基于有向点集的多面多孔式装配偏差分析与协调

崔志卓，杜福洲,*，熊涛

1. 北京航空航天大学 机械工程及自动化学院，北京 100083 2. 中国空间技术研究院 北京卫星环境工程研究所，北京 100094

在大型机械产品的装配中，随着基于模型定义技术和光学测量定位技术[1-3]的广泛应用，测量辅助装配技术[4-5](Measurement-Assisted Assembly, MAA)在航空、航天、船舶等行业内得到了广泛的应用。

在大尺寸产品装配对接与位姿调整方面，国内外学者分别对数字化测量工艺模型、转站公共基准点布设、最佳装配位姿的计算、工程应用等分别进行了研究与阐述[6-10]。上述研究以位姿调整为目标实现了大型机械产品的对接，但对配合关系考虑的不够充分。在实际装配中，产品的配合质量影响产品的物理性能，是协调的重点要素。而由于制造误差、应力释放、热膨胀、重力变形和工装安装误差等因素导致装配对接部分产生间隙或阶差，通过分离并精加工/调整的方式改进产品配合质量，或者强行装配影响产品的物理性能并带来不必要的隐患。因此，诸多学者对此类问题进行了研究。部分学者基于检测数据研究装配过程的产品偏差传递机理和装配精度预测[11-15]从而提前发现问题进行调整，部分学者通过数字化测量和柔性工装改善因工装定位偏差和产品变形引起的装配偏差[16-18]。

在大型机械产品装配中，通过对不同空间位置的轴孔进行紧固连接是装配连接的主要形式之一，如基于叉耳结构的飞机翼身装配、航天器的多紧固连接、风电塔的大型法兰连接等。而轴孔的配合质量影响着产品的连接性能[19]，费燕琼等对电机套筒多轴孔多面约束的装配进行了装配关系的分析，并采用导杆的方式完成装配[20]，赵东平等针对间隙连接件采用多维矢量沿偏差传递路径建立了多维矢量环，完成了装配偏差的预测[21]，Luo等采用力/刚度补偿的方式完成了高精度多轴孔的装配[22]，郭崇颍等对红外线线列电荷耦合元件的拼接中拼接精度问题，基于蚁群算法对解算的装配偏差进行优化，指导工装调整并完成装配[23]。通过数字化测量手段获取轴孔的空间位姿，分析轴孔装配偏差并进行协调的相关文献还未见报道。

针对装配过程中大型机械产品多面多孔装配中装配偏差难以预测，装配过程协调难度大的问题，分析多面多孔装配关系，采用“有向点”表征轴/孔的空间位姿，构建多面多孔式装配的数学模型，采用奇异值分解(SVD)分解法[24]对有向点集进行最优匹配，并对轴孔配合的装配偏差进行解算，在装配前预测装配偏差指导调配。最后通过多面多孔式装配协调试验进行了验证，试验结果表明基于测量数据的装配偏差分析与辅助调配方法可行，可提高装配的效率和装配一次成功率。

1 研究概述

在具有多面多孔的大型零部件装配对接中，通过轴孔配合进行紧固连接。基准装配体(Datum Component)安装于固定工装，对接装配体(Align Component)安装于可移动工装，其装配示意图如图1所示。受制造精度、温度、重力、工装夹紧等因素影响，装配时轴孔配合产生缝隙、偏移、偏向，降低装配质量。通过数字化测量手段对面-面配合、孔-轴-孔配合状态进行分析，预估对接状态下的偏差，在装配前进行补偿，提高装配质量。如图1所示，考虑多面多孔式装配中三类轴孔装配协调问题。

偏移(Axis Position Deviation)：如图1中右上所示，由于装配体的刚性，当其中一部分装配孔配合准确时，引起孔上下配合处在配合面上产生了偏移，销钉无法插入或扭曲，d为孔在配合面上产生的偏移量。

偏向(Axis Orientation Deviation)：如图1中右中所示，由于装配体的刚性，当其中一部分孔同轴度配合较好时，个别孔的轴线配合出现问题，销钉插入时无法通过，θ为孔轴线之间的夹角。

缝隙(Plane Position Deviation)：如图1中右下所示，由于装配体的刚性，当其中一部分孔在配合面紧密贴合时，其他孔配合存在缝隙，如果缝隙超差时强行装配，引起装配体变形，降低装配质量，h为两孔配合面沿轴线的投影距离。

上述3个问题耦合而影响了装配的质量，导致无法一次装配，而是需要分离装配体，对不协调的轴/孔逐个进行调整以完成装配，降低了装配效率。

因此，采用数字化测量表达轴/孔的空间位姿，并对多轴/孔进行装配偏差的预测和分析，在实际装配前找出超差的轴/孔，加以调配，改善装配精度。

2 基于有向点集的装配偏差分析

2.1 基于有向点的轴/孔位姿表达

广义的装配关系是指基准、装配工装以及零部件三者之间的相互位置关系和配合关系。其中，装配零部件之间的装配连接与形位关系，影响了装配体的几何质量，也一定程度影响着装配应力。多面多孔式装配可以看做孔-轴配合关系、面-面配合关系以及整体的相对位姿配合关系，因此其装配关系可以表达如图2所示。其中，轴-孔的配合情况影响着两个装配体的配合质量。

考虑轴/孔的体积较小，受力引起的局部变形一般很小，可以近似看成刚性体。在刚性假设条件下，轴/孔可以用一个点代表位置，一个矢量代表方向，而绕轴旋转不会影响轴-孔的配合。

因此，定义有向点(Orientation Point，OP)，有向点是轴/孔在空间的位姿简化描述，可以表示为

(1)

有向点的配合通常是一一对应，因此进行配合关系分析时，也是按对分析，定义具有相互配合关系的两个有向点为有向点对。

对一个装配体的多个轴/孔对应的多个有向点共同组成了有向点集，多面多孔式装配可以看做两组对应的有向点集的配合，将这两组有向点集称作有向点集对。

有向点可通过辅助工装进行测量，辅助工装设计及测量方式如图4所示。

通过计算4个测量点中心，并通过对角矢量叉乘，获得位置参数和方向参数：

(2)

式中：c1、c2、c3、c4为辅助工装上每个定位孔坐标；l为辅助工装以及靶球半径合成的厚度。

2.2 基于有向点对的轴孔装配偏差表达

装配准确度要求由尺寸精度、相互位置精度组成，其中尺寸精度由公差配合、接触精度等组成，由制造过程保证其公差配合。相互位置精度包括同轴度、位置度等，是数字化调节的主要目标。对于两个装配体的配合关系，可以通过式(3)进行表示：

Φ(ω1,ω2)={ω1,ω2|f1(ω1,ω2)∈Ψ1,

f2(ω1,ω2)∈Ψ2,…,fn(ω1,ω2)∈Ψn}

(3)

式中：Ψ1、Ψ2、Ψn为装配准确度包含的区间；ω1、ω2为物体在空间的位置和姿态，在本文中为有向点；f1、f2、fn为从位姿参数到装配准确度的映射。

多个对象进行配合时，每个对象应满足式(3)的要求，即可满足装配准确度的要求。配合关系可描述为

(4)

式中：上标A和B分别为基准装配体和对接装配体，ΩA和ΩB分别为基准装配体和对接装配体上相配合特征的位置和姿态参数的集合，在本文中为有向点集。

(5)

式中：qn为某一项装配准确度的指标最优值。

而轴孔类配合可以看做2个有向点之间进行相互配合，如图5所示，其由同轴度和位置度转化而来的分析的值主要由偏移、偏向、缝隙决定。因此，二者的夹角(偏向)可以表示为

(6)

(7)

(8)

2.3 基于SVD分解的有向点集对装配偏差解算

如图6所示，装配体进行装配时，可以等效为有向点集对中的有向点对一一配合，同时还需考虑有向点集自身的拓扑关系。即一个装配体上的所有轴或孔构成一个整体，因此需要对有向点集对的配合进行整体评估，在最优配合下，对有向点对的装配偏差逐个进行求解。

设基准装配体测量所得有向点集为

(9)

(10)

ΩBm可以转化为位置参数矩阵PBm和方向参数矩阵OBm:

(11)

B的参数矩阵为ΩB，其位置和姿态参数矩阵分别为PB和OB，Bm和B两组点集ΩB和ΩBm存在关系：

(12)

式中：R为旋转矩阵；T为平移矩阵；EP为位置偏差矩阵；EO为方向偏差矩阵。

令

(13)

则式(12)可以转化为

(14)

采用SVD分解法对式(14)进行求解：

(15)

等价于

(16)

计算ΩVm及ΩV的重心坐标：

(17)

令

(18)

则式(16)可以转化为

(19)

等价于

(20)

此时

(21)

对H进行SVD分解：H=UDVT，则

(22)

将R、T代入式(14)，有

(23)

则PBm′为对接装配体B调整目标位置下的有向点位置参数矩阵，此时PBm′与理想位置参数矩阵PBm仍有EP的差距。同理，OBm′与理想方向参数矩阵OBm有EO的差距。将PBm′与PBm、OBm′与OBm代入式(6)～式(8)中计算偏移、偏向、缝隙，并与装配准确度进行比较，如果不满足装配准确度要求，则需要进行调配等优化。

3 面向调配的协调量求解

孔类调配多通过对零部件上另一位置的调整间接传递。对空间任一点协调量的计算可通过罗德里格旋转公式(Rodrigues’ Rotation Formula)进行姿态调整，加上位置补偿完成。

(24)

式中：Ralign为矢量变换的旋转矩阵，通过罗德里格旋转公式求解：

Ralign=-(Icosθ+(1-cosθ)rrT+

(25)

式中：θ可通过式(6)求解；r为旋转轴；根据式(26)解得。

(26)

设调整点坐标为P，则该点的调整目标解算方法为

P′=RalignP

(27)

此时，平移补偿量由ePi给出。平移量可分解为轴向平移和沿配合面平移，分别解算为缝隙补偿和偏移补偿。

(28)

式中：eh为缝隙补偿矢量；ed为偏移补偿矢量。

如果计算缝隙调整量为负值，说明该孔位在其他孔位配合正常后有挤压，选出负值绝对值最大的一个，将该绝对值补偿到所有的孔位上，并进行调整以消除影响。

4 试验与分析

4.1 试验过程与数据分析

结合某航天器多面多孔式装配过程，建立试验流程如图8所示。

1)建立如图9(a)所示试验场景，3个孔类零件(a、b、c)分布固定板上作为试验组A，安装测量辅具后用三坐标测量机对测量辅具的孔及上表面进行测量，将孔投影到上表面所在平面为该测量孔在上表面的测量值，测量数据如表1所示。

2)如图9(b)使用铝块将试验组A的固定板倾斜约15°，松开每个孔类零件并在与固定板的连接处插入不等量的垫片，使其相对姿态发生变化，拧紧，作为B组试验体，测量方式参考步骤1)，测量数据如表2所示(未转换坐标系至A所在坐标系)。

3)对试验组A与B进行分析，计算试验组B需要补偿的垫片以复原至A的状态，松开孔类零件的紧固孔，并进行垫片补偿，在三坐标测量机的辅助下完成平移运动，调整完成后重新测量测量辅具作为试验组C，协调量(垫片补偿及平移量，垫片序号与图9中测量辅具标注序号一致)如表3所示，有向点的方向为z轴正方向，因此dz近似为0，垫片补偿包括了缝隙以及偏向两部分，试验组C测量数据(未转换坐标系至试验组A所在坐标系)如表4所示。

连接件测量点x/mmy/mmz/mm115.908347.840-80.594a267.929346.742-80.802366.817294.751-80.686414.804295.900-80.478181.161218.937-74.581b2132.616226.205-74.0303139.910174.713-74.032488.441167.405-74.5831187.626303.415-83.820c2233.913327.103-83.8353257.601280.779-83.8494211.308257.117-83.834

表2 试验组B测量数据Table 2 Measure data of Set B

表3 试验组B协调量Table 3 Adjustments of Set B

表4 试验组C测量数据Table 4 Measure data of Set C

4)计算试验组C与试验组A的装配偏差，试验组B与试验组A的装配偏差，如果试验组C与试验组A较试验组B与试验组A的装配偏差有减少，则验证本文的方法的有效性，解算结果如表5所示。

表5数据显示，缝隙、偏移、偏向均有明显减少，从而说明在本方法的指导下能够通过测量数据对装配偏差进行分析并辅助调配。

表5 装配偏差比较Table 5 Comparison of assembly deviation

4.2 误差分析

试验中解算出的协调量的不确定度受测量不确定度以及算法本身精度影响，缝隙、偏移、偏向的不确定度可根据式(29)进行粗略估计:

(29)

式中：Δh为缝隙补偿量的不确定度;Δp1、Δp2为有向点位置参数的测量不确定度;Δm为算法在计算机运行中舍入精度引起的误差，在多次仿真试验中，该数值优于0.002 mm;Δd为偏移补偿量的不确定度;Δθ为偏向补偿量的不确定度;Δo1、Δo2为有向点方向参数的测量不确定度。

其中三坐标测量机型号为PEARL-755，其基准测量不确定度参数为3 μm，线性测量不确定度参数为3 μm/m。试验中均为点测量，测量范围较小，估计测量不确定度为3 μm。

根据式(2)，有向点的位置测量不确定度为6.2×10-3mm，有向点的方向测量不确定度估计为4.7×10-3(°)，缝隙的测量不确定度估计为9.0×10-3mm，偏移的测量不确定度估计为9.0×10-3mm，偏向的测量不确定度估计为6.6×10-3(°)。

在试验中，协调的偏差还受工艺因素的影响，缝隙调整与偏向调整中垫片厚度名义值与实际值的偏差、垫片垫入深度、螺钉拧紧力等因素对调整结果均有影响，偏移调整中人为操作偏差、轴孔配合偏差影响了调整精度。

5 结 论

1) 提出基于有向点的轴/孔位姿表达方法，构建多面多孔式装配偏差的数学表达模型，对有向点集对的协调过程进行分析；针对轴或孔的调整装配，给出协调量计算方法，实现多面多孔式装配的装前评估与协调。

2) 针对有向点集对协调的问题，构建了有向点集对配合的数学模型，采用SVD分解法进行最佳拟合；针对有向点表征的孔或轴的调整装配，通过罗德里格旋转公式和平移补偿计算调整量。

3) 进行了多面多孔式装配协调试验，试验结果表明，通过对测量数据的分析和对轴/孔的调整，缝隙、偏移、偏向均有明显降低，验证了本文方法能够基于测量数据对装配偏差分析并辅助调配。

4) 本方法还可扩展应用于柔性工装装调等。