探讨函数的最小值

江苏省淮州中学 戚加国

有这样一道题目：

象如下：

【探索】

是否还有其他的解法？

上述结论是否具有某种规律可循？如果推广到一般情况，即出现n个绝对值时，它的最小值又是多少？此时x等于多少？

【推广】

当n为奇数时：

当n为偶数时，

由几何意义知：

此题也可以利用函数的图象进行探讨：

分类讨论知：f(x)的图象分为n+1段，左侧第i个区间与右侧的第i个对应区间上的单调性相反。其图象如下：

例2 办公楼共23层，现每层派一人集中到第k层开会，要使这23位参加会议的人员上下楼所走路程总和最少，则

分析：设所有与会者所走的楼层数总和为y，则：

∵1＜2＜…＜23， 而23为奇数，∴当k=12时，y取最小值。

例3 （淮安市2011届高三二模）已知：f（x）=|x+1|+|x+2|+…|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|，且则满足条件的所有整数a的和为

由①得：a=1或a=3;由②得a=2。所以满足条件的所有整数a的和为6。