另解2017年全国物理竞赛预赛第16题

费新良 沈 卫

(菱湖中学 浙江 湖州 313018)

1 试题回放与参考解析

2017年第34届全国中学生物理竞赛预赛的最后一题，原题如下.

【题目】如图1所示，两劲度系数均为κ的同样的轻弹性绳的上端固定在一水平面上，下端悬挂一质量为m的小物块.平衡时，轻弹性绳与水平面的夹角为α0，弹性绳长度为l0.现将小物块向下拉一段微小的距离后从静止释放.

(1)证明小物块做简谐运动；

(2)若κ=0.50 N/m,m=50 g,α0=30°,l0=2.0 m, 重力加速度g=9.8 m/s2, 求小物块做简谐运动的周期T；

图1 原题附图

参考答案给出的解法如下.

解析:(1)取小物块的平衡位置为原点O，y轴的方向竖直向下，如图2所示.由牛顿第二定律可知

ma=mg-2κ(l-L)sinα

(1)

式中a为小物块的加速度，L为弹性绳的原长，l和α分别为小物块离开平衡位置的位移为y时弹性绳的长度和弹性绳与水平面的夹角.由几何关系有

(2)

(3)

l=l0+ysinα0

(4)

l0sinα=l0sinα0+ycos2α0

(5)

图2 原题解析用图

当小物块处在平衡位置时有

mg=2κ(l0-L)sinα0

(6)

即

(7)

将式(5)、(6)、(7)代入式(1)，略去y2项，可将式(1)化成

(8)

上式右端括号中的量是大于零的常量，式(8)可表示为

ma=-mω2y

(9)

式中

(10)

式(9)是简谐振动的动力学方程.因此，当y很小时，小物块做简谐振动.

第(2)、(3)两小题的解答从略.

点评：参考答案给出的解法是建立在微元思想和小量近似思想上的，可以避开高等数学的相关知识，而且有些学生在竞赛辅导时学习过微元思想和小量近似的相关知识.但高中的小量近似和微元思想都学习得不系统，也不常用，所以很多学生在用它解题时很难掌握其准确的用法，导致这个题目的得分不高.

2 利用导数再解此题

现鉴于高中数学已经初步学习了导数的相关知识，我们完全可以避开微元与小量思想，从学生熟悉的导数入手来解这个题目.利用导数知识对这道题的解法如下.

解析:如图3所示，小物块平衡时，满足方程

mg=2κ(l0-L)sinα0

其中L为弹性绳的原长，l0和α0分别为小物块在平衡位置时弹性绳的长度和弹性绳与水平面的夹角.可解得原长为

图3 利用导数求解用图

现将小物块向下拉一段微小位移dy至与水平面相距为y的位置，此时弹性绳的长度为l，绳与水平面的夹角为α，取竖直向下为正方向，此时小物块的受力关于y的函数为

F(y)=mg-2κ(l-L)sinα

对F(y)求导可得

并求在y=l0sinα0时的导数值为

可以把上式写成

即小物块从平衡位置向下偏移dy时的力

此式可写成

dF=-mω2dy

式中

此式为简谐振动的动力学方程.因此，当dy很小时，小物块做简谐振动.

点评：此方法不再需要用到小量近似，而是用到导数的知识来解决问题，在方法上更清晰明确，而计算上也更方便.而且导数在高中已经有系统的学习和训练，此题的这种解法不仅是对高中导数的应用，还可反过来进一步加深对物理的微元和导数的理解.笔者觉得此方法可在高中数学支持的基础上多加以应用.