一个圆锥曲线统一结论的新证及应用

安徽省滁州中学(239000)张晓建

一、问题引进

(1)求双曲线C的方程;

(2)过C上一点P(x0,y0)(y0/=0)的直线l:y0y=1(a＞0)与直线AF相交于点M,与直线相交于点N.证明：当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.答案：(1)

评析本题是2014年江西省高考理科试题.对于此题我们可以发现直线l为双曲线在其上某点的切线,AF为过双曲线焦点且与y轴垂直的直线,为该双曲线的准线,最后的答案恰好是双曲线的离心率e.那么,是否对于相关曲线具有一般性呢?

二、问题的推广—-三个定理

由于椭圆,抛物线和双曲线可以看作与无穷远处分别有零个,一个,两个交点,又双曲线,椭圆各有唯一的中心且为有穷原点,而抛物线的中心为无穷远点.由此,这三种曲线存在如下规律：

命题1椭圆的两焦点连线先演变成抛物线上自焦点出发的射线(中心O由有穷原点演变成右无穷远点),继而演变成双曲线轴上自焦点出发的两条无重合的射线(中心又由无穷远点演变成左边有穷远点);

命题2椭圆内部含焦点区域(或外部不含焦点区域)先演变成抛物线的右侧含焦点区域(或左侧不含焦点的外部区域),继而演变成双曲线左右两支含焦点的内部区域(或左右两支中间不含焦点的外接区域)[1].

通过互变规律,我们可以得到对于问题1的答案,在此引申为如下的：

定理1点P(x0,y0)(y0/=0)是椭圆C:1(a＞b＞0)上的任意一点,F为右焦点,AF⊥x轴,直线l是过P的椭圆的切线,若直线l与直线AF相交于点M,与直线相交于点N,则恒为定值,此定值为e(e为离心率).

定理2点P(x0,y0)(y0/=0)是双曲线C:1(a＞b＞0)上的任意一点,F为右焦点,AF⊥x轴,直线l是过P的双曲线的切线,若直线l与直线AF相交于点M,与直线相交于点N,则恒为定值,此定值为e(e为离心率).

定理3点P(x0,y0)(y0/=0)是抛物线C:y2=2px(p＞0)上的任意一点,F为焦点,AF⊥x轴,直线l是过P的抛物线的切线,若直线l与直线AF相交于点M,与直线相交于点N,则恒为定值,此定值为1(1为离心率)[2].

三、统一方程下的证明

对于以上三个定理,我们可以分别从椭圆,双曲线,抛物线的标准方程逐一证明.而一一证明存在着诸多不便,且较为繁琐.结合圆锥曲线统一方程,对此我们想到了可以从统一方程角度证明圆锥曲线的统一性质：点P(x0,y0)(y0/=0)是圆锥曲线上的任意一点,F为焦点,AF⊥x轴,直线l是过P的圆锥曲线的切线,若直线l与直线AF相交于点M,与该焦点对应的准线相交于点N,则恒为定值,此定值为e(e为离心率).

证明圆锥曲线的统一方程：

P(x0,y0)为圆锥曲线上一点,则在P点处的切线方程为

②中令x=0,则

所以

②中令x=-p,则

所以

又由①可得：

故

代入③中可得：

四、圆锥曲线统一方程在解决解析几何中的应用

问题1椭圆E:=1(a＞b＞0)的左焦点为点F1,右焦点为点F2,离心率过点F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.

图1

(I)求椭圆E的方程;

(II)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

现用圆锥曲线统一方程可证明如下：

取过焦点F,且与准线l(与焦点F相对应的)垂直的直线为x轴,点F(O)为坐标原点,建立直角坐标系.设P(x0,y0),椭圆的方程为：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0,则切线PQ的方程为：

把直线x=-p代入①可得：结合F(0,0),故所以以PQ为直径的圆恒过该准线对应的焦点.

问题2如图2,已知P是过椭圆0)左准线与x轴的交点M的弦AB在两端点处的切线的交点,线段AB的中点为C,F为椭圆的左焦点,则

(I)PF⊥x轴;

(II)kPO·kAB为定值.

图2

图3

解(I)如图3,取过焦点F,且与准线l垂直的直线为x轴,点F为坐标原点,建立直角坐标系设P(x0,y0),椭圆的方程为：

则直线AB的方程为：

由题直线AB过点M(-p,0),代入直线方程可得：

化简得到：x0=0,故PF⊥x轴.

(II)由P(0,y0),O(c,0),可得而为定值.(若化为a,b表达式即为

五、小结

圆锥曲线的统一方程：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0,其涉及参量为离心率和焦准距,故已知条件有焦点和焦点对应准线,此时用统一方程很方便通过对该结论在统一方程下的证明(读者也可以从极坐标角度进行证明),相信读者也感受到了圆锥曲线的美丽与奥妙.希望通过此题,可以激发读者学习探索圆锥曲线奥秘的兴趣.