模型思想—绝对值三角不等式的运用

浙江省杭州第二中学钱江校区(312053)董泉发

浙江省从2018届新高一开始,增加人教版选修4—5《不等式选讲》中绝对值不等式一章作为必修内容.近几年,浙江省高考数学关于绝对值函数,绝对值不等式的考察力度有所加强,例如2015年浙江卷理科第14题,第15题,第18题,2015年浙江卷文科第8题,第14题;2015年浙江省高中数学学考第34题,2014年浙江卷理科第8题,第10题,第22题;2014年浙江省高中数学学考第3题;2013年浙江卷理科第17题,第22题等.16年浙江卷尤其是理科试卷浓墨重彩地考察了绝对值不等式,特别是绝对值三角不等式的性质,例如理科第8、15、18、20题;文科第15题.这些题都是处在压轴题位置,要求学生具有较高的思维能力.

下面笔者就结合这些题来谈一下绝对值三角不等式的教学,笔者认为这些题具有非常好的教学价值.

2016年高考数学浙江卷文科第15题已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是____.

分析与解由绝对值不等式性质可知：

试题点评本题以向量为背景,主要考察了绝对值三角不等式的性质：||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|,其中等号成立的条件满足

学生做这道题可能有几种思路：第一,可能会从几何角度思考,即考察代数式的几何意义;第二,可能会考虑平方(因为平方也是去绝对值的一种方法);第三,就是考虑运用绝对值三角不等式的性质放缩.

笔者认为,本题最佳做法是运用绝对值三角不等式的性质.学生可能会想,绝对值三角不等式并没有给出形如|x|+|y|的代数式的上限啊,利用绝对值三角不等式如何估计|a·e|+|b·e|的最大值呢?实际不然,正如上述解法,只要考虑绝对值三角不等式等号成立的条件就可破题.

教学启示在平时的教学中,笔者认为教师应该多引导学生关注绝对值三角不等式中两个等号成立的条件.

2016年高考数学浙江卷理科第15题已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤ √则a·b的最大值是____.

分析与解易知|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤由e的任意性可知,|b+a|≤即a2+2a·b+b2≤6,从而易知a·b的最大值为-

试题点评笔者认为,本题较文科15题而言,学生应该更容易想到用绝对值三角不等式性质破题,正如上述解法,利用绝对值三角不等式性质很容易就得到一个必要条件：走到这一步之后,接下来就没有太大的思维障碍了.

教学启示笔者曾经做过实验,把这道题拿给高一的学生做,因为高一学生刚刚学了绝对值三角不等式,再加上笔者在平时的教学过程中,经常跟学生讲,学数学讲究联想,解题要有一定的联想能力,看到眼前的式子,你能联想到什么?有时候,这是很重要的.如果学生平时联想力训练足够的话,那么就本题而言,当学生看到式子自然联想到绝对值三角不等式模型了,这是不困难的.

笔者认为,在平时的教学中,如果我们教师经常让学生做这种联想训练,用联系的观点看问题,久而久之,学生自然会思路开阔,爱因斯坦曾经说过,想象力比知识更重要.

2016年高考数学浙江卷理科第8题已知实数a,b,c.

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2＜100.

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2＜100.

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2＜100.

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2＜100.

分析与解A错,例如取a=b=10,c=-(a+b2)=-110;B错,例如取a=10,b=-a2=-100,c=0;C错,例如取a=-b=10,c=0;D对,可作如下考虑：由|a2+a+b+b2|≤|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1得从而a,b∈(-2,1).由|c|-|a2+b|≤|a2+b+c|≤|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1得|c|≤1+|a2+b|≤1+a2+|b|≤7.从而

试题点评本题作为选择题的压轴题其思维含量是比较高的,因为本题初看上去,四个选项差不多,破此题就需要学生有较好的代数感觉能力.学生先不要急着算,稍微多想会儿,还是很容易找到此题的“破绽”的.四个选项中的条件表面上差不多,实际不然.就结构而言,A选项中变量a与b是对称的,即它们在整个代数式中的地位是一样的,所以应赋相同的值;B选项和C选项条件中表面上有三个变量,实际上只有两个变量,因为a2+b和a+b可以看成整体;而D选项则不同,它的结构较复杂,变量a,b,c是相互制约的.从这个角度考虑的话,正如笔者上述解法很容易举反例排除选项A,B,C,这符合浙江省高考数学命题组组长、浙江大学金蒙伟教授讲的,“多想一想,少算一算”的命题思想.当然,D项的正确性的推导也是绝对值三角不等式教学的很好的素材.

教学启示在平时的教学中,笔者认为应该多向学生灌输这种“多想一想,少算一算”的解题策略,先设计好算法,然后再算.

2016年高考数学浙江卷理科第20题设数列{an}满足

(I)求证：|an|≥2n-1(|a1|-2)(n∈N∗);

分析与解(I)由绝对值三角不等式性质可知,|an|-从而|an+1|≥2|an|-2,即|an+1|-2≥2(|an-2|),所以|an|≥|an|-2≥2(|an-1|-2)≥...≥2n-1(|a1|-2).

(II)反证法.假设存在m∈N∗,使得|am|＞2.由(I)可知,当n＞m时,|an|≥2n-m(|am|-2),而当n＞时,|an|≥2n-m(|am|-∀x∈N∗矛盾.

试题点评这道数列不等式题题干简洁、思想深刻,让人有“情理之中、意料之外”之感,体现了命题者的独具匠心.这些试题为考生搭建了良好的区分平台,凸显了试卷的选拔功能.就本题第1问而言,方法较多,学生上手不难,例如可以直接利用绝对值三角不等式放缩,也可以先去绝对值再放缩.至于第2问,笔者认为这是本题的创新之处,有“意料之外”之感,为什么这么说呢?因为本题正面证明是很困难的,需要从反面考虑,即采用反证法.而在高中阶段,反证法是讲的非常少的,教科书中也只有人教版必修2立体几何中有关线面、面面平行与垂直的性质定理的证明涉及到了反证法,但是定理的证明通常会被教师和学生忽略.本题第2问有浓厚的大学数学分析的味道,无论是题目的叙述语言,还是证明语言都很接近大学数学分析的语言风格,而反证法在大学数学里是经常出现的.所以笔者认为,这道题很好地衔接了高中数学与大学数学.

教学启示鉴于以上分析,笔者认为,在平时的教学中,教师应该多训练一下学生的反面思维能力,反面思维和正面思维同等重要,同一个事物从正反两方面去看,这也是辩证法的观点.本题就是一个非常好的反面思维能力训练素材.

2015年高考数学浙江卷理科第14题若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是____.

解析注意到目标函数是两个绝对值之和,故联想到绝对值三角不等式进行放缩：当且仅当数时,等号成立.

注当x2+y2≤1时,由三角代换合一变形可知3x+4y≤5,故|8-(3x+4y)|=8-(3x+4y).

试题点评本题如上解法利用绝对值三角不等式放缩较为简单;若采用规划知识来处理,则首先要去掉目标函数中的两个绝对值,观察力好的话,可以注意到|6-x-3y|=6-x-3y,因为x+3y而|2x+y-2|的绝对值要去掉,则要分类讨论.

试题综评这些试题背景熟悉、设问新颖、内涵丰富、方法多样.

2015年高考数学浙江卷理科第18题已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.

(1)证明：当|a|≥2时,M(a,b)≥2;

(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.

解析(1)当|a|≥2时,易知f(x)在[-1,1]上单调,从而