较大的刚体，由于它们不能放到转盘上，则需要重新调整配套装置及光电门位置，所以不具有广泛适用性，一般只能用于实验验证。而测定物体的转动惯量作为一种应用级实验操作，应具有更大的普及性及可操作性。随着智能手机的不断普及及完善，其自带传感器性能也日益提高，完全可以帮助我们方便地完成物体转动惯量的测定。

本文利用智能手机中的陀螺仪传感器对刚体绕定轴转动的角速度实时精确测量和记录，并辅以软件进行分析和处理，最终精确地获得刚体的转动惯量。

1　基本原理

智能手机之所以具有丰富的应用功能，如加密支付、自动调光、导航、测距、指纹解锁等，正是利用其集成的各种传感器，如加速度传感器、光线传感器、陀螺仪传感器，磁场传感器等[1，2]，其中，陀螺仪传感器可以感知手机转动的实时角速度。

微机电陀螺仪简称 MEMS gyroscope，一个基本的MEMS设备由专用集成电路和微机械硅传感器组成。微机电陀螺仪依赖于由相互正交的振动和转动引起的交变科里奥利力。振动物体被柔软的弹性结构悬挂在基底之上。整体动力学系统是二维弹性阻尼系统，在这个系统中振动和转动诱导的科里奥利力把正比于角速度的能量转移到传感模式[3]。

在MEMS gyr oscope中有两个方向的可移动电容板，径向的一对电容板加震荡电压迫使传感器内部的微小物体作径向运动，此即为驱动震荡方向，而横向的一对电容板就可以测量由于横向科里奥利运动引起的电容变化。(如图1所示)由于科里奥利力正比于角速度

所以由电容的变化就可以计算出手机转动的角速度[4]。

图1　MEMS原理图

上述将角速度转化为电信号的过程由手机的MEMSgyroscope来完成，借助一款手机软件AndroSensor即可以将手机转动的实时角速度记录并保存。然后，我们可以将数据导入电脑，利用Matlab方便地进行数据处理。

实验装置如图2所示，在测量过程中，对转动系统施加一恒力矩，进行两次对照实验。

图2　实验装置示意图

第一次先将手机和载物盘空转，测得这个空载时的转动惯量，然后将待测物体与手机和载物盘一起旋转，测得整体的转动惯量，两次差值即为待测物体的转动惯量。

在上述两次旋转中，每一次旋转可以拆分为两部分，即在施加恒力矩重物带动下的加速转动和重物落地后载物盘受摩擦阻力作用的减速运动。记空载加速时测得的角加速度为β1，空载减速时角加速度为β2，负载加速时的角加速度为β3，负载减速时角加速度为β4。根据刚体的定轴转动定律[5]，有

其中力矩M是恒定的，由质量为m的砝码和摩擦阻力共同提供，砝码的质量m已知，挂在半径为R的同心轮轴上以施加恒力矩，由于转动产生的摩擦阻力可以由两次实验抵消。所以只需得到角加速度β即可求出物体的转动惯量。

设砝码的加速度为a，细线上的拉力为T，可以得到

摩擦力矩

将方程(1)、(2)、(3)代入式(4)

就可以得到空载的转动惯量

同理，负载时总的转动惯量

则，待测物体的转动惯量为

2　系统构成与数据采集

本文利用智能手机中的陀螺仪传感器对刚体的转动惯量进行测量。

首先，对自行车碟刹片的转动惯量进行测定。将手机放置在转盘中央(本文方法完全可以不使用转盘，把手机和待测物固定在一起开启陀螺仪传感器即可直接测量系统转动角速度，但为了与传统的光电门方法对比实验精度，我们在数据测量中，其他实验条件尽量保持与光电门方法一致，而这种方法是在转盘上固定挡片，通过挡片经过光电门的时间差间接获得角速度，这也是此方法的一个缺点，因为转盘及光电门系统是固定的，就限制了待测物的尺寸及形状，使得这种方法无法推广到任意物体的转动惯量测量中，而本文的方法则克服了此缺点，只需把手机和待测物固定在一起即可)，由于转速不是特别大，转动的过程不会使手机与转盘产生相对滑动。放置稳定后，将砝码用轻质细线绕在同心轮轴上，打开手机中的记录软件AndroSensor，并释放使砝码自由下落至地面，此过程为匀加速转动;砝码落地后使转盘继续转动一段时间，此过程为匀减速转动。至此第一次数据采集完成，得到转盘空载时β1和β2的原始计算数据。

同理，放上待测物碟刹片，重复上述操作，即得到加负载时后β3和β4的相关实验数据。

手机上可以实时显示运动的角速度(图3)，并能够保存和记录，以便后续分析。

图3　手机实时显示角速度

表1为两次数据采集的部分数据清单，它由手机软件Andr oSensor记录并以逗号分隔符的形式保存，每一个数据单元为瞬时的转动角速度。可以看出，每一次转动的角速度均为先增大后减小，再结合角速度与时间变化关系可得到转动的角加速度β。

表1　部分数据清单

续表

智能手机记录原始数据可以精确到小数点后6位，(小数末位为零时会自动灭零，所以显示出的小数有时不足6位)角速度每隔0.1s被记录一次，时间间隔还可以调至0.05s甚至更小，但对于我们的测试，由于系统转动较慢，0.1s的间隔已经可以获得相当精确的数据、每次采集可以得到100余条数据。

由于现代智能手机中的陀螺仪传感器采用的是高精度的微机电系统，其稳定性及精确度较传统设备优势明显，图4为手机静止不动时的数据输出，可以看出此时的零点漂移的最大值不超过0.002rad/s，并在微小的范围内上下扰动。

图4　手机静止不动时的数据输出

在下文的数据处理中需要得到的是角速度的变化率即角加速度，所以传感器的零点漂移在进行下一步处理时亦能抵消。由此可见当今智能手机传感器的精确和本实验方法的准确性与可行性。

3　数据处理与分析

在上述的数据采集工作完成后，我们可以得到两组数据，一组为空载时的瞬时角速度，另一组为加负载时的瞬时角速度。由于传感器的零点漂移小于0.002rad/s，所以我们先将原始数据保留3位小数，再将其导入Matlab，可以绘制出两条曲线。如图5中的两条曲线，分别描绘了两次转动的角速度变化曲线[6]。

图5　空载和加负载时的角速度与时间的关系

图示的两条曲线，除去前后的冗余部分即由两部分组成，前部的冗余部分来源于打开手机软件与释放重物的时间差，后部的冗余部分来源于外力强制试验台停止转动至关闭手机软件的时间差，此部分数据无意义。每一条曲线都是前部分上升、后部分缓慢下降，上升部分为在重物和摩擦阻力共同作用下的匀加速转动，缓慢下降部分为重物落地后转盘受摩擦阻力作匀减速转动。

每一段均匀变化的曲线斜率代表了试验台的匀加速和匀减速过程的角加速度数值，对采集的数据可以利用最小二乘法进行拟合。最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，并可以方便地进行曲线拟合。

在 Matlab中，利用命令p=polyfit(x，y，n)即最小二乘法分别对每一条曲线的前部和后部求斜率，命令中x与y分别代表横、纵坐标，n代表拟合后方程自变量的最高次幂，可应用

(k1=vpa(k1，10)[7]表示此次运算结果保留到小数点后10位，以尽可能提高后续计算精度)

分别求出k1，k2，k3，k4并代入公式(5)、(6)、(7)得到

求出待测物体的转动惯量。

通过上述方法可以得到实验中自行车碟刹片的转动惯量为

得到的结果可以保留3位有效数字，精度可以满足一般的计算需求。

4　误差分析

上文中对一个非规则物体的转动惯量进行测量，但其理论值难以计算。

为了验证智能手机测定刚体转动惯量的精度，我们对一标准的圆环进行测试。一个外径R1=120 mm，R2=105 mm，质量m=431.4g的圆环的转动惯量

利用上文中的方法，即智能手机测得的圆环转动惯量的数据如表2所示。

表2　智能手机测得的转动惯量

根据表2中3次测量的平均值可以得出智能手机测得的圆环的转动惯量

J1=J′2-J′1=0.00547(kg·m2)

由于多次测量时第三位有效数字是变化的，即存疑的，所以最终结果及计算相对误差时有效数字应保留3位。

在实验的同时可以开启光电门计数器进行对照。通过光电门计数器测得的圆环的转动惯量如表3所示。

表3　传统光电门测得的转动惯量

根据表3中3次数据的平均值可以得出光电门测得的转动惯量

智能手机测得的圆环转动惯量与理论值的相对误差

传统的光电门方法测得的圆环的转动惯量与理论值的相对误差

由此可以看出，智能手机测得的误差小于1%，远小于传统光电门方法的误差[8]，可以认为用智能手机传感器测得的转动惯量与真实值近似相等，体现出本实验方法的准确性与可行性。

5　结论

利用智能手机传感器测定刚性物体的转动惯量可以帮助我们方便地进行测量操作，不需要像光电门计数器和单片机那样专业的设备，而且目前智能手机中的传感器精度已经很高，完全可以满足我们测量普通刚性物体转动惯量的需求。我们测量了自行车碟刹片的转动惯量，实际上对于任何不规则形状刚体，只要将它与手机固定在一起，对某个转轴施加恒力矩，结合智能手机软件AndroSensor和Matlab采集和处理数据，即可方便地得到其绕该轴的转动惯量。本方法具有广泛适用性且精度更高，给利用智能手机中各种灵敏的传感器参与传统物理实验提供了一个新思路。

致谢：本研究受到北京市自然科学基金资助(No.1132010)，国家级大学生创新创业训练计划项目资助(北京石油化工学院No.2017J00054，2016J00061)，北京市大学生科研训练项目(2017J00055，2017J00056，2017J00053，2017J00094)，北京石油化工学院教改项目“适合工程实践特色的物理实验内容的探索与实践”(YB20140802)资助。