多目标约束的精锻叶片几何重构优化算法

冯亚洲，任军学，梁永收，刘明山

西北工业大学 现代设计与集成制造技术教育部重点实验室，西安 710072

随着大飞机的研制对航空发动机叶片高效、精密制造要求的不断提高，新型航空发动机压气机大多采用近净成形技术制造叶片毛坯[1]。精密锻造技术就是在此基础上发展起来的一种少或无切削加工的工艺技术，采用精锻工艺制造的叶片毛坯，其叶盆、叶背型面的几何参数满足设计要求，进/排气边部分因曲率半径小、几何形状复杂，无法精确锻造成形，因而留有余量，需要采用数控加工的方式去除[2]。然而，每个叶片毛坯在锻造过程中均存在一定的工艺变形，如厚度、扭转、位置度的变形[3]。导致依据设计模型加工后的进/排气边与锻造叶身无法光滑转接，且加工后的几何轮廓难以满足设计要求。因此，需要采用逆向建模的方法对叶片进行工艺模型重构。

基于逆向工程的自适应数控加工技术集成了数字化检测、工件配准定位、模型重构等数字化领域中的多项技术，是实现复合制造工艺背景下叶片类零件高效精密加工的一种系统解决方案[4]。随着数字化检测技术的不断提高，学者们[5-6]提出了不同的自适应加工框架与策略，其框架的核心是基于有效测量数据重建工艺模型，进而实现叶片类零件的加工与修复。随着计算机辅助几何造型技术(Computer Aided Geometric Design, CAGD)的不断发展，学者们针对叶片的几何重构方法取得了许多有价值的研究成果。为了在叶片模型重构过程中更多地考虑设计意图，Mohaghegh等[7-8]采用多段圆弧代替样条曲线拟合数据点实现涡轮叶片的模型重构。在后续的研究中，引入几何连续性约束，提高了重构模型的精度。Dong等[9]计算了一系列圆的圆心作为中弧线，通过中弧线确定叶片截面的轮廓。Zhao等[10]在模型重构的迭代过程中，采用了节点插入算法，提高了FFD算法的精度。上述研究基于完整测量数据的叶片模型重构，然而精锻叶片进/排气边余量分布不均匀，增加了模型重构的难度。

针对部分数据缺失的几何重构问题，Li和Ni[11]提出一种非刚性配准算法，通过变形名义曲线来拟合数据点，实现数据缺失部分的轮廓补缺。Rong等[12]通过移动模板曲线的控制点，使曲线通过测量的有效数据，进而获得数据缺失部分的轮廓。Li等[13]提出一种损伤零件的修复策略，对于损伤区域缺失的数据，采用多约束条件下的配准算法对名义模型和测量数据进行最佳拟合的方法进行补缺。上述研究成功地重建了叶身区域数据缺失部分的轮廓曲线。然而，精锻叶片需要重构进/排气边区域的工艺模型，该区域的轮廓曲线通常曲率变化较大且控制点数目较多。若直接采用上述文献中的修改设计曲线控制点方法，重构的进/排气边轮廓曲线的形状和精度难以保证。对于进/排气边区域模型重构的研究，蔺小军等[14]提出采用圆弧搜索的方法，重构精锻叶片进/排气边的轮廓。张艳等[15]提出基于配准算法的进/排气边圆弧转接重构方法。程云勇等[16]采用基于公差约束的椭圆最小二乘迭代拟合的方法重构进/排气边轮廓。侯斐茹等[17]通过改变工件做刚性位移的余量优化思路,建立叶身优化模型。上述研究主要针对圆弧或椭圆弧等特殊形状的叶片进/排气边几何重构。

随着航空发动机气动性能要求的不断提高，压气机叶片进/排气边的轮廓不再局限于圆弧或椭圆弧形状，逐渐采用分段样条曲线设计其轮廓形状，进一步增加了叶片进/排气边几何重构的难度。针对精锻叶片进/排气边重构过程中的几何不确定性问题，提出一种面向自适应数控加工的精锻叶片进/排气边几何重构方案及相关算法。论文的内容结构如下：第1节介绍了精锻叶片自适应数控加工方案和关键算法框架；第2节介绍了配准算法和几何重构算法的求解过程；第3节通过精锻叶片自适应数控加工实验验证了方案的可行性及算法的可靠性。

1 自适应加工方案

精锻叶片典型结构如图1所示。对于精锻叶片的模型重构，测量数据很大程度上决定着重构轮廓的精度。然而精锻后的叶片毛坯在进/排气边区域有着不均匀的余量分布，导致该区域无法获得用于模型重构的数据，如图2所示。由图3可以看出，如何在满足设计公差、轮廓形状、光滑过渡等要求的前提下，重构出精锻叶片进/排气边的轮廓曲线是需要解决的关键问题。

针对上述问题，提出一种自适应数控加工方案，如图4所示。

随着计算机辅助设计的发展，叶片的参数化设计方法被广泛应用于航空发动机叶片制造领域[18]，通过定义中弧线与厚度分布构造叶片截面几何轮廓，如图5所示。然而，叶片在逆向重构过程中，通常无法直接获得叶片实际轮廓的中弧线。因此，基于叶片设计意图，根据叶身截面轮廓的测量数据，需要计算出距离叶盆、叶背相等的曲线，为了与设计的中弧线进行区分，定义该曲线为重构的轴曲线。

叶片在几何重构过程中遵循由二维曲线到三维曲面的叶片参数化设计原则，即先重构叶片截面曲线进而构造完整工艺几何模型。通过已知的测量数据和特征信息，自适应几何重构精锻叶片进/排气边的加工工艺模型。自适应几何重构算法框架如图6所示。

2 算法实现

2.1 基于公差约束的配准优化算法

最近点迭代(Iterative Closest Point, ICP)算法是典型的基于表面点集的配准算法，在包含自由曲面的工件检测中得到了广泛的应用。该算法的实质是通过求取最小平方和来降低每一次迭代过程中对应点集的平均误差,以及通过查找最近邻点来降低每一点对之间的距离。在实际配准的过程中由于缺少约束条件的限制，ICP算法很容易收敛于局部最优解。然而，精锻后的叶片毛坯和设计模型之间存在不同程度的几何偏差，导致算法即使收敛，其结果可能存在较大的偏差，无法满足精锻叶片自适应加工的要求。而粒子群优化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法是以一个给定的目标在迭代过程中不断地对结果进行改进，从而实现结果的全局最优，常被用于对目标函数进行求解。因此，需要在ICP算法配准的基础上，建立基于公差约束的配准目标函数，并采用PSO算法对目标函数进行求解，最大程度地将测量点集约束在设计公差范围内。

2.1.1 公差约束

以设计模型曲面S为基准，其轮廓上下偏差S1和S2之间所形成区域称为约束区域，约束区域外的区域为自由区域，如图3所示。

通过判断数据点是否位于等距曲面S1与S2之间的区域，来确定该点在配准过程中不同的权值。其中，权因子wi是与点到曲面距离有关的函数，可表示为

(1)

2.1.2 配准优化算法

对于零件测量数据和理论模型的配准问题，就是要找到最优的变换方式，使得目标函数在约束条件下最小。其目标函数为

(2)

目标函数引入约束区域权因子，被定义为待配准模型上的测量数据到理论模型的加权距离平方和。式(2)中点Pi(i=1,2,…,N)为待配准模型上的测量数据，点Pc,i为点Pi在理论模型曲面上的最近点，wi是配准约束区域权因子，矩阵R(Δα, Δβ, Δγ) 为旋转矩阵, 表示绕3个坐标轴的角度参数;T(Δx, Δy, Δz)为平移矩阵，分别表示沿3个坐标轴的平移参数。通过计算参数(α,β,γ,T0,T1,T2)的最优解，直到目标函数最小。以超差点的比例最小作为目标对ICP算法的配准结果进行优化，优化目标函数为

(3)

式中：参数nout表示配准后超出叶片公差带范围的测量点数目；参数n表示用于配准的测量点数目。

2.1.3 目标函数求解

采用PSO算法对上述配准优化目标函数进行求解。PSO算法基于群体智能方法的演化计算技术，主要用来求全局最优解，是一种高效的并行优化方法。PSO算法中选择沿着坐标轴X、Y、Z的3个平移分量Δx、Δy、Δz和2个旋转分量Δα、Δβ(参数Δγ可以通过其他5个参数确定)组成粒子群算法的优化目标参数为

GTP=(Δx,Δy,Δz,Δα,Δβ)

(4)

根据式(3)的配准优化目标函数，可以构造出PSO算法的适应度函数为

(5)

PSO算法在实现过程中，通常还需要指定搜索空间，即各个参数变动的范围。在ICP配准算法的基础上对结果进行优化，只需给定较小的搜索空间，记为(ui,l,ui,h)，其中1≤i≤5表示5个待优化参数各自的搜索空间。

如图7所示，通过测量数据与设计轮廓的配准，可以确定进/排气边待加工区域的余量分布，从而建立实际锻造轮廓与设计轮廓的几何对应关系。基于这种对应关系，可以确定锻造轮廓的进/排气边与叶身型面分界点为Pf,1和Pf,2，设计轮廓进/排气边与叶身型面分界点为Pd,1和Pd,2。

2.2 轮廓预测与几何重构

通过叶身测量数据与设计模型建立轴曲线偏差模型和截面厚度变形模型，预测进/排气边部分的变形和厚度偏差，在此基础上，采用轴曲线变形映射方法重构进/排气边的几何轮廓；通过修改理论模型控制点方法重构截面曲线，叶片截面几何重构过程中引入最小二乘曲线逼近和应变能变化最小作为约束条件，对重构曲线的精度和光顺性进行优化。其过程主要包括2个阶段，分别是叶片截面轴曲线的重建和几何轮廓的重建。第1阶段可以概括为两步：首先计算设计轮廓和锻造轮廓的轴曲线；其次，预测和重构锻造轮廓轴曲线的缺失部分。第2阶段可以概括为两步：重构进/排气边轮廓曲线；光顺轮廓曲线。

2.2.1 缺失轴曲线的预测与重构

轴曲线是由平面内叶盆、叶背曲线的等距点集构造的曲线。对于叶片截面轮廓轴曲线的构造，采用最近点迭代搜索算法进行求解，此处不做展开讨论。如图8所示，计算的设计轮廓轴曲线和锻造轮廓轴曲线分别表示为Cd和Cf,b，其中锻造轮廓进/排气边区域的余量分布，在轴曲线的计算过程中这部分曲线是缺失的，需要基于两条轴曲线的偏差趋势预测缺失轴曲线的目标点，进而将轴曲线Cf,b延拓至目标点。

由于两条曲线的偏差较小，偏差趋势是通过曲线Cf,b到曲线Cd的采样点之间的距离来表示，其中采样点按照等弧长分布在曲线上。如图9所示，曲线Cf,b上第i(1≤i≤N) 个采样点Pd,i到曲线Cd对应的距离为di。为了寻找目标点Pf,e，采用三次样条插值算法构造距离di与采样点Pd,i之间变化的偏差函数。将这个偏差函数用于计算曲线Cd端点Pd,e处的偏差距离dr，通过定义端点Pd,e在曲线Cd上的单位法向量Nd,e，轴曲线Cf,b的目标点Pf,e的位置可以表示为

Pf,e=Pd,e+Nd,e·dr

(6)

当计算出目标点Pf,e，需要对缺失的轴曲线Cf,pa进行预测和重构。如图10所示，曲线Cf,pa的两个端点分别满足两个不同的约束条件。一个端点与目标点Pf,e重合，另一个端点与曲线Cf,b在点Pf,N处满足G2连续。

定义一条参数为u，4个控制点分别为Q0、Q1、Q2和Q3的Bézier曲线用于表示需要预测和重构曲线Cf,pa，表达式为

Cf,pa(u)=(1-u)3Q0+3(1-u)2uQ1+

3(1-u)u2Q2+u3Q3

(7)

对于上述约束条件，已知曲线Cf,pa的控制点Q3=Pf,e，Q0=Pf,N，则需要求解的控制点Q1和Q2分别表示为

(8)

式中：点Pf,N、P1和P2分别为曲线Cf,b的控制点；参数α和γ为形状系数，决定了曲线Cf,pa的几何形状。对于参数α和γ的求解，采用能量法进行约束，文献[19]中曲线应变能被表示为

(9)

合并式(8)和式(9)，那么求解参数α和γ的目标函数可以被表示为

(10)

式中：矩阵Aα, γ, u=[u-α+γ(1-3u) -α2(1-3u)]，BP=[Pf,e-Pf,NPf,N-P2P2-P1]T。为了提高预测曲线的光顺性，采用曲线Cf,pa的应变能最小对目标函数进行求解，求解方程被表示为

(11)

将目标函数式(10)代入到式(11)，可以计算出参数α和γ的值。将α和γ代入到式(8)中，计算出曲线Cf,pa的未知控制点Q1和Q2，进而得到需要预测和重构的缺失部分轴曲线Cf,pa。

2.2.2 几何轮廓重构与光顺

为了提高进/排气边轮廓的预测精度，采用基于轴曲线变形映射的方法重构叶片轮廓。通过建立叶身轮廓的变形函数，预测出进/排气边轮廓的变形量，并引入到变形映射模型中，进而重构出叶片进/排气边轮廓曲线。

本节所采用的映射关系是基于2.1节配准结果的对应关系建立的。假设曲线Cd上的一个采样点为Pda,i，其单位法向量为Nda,i可以通过曲线表达式计算。则曲线Cf上的对应点为Pfa,i，其单位法向量为Nfa,i。同理，设计轮廓曲线上的对应点为Pdp,i，单位法向量为Nda,i。则设计轮廓在点Pda,i处的叶片厚度Li=|Pdp,i-Pda,i|。那么，重构曲线上的映射点Pmp,i可以被表示为

Pmp,i=Pfa,i+|Pdp,i-Pda,i|Nfa,i

(12)

精锻叶片叶身部分的轮廓厚度可能存在不同程度的变形。为了适应叶身的变形趋势，重构曲线的厚度需要调整。通过对比锻造轮廓与设计轮廓的厚度变化，建立用于评价变形趋势的厚度变形函数，进而预测出进/排气边上各点的厚度变化。评价函数的建立方法与2.1节中偏差函数类似，此处不再重复。将厚度变化代入到式(12)中，得到重构曲线上点Pmp,i新的位置信息。对所有的采样点执行该步骤，直到重构的轮廓曲线Cf,re可以被点Pmp,i计算并表示，如图11所示。

如图11所示，重构的轮廓曲线Cf,re与设计轮廓曲线对比可能存在不光顺的情况，而进/排气边几何形状的变化，直接影响航空发动机的气动性能，因此需要对其进行光顺重构。对于曲线的光顺性，较为公认的光顺准则[20]：① 二阶几何连续；② 没有多余拐点；③ 曲率变化较均匀；④ 应变能较小。考虑到设计轮廓曲线直接反映叶片的设计意图，在轮廓曲线的重构过程中，采用修改设计轮廓曲线控制点的方法逼近重构的轮廓点Pmp,i。在设计曲线的修改和逼近过程中，建立应变能变化最小目标函数，使新构造的轮廓曲线Cf,sr满足光顺性和几何相似性要求，如图12所示。

定义设计轮廓曲线Cdp是一条三次样条曲线，曲线参数为v(0≤v≤1)，控制点为Pi(0≤i≤n)，三次样条基函数为Ni,3(v)。那么该曲线可以被表示为[21]

(13)

当曲线Cdp的控制点Pi被修改，且改变量为ΔPi时。重构的轮廓曲线可表示为[21]

(14)

考虑到重构曲线的光顺性与几何相似性要求，基于曲线应变能偏差最小建立光顺目标函数为

(15)

由式(15)可以看出，采用单一目标函数ΔEmin对重构曲线Cmp进行光顺，虽然可以获得与设计曲线Cdp近似的几何轮廓，但是该轮廓与点Pmp,i之间可能出现较大的偏差。为了满足光顺后的重构曲线Cmp尽可能地逼近点Pmp,i，引入最小二乘误差作为目标函数。该函数被表示为

(16)

因此，合并后的多目标函数Fmin可以被表示为

Fmin=min((1-ω)ΔD+ωΔE)

(17)

式(17)中权重系数ω的取值大小与曲线的参数有关，此处根据曲线重构的设计要求对其赋值。对于多目标函数Fmin的求解采用求偏导的方法:

∂Fmin/∂(ΔP)=0

(18)

将式(17)代入式(18)，则目标函数求解的矩阵表达式可以表示为

(19)

式中:R为一个(K+1)×1 矩阵，其中第k个元素为Rk=Pmp,k；N为一个(K+1)×(n+1)矩阵，其第k行i列的元素为Ni,3(vk)；vk为曲线Cmp上一点的参数，且该点是点Pmp,k到曲线Cmp的最近点。通过分配权重系数ω，求解出曲线每个控制点Pi的改变量ΔPi。将求解的改变量ΔPi代入式(14)，获得光顺后新构造的轮廓曲线Cf,sr，如图12所示。最终对重构的不同截面曲线采用放样方法生成完整的轮廓曲面用于叶片的自适应加工。

3 应用与实验

3.1 系统开发

自适应数控加工系统采用模块化的方式进行开发，包含5个主要的模块：测量模块、配准模块、模型重构模块、数控加工模块和辅助功能模块。其中各个模块所实现的功能如图13所示。该系统在UG NX通用软件上采用C语言开发，通过UG Open/API接口与UG NX进行集成。在该系统平台上，通过调用UG建模、图形显示以及基本几何图形算法等，实现了各种关键技术的有机集成。

3.2 加工实验

某型号航空发动机精锻叶片被用于验证提出的方案和算法，精锻叶片材料为Ti-6Al-4V，这是一种在航空发动机工业中广泛使用的钛合金材料。叶片的长和宽大约为55 mm和35 mm，平均厚度为0.6 mm。叶片在数控加工过程中，采用在机测量的方式很大程度上减少了工件重复装夹带来的误差，而非接触测量相比较传统的接触式测量一定程度上提高测量的效率，同时避免接触式测头半径补偿带来的误差，需要注意的是非接触测量机的测量精度容易受到切削液、环境温度等因素的影响。考虑到测量效率在自适应加工中的重要性，实验采用非接触在机测量系统(303LP-A)在五坐标叶片加工中心(XKH800)上完成叶片数据点的采样，其中光学测头精度为20 μm，扫描模式下测量速度最大为4 200点/分钟。如图14所示，系统中的光学测头通过刀柄与机床主轴连接，能够实现加工过程中的自动换刀，同时测量的结果通过无线传输的方式传输到工作站进行实时分析和几何重构。

精锻后的叶片毛坯在自适应数控加工之前，需要以叶身进行定位，在叶片榫头锻造余量较大的位置加工出一个方形基准，并以该基准作为叶片的测量基准。通过测量方形基准，建立叶片的测量坐标系，进而对规划的待测点进行测量。测量的数据需要与设计模型在公差约束条件下进行配准定位，进一步提高数据的匹配精度。2.2节中提出的几何重构算法是遵循叶片二维截面到三维模型的设计原则，而配准后的测量数据与设计截面可能不在同一平面内，因此需要依据设计截面提取几何重构所需的截面点。此处采用点-面-线-点的方式进行截取。首先采用三次样条函数将配准后的测量数据分别拟合成叶背和叶盆曲面[20]。其次，按照叶片设计模型的截面高度在拟合的叶盆和叶背曲面上分别截取不同高度的截面曲线。最后，采用离散的方法将截面线转换成几何重构所需的截面点。

3.2.1 配准结果分析

叶片进/排气边轮廓的设计公差要求为下偏差-0.03 mm，轮廓上偏差0.05 mm。测量数据点数目为180个，采用ICP算法配准总计迭代100次，过程耗费的时间约为20 s，配准结果有25个超差点，配准过程中3个平移分量和3个旋转分量随着迭代次数的变化规律如图15和图16所示。

可以看出ICP算法迭代到100次的时候6个变量几乎趋于稳定，表明ICP算法已经收敛，但是此时仍然有25个数据点处于公差带范围之外。采用PSO配准优化算法对ICP算法的配准结果进行优化，迭代到第266次时超差点个数降低到14个。结果表明PSO算法能通过对给定的可能性空间进行搜索使得更多的点处于公差带范围之内，配准精度要优于ICP算法。实际工程应用中，当毛坯和理论模型不一致时，采用PSO算法对ICP算法的结果进行优化，能够进一步提高配准定位的精度。

3.2.2 进/排气边几何重构

根据提出的自适应几何重构算法，分别预测和重构精锻叶片进/排气边的9个截面轮廓。选取其中一个截面作为例子来显示结果。这条截面线由一个三次样条曲线表示，有18个控制点。实现这个截面重构算法的总运行时间为317.72 s。需要指出的是，该算法的效率与控制点数量密切相关。图17比较了该截面进气边的设计轮廓、锻造轮廓、重构轮廓和光顺后的轮廓。可以看出，尽管精锻叶片的厚度大于设计模型，几何重构的光顺轮廓依然位于毛坯余量中，并与设计轮廓相似。

根据上述算法重构的进/排气边轮廓，自适应规划加工刀位轨迹，如图18所示。在五坐标数控加工中心完成精锻叶片的数控加工，如图19所示。图20可以看出精锻叶片叶身型面被精锻成型，不需要加工。而进/排气边部分的锻造余量已经被去除。

为了评价实验结果，将加工后的精锻叶片在三坐标测量机(Brown & Sharp 121510)上进行检测，并使用叶片专用评价软件(BLADE)对检测数据进行分析。检测结果如图21所示，标注的两个线框分别描述加工后的进/排气边厚度偏差和轮廓度偏差，其检测结果均满足设计公差要求。需要说明的是，对于叶身部分的局部超差，与叶片毛坯质量有关，配准过程中存在超差点。该部分不需要进行数控加工，不是本文所关注的问题。

4 结 论

1) 建立基于公差约束的配准算法目标函数，并采用PSO算法对配准结果进行优化，提高了测量数据与设计模型的配准精度。

2) 提出基于叶片变形趋势延拓的几何重构算法，预测出了进/排气边数据缺失部分的几何轮廓。

3) 建立多约束条件下的几何重构目标函数，光顺重构出了轮廓曲线且满足几何相似性要求。在此基础上，完成自适应加工实验，检测结果满足设计公差要求。