基于终端滑模的航天器自适应预设性能姿态跟踪控制

马广富，朱庆华,2，王鹏宇，郭延宁,*

1. 哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001 2. 上海航天控制技术研究所，上海 200233

随着航天技术的不断发展，航天器承担的空间任务日趋复杂。良好的姿态机动性能是航天器完成诸如在轨维修、空间观测等复杂任务的前提和保障。目前，许多学者针对航天器姿态跟踪问题展开了深入研究；PID控制[1]、变结构控制[2]、自适应控制[3]等一系列方法得到了广泛应用并取得了良好效果。然而，采用上述方法设计的控制系统大多是渐近稳定的，即系统状态的收敛时间是无限长的，而很多在轨任务对快速性又具有较高要求。因此，研究航天器姿态跟踪系统的有限时间稳定问题具有重要的工程意义。

与传统控制方法相比，有限时间控制能使系统状态在有限时间内收敛，具有响应速度快、稳态精度高等优势，近年来受到了广泛关注。有限时间控制已形成了完善的理论框架，在传统有限时间控制的基础上，还衍生出了实际有限时间控制、固定时间控制等控制方法[2]。目前，在设计有限时间控制器时，主要采用的方法可以归纳为：齐次性方法[4]、终端滑模方法[2]及加幂积分方法[5-6]。其中，齐次性方法只适用于自治系统，无法分析外部扰动对系统的影响。相比于齐次性方法，终端滑模方法和加幂积分方法在处理干扰及不确定性时具有更好的灵活性，其本质上可以看作是Lyapunov有限时间稳定性判定定理的延伸。特别是终端滑模方法，通过在滑模面中引入幂次项，提高了系统在平衡点附近的收敛速度，且具有良好抗干扰能力。

针对航天器姿态跟踪控制问题，文献[7]基于终端滑模方法，设计了具有有限时间特性的鲁棒控制器；文献[8]提出了一种新型终端滑模面，并解决了执行机构饱和条件下的航天器姿态控制问题。但上述研究成果并没有考虑终端滑模的奇异问题，即在系统状态运行至特定区域时控制器输出将趋向于无穷，这一问题严重制约了终端滑模控制器在实际工程中的应用。

针对这一问题，文献[9]基于一类非奇异终端滑模面设计了航天器姿态有限时间控制器，在保证系统有限时间稳定的同时避免了奇异现象。除此之外，切换函数法[10]、正弦函数法[11-12]、饱和函数法[13]都是解决奇异问题的有效手段。其中，饱和函数法是指采用饱和函数代替控制器中奇异项的一类方法。Feng等[13]首先针对二阶非线性系统给出了饱和函数法的相关概念，并根据相平面图，验证了系统状态穿越饱和区域的有限时间特性。在此基础上，Guo等[14]针对航天器姿态跟踪问题，采用饱和函数法，设计了自适应有限时间抗退绕控制器。然而，上述文献在采用饱和函数法处理奇异问题时，均假设环境干扰上界已知，具有一定的局限性。

此外，某些空间任务还要求航天器姿态跟踪系统具有期望的动态过程或满足特定的约束条件。例如，光学遥感卫星在对地扫描成像过程中，其姿态及姿态角速度误差必须保持在一定范围内以确保成像质量，且过大的姿态角速度还会导致姿态敏感器失灵甚至损坏。针对这一问题，文献[15]利用全局滑模控制的思想，使航天器姿态跟踪误差按期望轨迹运行；文献[16]从工程角度出发，提出了一种基于饱和函数的PID控制器，解决了姿态角速度受限问题；文献[17]从理论角度出发，通过在Lyapunov函数中引入对数项，证明了角速度约束下的系统稳定性。

除上述方法外，希腊学者Bechlioulis和Rovithakis针对系统状态的约束控制问题，提出了一种预设性能(Prescribed Performance)控制方法。该方法通过引入性能函数和误差变换，使系统收敛速度、超调以及跟踪误差获得预先设定的性能[18]，在诸如机器人运动控制[19]、高速飞行器姿态控制[20]等领域得到了广泛应用。例如，文献[21]针对机械臂运动控制，设计了基于预设性能方法的终端滑模有限时间控制器，在保证系统有限时间收敛的同时使系统的滑模面响应具有期望的动态过程，限制了系统的位置和速度误差，而目前尚未有公开的应用预设性能方法解决具有状态约束的航天器姿态跟踪控制问题。

本文在上述研究成果的基础上，考虑航天器姿态跟踪过程中的实际需求，设计了自适应终端滑模有限时间控制器，并在此基础上结合预设性能方法设计了预设性能有限时间控制器。最后，数值仿真验证了本文所提方法有效性。

1 航天器模型及预备知识

1.1 航天器姿态运动学与动力学模型

考虑刚体航天器姿态运动学及动力学方程为[20]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

航天器的姿态跟踪运动模型可以写为[20]

(8)

(9)

(10)

为了方便后续控制器设计，还需要给出如下假设。

对于本文研究的航天器姿态跟踪问题，控制目标可以归纳为：针对控制系统(8)～(10)，设计控制器使得系统全局实际有限时间稳定，即存在有限时间T,当t≥T时，系统状态收敛于平衡点邻域内。

1.2 有限时间控制定义与引理

首先，本文给出如下有限时间控制相关定义和引理。

定义1[2]考虑如下非线性系统

(11)

式中：x∈Rn为控制系统状态变量；u为控制输入。若系统(11)是Lyapunov稳定的，且存在时间函数T(x),使得对于所有t≥T(x)的x(t)=0恒成立，则系统(11)是有限时间稳定的。如果对于任意x(t0)=x0,存在ε>0及T(ε,x0)<∞,使得对于所有t≥t0+T(ε,x0),‖x(t)‖<ε恒成立，则称系统是实际有限时间稳定的。

则系统是实际有限时间稳定的，即在有限时间T内到达平衡点的邻域内，且T满足:

(12)

式中：V(x0)为V(x)的初值，θ0可取(0,1)内任意数值。且系统收敛到平衡点邻域的范围可以表示为

(13)

2 自适应有限时间姿态跟踪控制器设计

选取如下形式的终端滑模面:

(14)

(15)

sat(τs,τm)=

(16)

(17)

设计如下形式的自适应律对干扰进行估计:

(18)

定理1对于满足假设1的航天器姿态跟踪系统(8)～(10)，采用控制器(15)和自适应律(18)，能够使系统状态从任一初值在有限时间内到达滑模面邻域后又在有限时间内收敛于平衡点邻域，即保证系统是实际有限时间稳定的。

证明：定理1的证明分为2个步骤，首先证明系统状态能够在有限时间内收敛于滑模面si的邻域Δi;再证明系统状态收敛于滑模面邻域后，能够在有限时间内收敛于平衡点邻域Ωi。

步骤1定义如下Lyapunov函数：

(19)

对Lyapunov函数(19)求导，并代入终端滑模面(14)、控制器(15)及自适应律(18)，可得

(20)

为方便证明，将系统状态空间划分为如图1所示的两个子空间A和B，其定义为

(i) 当系统状态位于区域A时，饱和函数取为

(21)

对于任意ε,有

(22)

将式(21)、式(22)代入式(20)，可得

(23)

(24)

(25)

图1 控制器奇异、非奇异区域示意图Fig.1 Diagram of singular and nonsingular areas of controller

Case1当ξ>1时，有如下关系成立:

(26)

Case2当ξ≤1时，有如下关系成立:

(27)

式中：ϑ0=p0p0/(1-p0)-p01/(1-p0)>0,p0=(r+1)/2。

综合Case 1及Case 2，可得

(28)

将式(28)代入式(25)，可得

(29)

式中：η0=ηδκ2/2+ε2/2+ϑ0。

由引理1可知，系统状态能够在有限时间内收敛于滑模面si的邻域Δi,且收敛时间T1,i及Δi满足:

(30)

式中：0<θ1<1,V1,i(0)为V1,i的初值。

(ii) 当系统状态位于区域B时，饱和函数取为

(31)

如图1所示，区域B还可以被划分为两部分，即B=B1∪B2,其定义为

(32)

(33)

综上，系统状态不会始终保持在B2区域内，而是会在时间σ(t)内穿过B2区域，并最终到达A区域。文献[13]指出，系统状态穿越饱和区域的时间σ(t)难以准确求得，但其数值仍是有限的。所以，系统状态从任一初始位置出发，均能够在有限时间内收敛于滑模面si的邻域Δi,且收敛时间为T1,i+σ(t)。

步骤2证明系统状态收敛于滑模面邻域后，能够在有限时间内收敛于平衡点邻域Ωi。

由于此时系统状态位于Δi内，所以有

(34)

其中:φi≤Δi。

此时，选取Lyapunov函数:

(35)

对Lyapunov函数(35)求导，并代入式(34)，可得

(36)

(37)

(38)

综上，系统状态从任一初始位置出发，均能够在有限时间内收敛于平衡点邻域Ωi内，且收敛时间Ti及Ωi满足：

Ti=T1,i+T2,i+σ(t)

(39)

(40)

证明完毕。

注2如图1所示，为了保证滑模面si始终位于A区域内，在选取饱和函数阈值τm时，应满足τm>β2p。

注3在采用自适应方法对干扰上界进行估计和补偿时，控制器中含有的符号函数sgn(s)会导致输出抖振。受文献[23-24]的启发，本文设计的自适应律(18)通过估计系统广义干扰上界平方κ的方式，避免了控制器的输出抖振问题。

注4当系统状态到达滑模面邻域Δi后，系统轨迹仍有可能进入，甚至反复穿越区域B，但很难量化地描述邻域Δi与区域B之间的对应关系或分析区域B对系统动态性能的影响。通过定性分析可以发现，当系统状态到达邻域Δi后，饱和区域B的存在并不影响系统实际有限时间稳定的特性，且对系统收敛性能的影响也较为微弱，后续数值仿真也验证了这一结论。

3 预设性能有限时间姿态跟踪控制器设计

预设性能控制通过引入形如式(41)的性能函数及误差变换，能够将系统的跟踪误差限定在约束范围(42)内[21]。

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-ht+ρ∞

(41)

-ρ(t)

(42)

式中：ρ0为性能函数初值；ρ∞为系统稳态误差允许范围；h为性能函数收敛速率，h越大则性能函数的收敛速度越快。在性能函数ρ(t)约束下的误差响应曲线如图2所示。除设计性能函数外，传统的预设性能控制还需要对系统进行误差变换，将约束下的跟踪控制问题转化为无约束的稳定控制问题，由于与本文内容无关，这里不再详细给出变换过程。

本文选取式(41)所示的性能函数对系统的滑模面响应si进行约束，根据式(42)可知，其约束范围可以表示为

-ρi(t)

(43)

设计控制器τ为

(44)

{zi=si/φsi

φsi=mρi(t)+(m-1)ρi(t)

(45)

式中：当si≥0时，m=1;当si<0时，m=0;其他变量及参数的定义与控制器相同。

定理2对于满足假设1的航天器姿态跟踪系统(8)～(10)，采用控制器(44)和自适应律(18)，能够使系统状态从任一初值在有限时间内到达滑模面邻域后又在有限时间内收敛于平衡点邻域，即保证系统是实际有限时间稳定的，且系统的滑模面响应si满足约束条件(43)。

图2 预设跟踪误差响应曲线范例Fig.2 Example of prescribed tracking error response

证明：与定理1的证明过程相似，定理2的证明过程同样分为两步。

(46)

当si≥0时，zi≥0成立，则有

(47)

当si<0时，zi<0成立，则有

(48)

根据上述分析可知，式(46)与式(20)具有相同的形式，则后续证明过程与式(21)～式(39)一致，这里不再赘述。

注5在整个控制过程中，当si受到环境干扰、参数不确定性等因素的影响而靠近约束边界±ρi时，控制器(44)中的预设性能项(对数项)将通过提高控制增益的方式，使si远离约束边界，这种调节机理与预设性能控制相似。

注6采用预设性能方法对系统状态进行约束时，一般需要先对系统进行误差变换，而本文直接在控制器(44)中引入了预设性能项，无需系统变换，在一定程度上简化了控制器设计过程。严格地讲，控制器(44)并不属于预设性能控制的范畴，但借鉴了通过性能函数对系统状态进行约束的思想，在控制效果上与传统预设性能控制有很多相似之处。

4 仿真结果与分析

本节利用MATLAB对航天器姿态跟踪过程进行数值仿真，并将本文设计的自适应终端滑模有限时间控制器FTSMC、预设性能有限时间控制器PPC+FTSMC与PD控制器进行比较。

仿真中，航天器主要参数如表1所示，控制器参数如表2所示。为了方便对本文设计的两种控制器进行对比，除预设性能项外， FTSMC控制器与PPC+FTSMC控制器的其他参数均相同。对于相同的参数，表2不再重复给出。

此外，假设航天器姿态干扰力矩为[14,25]

10-3N·m

根据上述参数，采用FTSMC控制器时，航天器的姿态误差四元数、角速度及控制力矩变化曲线如图3所示。由图3(a)和图3(b)可以看出，在FTSMC控制器的作用下，航天器在21.5 s左右完成了对期望姿态的跟踪，航天器的姿态和姿态角速度均具有较高的响应速度和较快的响应时间。

采用PPC+FTSMC控制器时，航天器姿态误差四元数、角速度及控制力矩变化曲线如图4所示；系统的滑模变量s1、s2、s3在性能函数约束下的响应曲线如图5所示。

表1 航天器主要参数Table 1 Main parameters of spacecraft

表2 控制器参数Table 2 Parameters of controller

图3 四元数误差、角速度以及控制力矩变化曲线(FTSMC)Fig.3 Time histories of velocity and control torque (FTSMC)

根据图4(a)和图4(b)可知，在PPC+FTSMC控制器的作用下，航天器在18.5 s左右完成了对期望姿态的跟踪，相比于FTSMC控制器，跟踪时间缩短了约3 s。由图5可以看出，采用PPC+FTSMC控制器时，系统的滑模面响应si被严格限定在了约束范围内，且系统状态能够在较短的时间内收敛至滑模面邻域。进一步比较图3(c)和图4(c)可知，采用PPC+FTSMC控制器时执行机构需要输出较大的控制力矩。这说明PPC+FTSMC控制器中的预设性能项增大了指令控制力矩的幅值，这部分增加的控制力矩使系统的滑模面响应si得到了约束，并缩短了系统状态的稳定时间。

图4 四元数误差、角速度以及控制力矩变化曲线(PPC+FTSMC)Fig.4 Time histories of angular velocity and control torque (PPC+FTSMC)

图5 滑模面响应s1、 s2、 s3变化曲线(PPC+FTSMC)Fig.5 Time history of sliding surfaces s1, s2, s3(PPC+FTSMC)

为了进一步验证上述两种有限时间控制器的快速、高精度的特性，本文将传统的PD控制器用于航天器姿态跟踪问题，其仿真结果如图6所示，3种控制器的性能对比如表3所示。从表中可以看出，FTSMC控制器和PPC+FTSMC控制器的性能明显优于PD控制器，在一定程度上验证了本文设计控制器的有效性。

图6 四元数误差、角速度以及控制力矩变化曲线 (PD)Fig.6 Time histories of angular velocity and control torque (PD)

表3 3种控制器性能对比Table 3 Comparision of performance of three controllers

5 结 论

针对刚体航天器姿态跟踪控制问题，提出了新型的有限时间控制方法，经过严格的理论分析及充分的仿真验证，得出如下结论：

1) 所提出的控制方法将处理终端滑模奇异问题的饱和函数法与实际有限时间稳定概念相结合，避免了传统终端滑模控制器的奇异问题。

2) 所提出的控制方法通过引入新型自适应律，在增强系统鲁棒性的同时，规避了控制器输出的抖振问题。

3) 进一步考虑航天器姿态跟踪过程中的约束问题，所提控制方法借鉴了预设性能控制的思想，将系统的滑模面响应约束在了预先设定的范围内，并在一定程度上提高了系统状态的收敛速度。

综上，本文所提出的方法属于高增益控制方法，控制精度高、响应速度快，具有一定的理论与实际应用价值。