考虑磁储能变化的PMSM饱和谐波模型

曹博书 ，宋 剑 ，陈 斌

（1.中国民航大学飞行技术学院，天津 300300；2.中国南方航空股份有限公司机务工程部，广州 510470）

永磁同步电机（PMSM，permanent magnet synchronous motor）体积小、重量轻、功率大，具有良好的短时过载性能，因此在舵机和操纵负荷系统等低速大扭矩领域具有广阔的应用前景[1]。但在重载情况下交直轴电感饱和，交直轴磁路之间产生耦合效应，磁路饱和磁阻增大导致永磁体退磁；同时，齿槽效应导致磁阻变化、改变磁场谐波分布及电机齿槽位置磁储能大小，使得经典的dq轴电机模型不能反映电机重载情况下的电磁转矩特性。因此，建立一种重载情况下考虑磁储能变化的饱和谐波模型，对研究脉动转矩特性，特别是不考虑温升效应的短时过载特性具有重要意义。

目前，电机饱和模型的研究主要是利用冻结磁导率法，在冻结电机某一运行状态的铁心磁导率和磁场分布前提下，分别计算转子永磁体、交直轴电流单独作用时的磁场。由此计算出对应的电感值，该方法虽然能较为准确地提取交直轴饱和自感和互感参数，但没有考虑磁路饱和磁阻增大对永磁体的影响。作为永磁电机的重要参数，永磁体随着磁路磁阻增大而退磁，即永磁体等效激磁电流随磁路饱和而减小，同时由于饱和时交直轴之间存在耦合效应，重载时永磁体在交直轴均激发磁场，因此饱和情况下还存在交轴等效激磁电流[2-5]。文献[6-7]考虑了交直轴饱和电感和永磁体磁场谐波，但为了简化模型忽略了定子绕组磁场谐波，实际上电机重载时定子绕组磁场谐波对转矩谐波的影响远大于永磁体磁场谐波对转矩谐波的影响。

根据电磁能量转换原理，考虑磁饱和、永磁退磁与定子绕组磁场谐波效应，推导完善考虑磁储能变化的反电动势和电磁转矩谐波计算公式。以一台内埋式永磁同步电机为例，利用有限元法，提取不同交直轴电流情况下的电磁参数，在Matlab仿真平台建立电机数学模型并导入相关参数。通过仿真实验与有限元分析对比，证明该模型提高了电机在重载情况下反电动势和转矩的谐波特性模拟程度。

1 磁储能变化的PMSM饱和谐波模型推导

考虑谐波效应的PMSM定子侧电机磁链模型为

虽然齿槽效应为气隙磁导率周期变化导致的电感谐波，但为了便于公式推导，将气隙磁链谐波分量单独设为一项。由此，式（1）中：LABC0为三相绕组电感基波分量矩阵；IABC、ψf0ABC和ψk分别为定子电流矢量、永磁体磁链基波在三相绕组的分量和k次磁链谐波幅值，其中 k=2n+1，n=1，2，…；θe为转子电角度。由于齿槽位置磁阻差异较大，且随着交直轴电流不同，合成磁场相位也会偏离转子永磁体基波磁场相位，因此，不能简单地认为谐波磁链和永磁体转子的基波磁场具有相同相位。定义θk0反映k次谐波磁链偏离转子永磁体位置的情况，磁链谐波是转子永磁材料和定子电流共同作用的结果，定子电流不同，θk0值不同。

对式（1）进行dq变换，得到转子侧磁链模型为

其中：n=1，2，…，由于式（1）中 k 为3 的倍数的磁链谐波dq变换后为0，因此转子侧磁链谐波为奇次谐波且不含有3n次谐波。ifdq为永磁体等效交直轴激磁电流，随着饱和程度加深，直轴等效激磁电流ifd将减小。

式（2）中，转子侧交直轴电感基波分量为

根据电磁转换原理，反电势计算公式为

对其进行dq变换，得到转子侧反电势为

其中：ωe为转子电角速度，将式（2）代入式（4）得

由虚位移法可知，电磁转矩和输入电能与磁储能变化关系为

式（6）中，等式左侧为输出的机械能，等式右侧左部为输入电能，中部为绕组电阻消耗的电能，右部为电机磁储能的微分量，Wm表示磁储能。文献[7]所介绍的传统谐波模型中忽略了磁储能微分量对转矩的影响，导致计算转矩谐波值偏大，特别是磁路严重饱和的情况下，远大于有限元分析的转矩谐波情况。

忽略磁滞损耗和涡流损耗等效电流对转矩的影响，按照最简单积分路径方法计算磁储能微分量，先将转子置于指定位置，然后再施加永磁体等效激磁电流和定子绕组电流，则任意位置磁储能为

磁储能对转子位置的微分量为

根据电流和磁链的关系，式（7）可转化为

将式（2）、式（3）、式（8）代入式（6），得到考虑磁储能变化的电磁转矩计算式为

式（9）中，第1部分为考虑了磁饱和及永磁体退磁的电磁转矩基波分量，第2部分为不考虑磁储能变化的转矩谐波分量，第3部分为磁储能变化对电磁转矩的影响。

2 PMSM参数提取方法

在不考虑磁滞损耗和涡流损耗的情况下，磁场谐波频相主要与电流有关，与转速无关，使电机保持在恒定转速，利用冻结磁导率法提取不同电流转速下的三相电感曲线，并进行dq变换。由于不同齿槽位置的电感参数不同，得到包含谐波分量的交直轴电感曲线，对其进行傅里叶变换，得到电感参数基波值，即交直轴自感和互感参数基波曲线。

同理可得交直轴磁场基波参数曲线，等效交直轴激磁电流基波值为

谐波磁场的提取方法为：对A相绕组磁场进行傅里叶变换，得到各奇次谐波的幅值ψk和各次谐波超前于转子的角度θ0k。

在Matlab/Simulink仿真平台下，将有限元法提取的不同交直轴电流对应的电感、永磁体等效激磁电流和谐波磁场幅值相位参数导入到lookup table查表模块，通过线性插值法得到不同交直轴电流对应的电机电磁参数。

设定转子初始位置、初始交直轴电流，查表得到交直轴磁链基波和谐波的幅值相位，通过式（5）计算电机反电势，根据式（9）计算电机电磁转矩。

3 仿真验证

利用有限元软件ANSYS EM对一台给定的IPMSM进行电磁分析，采用ANSYS EM材料库中的标准材料，提取交直轴电感、等效激磁电流和谐波磁场的幅值相位情况，电机参数如表1所示。

表1 永磁同步电机样机参数表Tab.1PMSM parameters

利用冻结磁导率法提取的交直轴自感及互感基波分量如图1～图3所示。

图1 直轴电感Ld与交直轴电流id和iq的关系Fig.1 Relationship between Ld,idand iq

图2 交轴电感Lq与交直轴电流id和iq的关系Fig.2 Relationship between Lq,idand iq

图3 互感Ldq与交直轴电流id和iq的关系Fig.3 Relationship between Ldq,idand iq

由于交轴没有永磁体，不涉及退磁问题，交轴电流激发磁场的能力与交轴电流大小有关，与方向无关，因此只分析iq＞0的情况。

通过图1可知，随着id增大，有限元分析得出Ld增大，与传统的磁路饱和理论不符。这是因为传统电机模型使用线性永磁材料，永磁体不退磁的情况下，磁导率不变。为了更好地反映实际情况，选用ANSYS EM默认材料库中的非线性永磁材料NdFe35，随着磁路饱和，永磁体等效激磁电流ifd0减小，永磁材料退磁，永磁体磁导率增大，如图4所示。由于直轴等效磁路中永磁体和铁芯串联形成，因此随着id增大，冻结磁导率法计算出的直轴电感Ld仍然增大。但是随着iq增大，磁路趋于饱和，Ld随iq增大而减小。

图4 永磁体等效直轴激磁电流基波分量ifd0与交直轴电流id和iq的关系Fig.4 Relationship between equivalent d axis excitation current of permanent magnet ifd0and id,iq

如图5所示，当电机负载较轻、iq较小时，ifq0几乎为0，但随着电机负载增大、iq较大时，沿直轴摆放的永磁材料在交轴表现出了一定的抗磁性，即ifq0＜0。

图5 永磁体等效交轴激磁电流基波分量ifq0与交直轴电流id和iq的关系Fig.5 Relationship between equivalent q axis excitation current of permanent magnet ifq0and id,iq

各次谐波超前于转子的角度如图6～图9所示。为了简化模型，这里仅分析5次和7次磁场谐波幅值相位情况。

将有限元法提取的电感参数导入到Matlab仿真平台下搭建数模的lookuptable查表模块中，为了验证数模谐波特性的模拟程度，使电机保持在特定转速，在重载条件下对比考虑磁储能变化的饱和谐波模型、文献[6-7]所述只考虑转子磁场谐波的饱和模型和有限元仿真结果之间的差异。磁链、电压及电磁转矩对比结果如图10～图12所示。

图6 5次谐波磁链幅值ψ5与交直轴电流id和iq的关系Fig.6 Relationship between 5-harmonic magnetic chain amplitude ψ5and id,iq

图7 5次谐波磁链超前转子电角度θ05与交直轴电流id和iq的关系Fig.7 Relationship between 5-harmonic magnetic chain phase θ05and id,iq

图8 7次谐波磁链幅值ψ7与交直轴电流id和iq的关系Fig.8 Relationship between 7-harmonic magnetic chain amplitude ψ7and id,iq

图9 7次谐波磁链超前转子电角度θ07与交直轴电流id和iq的关系Fig.9 Relationship between 7-harmonic magnetic chain phase θ07and id,iq

模型虽考虑了定子电流对谐波磁链的影响，但反电势和磁链的建模方法与文献[6-7]介绍的方法并无区别，因此图10～图12中磁链和反电势模型统称为谐波模型。由图10～图12可知，谐波模型和有限元分析的交直轴反电势基波与6次谐波幅值、电磁转矩基波分量幅值、交直轴磁链6次谐波幅值基本一致。

图10 id=0 A、iq=50 A时磁链、反电动势及电磁转矩谐波幅值对比Fig.10 Magnetic chain,anti-electromotive force and electromagnetic torque harmonic amplitude comparison when id=0 A,iq=50 A

图11 id=50 A、iq=50 A时磁链、反电动势及电磁转矩谐波幅值对比Fig.11 Magnetic chain,anti-electromotive force and electromagnetic torque harmonic amplitude comparison when id=50 A,iq=50 A

图12 id=40 A、iq=30 A时磁链、反电动势及电磁转矩谐波幅值对比Fig.12 Magnetic chain,anti-electromotive force and electromagnetic torque harmonic amplitude comparison when id=40 A,iq=30 A

在电磁转矩谐波方面可发现，随着交直轴电流增大，电机饱和程度加深，磁储能变化产生的转矩谐波幅值增大，文献[6-7]介绍的未考虑磁储能变化的饱和谐波模型6次转矩谐波与有限元分析结果差异很大，而考虑磁储能变化的谐波模型与有限元分析结果非常接近，不同重载条件下6次转矩谐波对比如表2所示。

通过对比可以发现，在饱和程度最深的id=iq=50 A情况下，未考虑磁储能变化模型的转矩谐波幅值是有限元分析结果的11倍，而考虑磁储能变化的模型只是有限元分析结果的2.2倍；当id=0 A、iq=50 A时，未考虑磁储能变化模型的转矩谐波幅值是有限元分析结果的1.8倍，而考虑磁储能变化的模型只比有限元分析结果高3%；当id=40 A、iq=30 A时，未考虑磁储能变化模型的转矩谐波幅值是有限元分析结果的14.8倍，而考虑磁储能变化的模型只比有限元分析结果高66%。不同交直轴电流下的对比表明，该模型大幅度提升了重载情况下转矩谐波的模拟程度。

表2 未考虑磁储能变化、考虑磁储能变化及有限元法分析的电磁转矩6次谐波幅值对比Tab.2 6-torque-harmonic amplitude comparison with/without magnetic energy storage change vs FEM results

4 结语

研究了磁储能变化对转矩谐波的影响，完善了电磁转矩的计算公式及数学模型。通过有限元分析法，提取了饱和电感曲线、等效激磁电流曲线和磁场谐波幅值相位曲线。在Matlab仿真平台上建模，与传统的饱和谐波模型对比，并与有限元分析结果进行比较研究。结果表明，考虑磁储能变化的饱和谐波电机数学模型能够更准确地反映饱和情况下电机电磁转矩的谐波特性，为电机重载控制，特别是不考虑温升对电磁参数影响的短时重载控制提供了更加准确的理论依据。