对抛物线切线相关的共点圆的探究*

广东省佛山市乐从中学(528315)林国红

抛物线是高中数学的重要内容之一,特别是直线与抛物线相切的题型,因其内涵丰富,变化多,解题的灵活性大,已成为高考中的重要考点,倍受命题者所推崇.本文对一道与抛物线的切线相关的高三模考题进行探究,并对题目的问题进行一般化的推广,与读者分享.

一、原题呈现与解答

过点A(-2,3)作抛物线y2=4x的两条切线l1,l2,设l1,l2与y轴分别交于点B,C,则△ABC的外接圆方程为()

A.x2+y2-3x-4=0

B.x2+y2-2x-3y+1=0

C.x2+y2+x-3y-2=0

D.x2+y2-3x-2y+1=0

考虑到本题与抛物线的切线有关,可以用抛物线的切线方程与切点弦方程来解决.

引理1过抛物线y2=2px(p＞0)上一点M(x0,y0)的切线的方程为y0y=p(x+x0).

引理2设抛物线外一点M(x0,y0)作抛物线y2=2px(p＞0)的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为y0y=p(x+x0).

解设切线l1,l2分别切于点M(x1,y1),N(x2,y2),l1,l2与y轴分别交于点B,C.由引理2,可得切点弦MN的方程3y=2(x-2),联立消去x可得y2-6y-8=0,由韦达定理,有又由引理1可得切线l1的方程为y1y2=2(x1+x2),令x=0,有

设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令x=0,得到y2+Ey+F=0,则是此方程的两个根,于是有

解得D=1,E=-3,F=-2.所以△ABC的外接圆方程为x2+y2+x-3y-2=0,故选C.

图1

图2

图3

二、探究(1)

在解决问题的过程中,发现点F在△ABC的外接圆上,且AF为外接圆的直径(如图1),是数据凑巧?还是具有一般性呢?利用数学软件GeoGebra,发现变换点A的位置时,A,B,C,F四点共圆,且圆的直径仍为AF(如图2),也就是说上述题目可推广.

定理1设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,过抛物线外一点A(x0,y0)作抛物线的两条切线l1,l2,若l1,l2与y轴分别交于点B,C,则A,B,C,F四点共圆,且此圆的直径为|AF|.

证明当点A在y轴上时(如图3),A,B重合,切点N与C及坐标原点重合,此时结论明显成立.

当点A不在y轴上时(如图2),设切线l1,l2分别切于点M(x1,y1),N(x2,y2),l1,l2与y轴分别交于点B,C.由引理2,可得切点弦MN的方程y0y=p(x+x0),联立消去x可得y2-2y0y+2px0=0,由韦达定理,有又由引理1可得切线l1的方程为y1y2=2(x1+x2),令x=0,有y=所以

设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令x=0,得到y2+Ey+F=0,则是此方程的两个根,于是有

三、探究(2)

利用GeoGebra进一步探究,发现了更一般的性质：

定理2已知抛物线焦点为F,抛物线的三条切线围成△ABC,则A,B,C,F四点共圆(如图4).

图4

图5

本定理可用解析法来证明,但过程较为繁琐,运算量大,考虑到问题与抛物线的切线有关,可以用抛物线的光学性质来证明.

先给出抛物线的光学性质及一个引理：

抛物线的光学性质从抛物线的焦点处发出的光线照射到抛物线上,经抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的轴,且经过反射点的镜面所在的直线为抛物线的切线.

引理3已知抛物线的焦点为F,过抛物线外的一点A作抛物线的两条切线,切点分别为M,N,则有(1)∠FAM=∠FNA;(2)△FAM∽△FNA.

证明当A与抛物线在其准线f异侧时,如图5所示.过M,N作准线f的垂线,垂足分别为U,G,AM与AN分别交准线于I,K,连结AU,AG.由抛物线的光学性质,可知AM是∠FMU的角平分线,由抛物线的定义有MF=MU,所以有△AMU∼=△AMF,于是AU=AF且 ∠AFM=∠AUM,同理有△ANG∼=△ANF,于是AG=AF且∠AFN=∠AGN,所以有AU=AG,即得∠AUG=∠AGU,而∠AUM=∠AUG+90°,∠AGN=∠AGU+90°,所以∠AUM=∠AGN=∠AFM=∠AFN.在△AUG中,∠AUG+∠AGU+∠UAM+∠FAM+∠GAN+∠FAN=180°,由△AMU∼=△AMF,得∠UAM=∠FAM;由△ANG∼=△ANF,得 ∠GAN=∠FAN.所以 ∠AGU+∠GAN+∠FAM=90°,即∠GKN+∠FAM=90°,而 ∠GNK+∠GKN=90°,故 ∠FAM=∠GNK,又有 ∠GNK=∠FNA.所以∠FAM=∠FNA,于是△FAM∽△FNA.

当A与抛物线在其准线同侧时可类似地证明;A在准线上时显然是成立的.所以命题得证.

评注①由引理3,易知∠FAN=∠FMA.

②引理3的证明,实际上已经证明了2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛题：过抛物线y2=2px(p＞0)外一点P向抛物线作两条切线,切点为M,N,F为抛物线的焦点.证明：(1)|PF|2=|MF|·|NF|;(2)∠PMF=∠FPN.

图6

图7

利用引理3,是很容易证明定理2的,证明过程如下.

证明如图6.设抛物线的三条切线分别为AM,AN,BC;三个切点分别为M,N,P,连结FA,FB,FC,FM,FN,FP.因为AM,AN是抛物线的两条切线,由引理3,得∠FAN=∠AMF;因为BM,BC是抛物线的两条切线,由引理3,得∠FBP=∠AMF;所以有∠FAN=∠FBP,即得A,B,C,F四点共圆.

由定理2,还可以得到其推论：

定理2的推论已知抛物线焦点为F,抛物线的三条切线围成△ABC,若BC与抛物线相切于抛物线的顶点,则AF是△ABC外接圆的直径.

证明如图7,设抛物线的三条切线分别为AM,AN,BC;三个切点分别为M,N,P,且P是抛物线的顶点,连结FA,FB,FC,FM,FN,FP.由定理2,有A,B,C,F四点共圆.因为BM,BC是抛物线的两条切线,由引理3,得∠FBM=∠FPB,又因为BC与抛物线相切于抛物线的顶点P,得 ∠FPB=90°,所以有∠FBM=90°=∠FBA.即AF是△ABC外接圆的直径.

评注原题及定理1其实就是定理2的推论.

四、探究的启示

数学家波利亚曾说：“解题就象采蘑菇一样,当我们发现一个蘑菇时,它的周围可能有一个蘑菇圈.”所以教师在教学过程中要重视“研究”,对数学研究的实践与体验,能够在教学中提出问题,找到问题的关键.

教师以研究者的思维与逻辑组织教学,学生在学习过程中也将收获“研究”,从而使学生对解决数学问题的思维方法的一般性有更清晰的理解与掌握,养成对数学结论背后逻辑关系的分析与思考习惯.

同时应该明白,问题探究的直接目的是为了寻求问题的解答,但是寻求解答却不是问题探究的唯一目的.数学解题是思维的训练,教师要多动脑筋,引导学生探研题目的一题多解,多题一解,并从中体会数学问题的探研方式与方法.使学生在掌握数学技能的同时,感受数学本质,从而积累良好的数学思维和实践经验,形成和发展数学核心素养.

解析几何题型一直是高考的必考内容,其解答过程中往往伴有较大的运算,以致于学生害怕解析几何的考题.其实解析几何问题本质是几何问题,它们本身就包含一些重要的几何性质,例如圆锥曲线的定义及其光学性质本身就是极其重要的几何性质.如果我们可以充分利用这些几何性质,往往可以避开繁琐的代数运算,使解决问题的过程得到简化,而且解法简洁优美,更好地揭示这些问题的几何本质.因此对于解析几何问题,要紧扣其中关键几何要素,将解析法与平面几何方法相结合,从而得到解决问题的最优解法,这不仅是解决解析几何问题的法宝,还是减少解析几何运算量的法宝,同时可以更好地提高解题能力.