“先猜后证”在解几探究性问题中的应用

福建省龙岩一中 (364000) 方秦金

“猜想”是合情推理，“证明”是演绎推理，“先猜后证”就是先用合情推理的方法得到一个似真的结果，再用演绎推理证明这个结论的正确性.本文举例说明“先猜后证”在解几探究性问题中的应用，供参考.

1.应用“先猜后证”探究直线与圆的位置关系

例1 (2014年北京高考理科卷第19题)已知椭圆C：x2+2y2=4.

(Ⅰ)求椭圆C的离心率；

(Ⅱ)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．

我们先看命题者给出的解答.

(Ⅱ)直线AB与圆x2+y2=2相切．证明如下：

2.应用“先猜后证”探究定点问题

图1

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

下面证明M(1,0)就是满足条件的点.

评析：假设存在满足条件的点M，我们通过取k,m的特殊值得出M的坐标，再给以一般化的证明，这是“先猜后证”方法的应用.

3.应用“先猜后证”探究点与圆的位置关系

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

我们由特殊情形得到点G与以AB为直径的圆的位置关系，“先猜”为“后证”指引了明确的方向.

4.应用“先猜后证”探究定值问题

例4 已知动圆P与圆F1:(x+3)2+y2=81和圆F2:(x-3)2+y2=1都相内切，即圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M,N两个不同的点．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由．

评析：如果没有用特值的方法得出一个可能的结果，则证明的方向是不确定的，繁杂的字母运算也令人望而却步.“先猜后证”鼓舞了解题的信心.

回顾以上四个例子，“先猜后证”可为解几探究性问题指引方向，从而化繁为简，也体现了数学的简洁美.