各学段数学教学中“多米诺效应”模型的运用研究

广西师范学院 (530001) 周作雄 侯代忠

多米诺效应(DominoEffect)也叫多米诺骨牌效应.它指的是在一个相互联系的系统中，一个很小的初始能量就可能产生一系列的连锁反应.“多米诺效应”模型是数学递推模型体系中的一种.它的核心在于找到很小的“初始力量”(一般位于初始或者结尾)，然后利用多米诺效应所特有的递推形式进行下推，在这过程中让学生去体会数学的美，最终的结果使题目变的简单、容易和有趣.法国数学家帕斯卡说过：“数学这一学科如此地严肃，我们应当千方百计地把它趣味化”.研究“多米诺效应”的模型在小学、初中、高中和大学运用的目的，就在于把严肃的数学变得有趣，激发学生对于数学学习的欲望，开阔学生思维，培养学生对于数学美的鉴赏能力，最终使得学生的数学核心素养，在解题的过程中得以提升.下面就让我们来见识一下，“多米诺效应”模型是如何在我们数学生涯中运用的.

一、“多米诺效应”在小学奥数巧算中的运用

例1 (四年级奥数) 巧算加减法99-98-97+96+95-94-93+…+8+7-6-5+4+3-2-1.

分析：长长的巧算题目，其实包含着“多米诺效应”模型的影子.通过观察，我们可以知道，此题目的“初始力量”位于首位.通过将连续的四个数组合在一起，结果恰好等于0，即 99-98-97+96=0,95-94-93+92=0…,7-6-5+4=0.便可快速求解得出答案.过程如下：

99-98-97+96+95-94-93+…+8+7-6-5+4+3-2-1=(99-98-97+96)+(95-94-93+92)+…+(7-6-5+4)+3-2-1=0.

小结:“多米诺效应”模型不仅仅可以运用到小学数学奥数巧算中，而且它也可以拓展到小学数学的加减凑整运算中去，同样也具有简便性和趣味性.

(2)137+356+565+863+644+435=( ).

二、“多米诺效应”在初中数学平方差公式中的运用

例2 计算：3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1[1].

分析：初中数学平方差公式的学习，也包含着“多米诺效应”模型的影子.通过观察我们可知,此题目的“初始力量”位于首位.通过构造平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2来解决.虽然没有(a2-b)，但是我们可以将3进行变形得3=(22-1)，于是题目便可得出答案.过程如下：

3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1=264-1-264+1=0.

小结：“多米诺效应”模型既可以运用到初中数学平方差公式的计算中，又可以拓展到初中数学的分数的加减运算中去，同时也可以拓展到大学数学的极限的求解中去.同样都具有打破定势思维，增加成就感的效果.

三、“多米诺效应”在高中数列裂项求和中的运用

小结：“多米诺效应”模型不但可以运用到高中的数学平方差公式的计算中，又可以用于数学归纳法的导入教学.它们都具有技巧性和方法的多样性.

四、“多米诺效应”在大学高等代数行列式中的运用

例4 计算下列行列式

分析：大学高等代数中行列式的学习，同时也渗透着“多米诺效应”模型.通过仔细观察我们便可发现，此题目的“初始力量”位于开头.通过按第一行展开便可得到n-1阶的形式，然后根据多米诺特性进行递推，求解.过程如下：

解：将行列式按第一行展开，得Dn=2Dn-1-Dn-2.即Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2,∴Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=…D2-D1=3-2=1.∴Dn=1+Dn-1=…=1+1+…+(1+Dn-(n-1))=(n-1)+2=n+1.

小结：“多米诺效应”模型在大学同样适用，它既可以运用到行列式计算中，又可以用于矩阵的计算，同时还可以运用到极限的求解.它们同样具有数学美与能力的提升.

综上所述，“多米诺效应”模型，广泛运用于小学、初中、高中和大学中，通过在长长的题目中，找到小小的“初始力量”，使其发生连锁反应，最终使“万丈高楼倾倒于前”.在此过程中，让小学生体会数学的趣味性，激发其对数学学习的欲望；初中生打破思维定势，从中获得成就感；开阔高中生的思维，使其解题更具技巧性和多样性；培养大学生对于数学美的鉴赏能力，使其数学核心素养，在解题的过程中，得以提升.