生活中的几何问题

文 /王华军

数学来源于生活，又服务于生活.下面以中考题为例，把生活中的几何问题归类如下，供你复习时参考.

一、解释现象

例1某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图1），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）

A．两点之间线段最短.

B．两点确定一条直线.

C．垂线段最短.

D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

解析：剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，实质上就是剪掉的叶片两端点之间，线段的长度小，依据是“两点之间线段最短”.选A.

温馨小提示：“两点之间线段最短”用于缩短路程；“两点确定一条直线”用于“直”但不涉及到“长短”；“垂线段最短”适应于比较线段的大小．

图1

二、平行管道的对接

例2如图2所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（ ）

A.120°. B.100°. C.80°. D.60°.

图2

解析：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，因此，另一侧铺设的角度大小为180°-120°=60°.选D．

温馨小提示：这里应用平行线的性质，解决了铺设平行管道中的对接问题，体现了数学的应用价值.

三、生活中的对称图案

例3如图3，下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）

图3

解析：只有B图形是中心对称图形.选B．

温馨小提示：判断一个图形是否是中心对称图形，关键是看在平面内能否找到一个点，把图形绕着这个点旋转180°，旋转后的图形是否能与原来的图形重合．

四、小巷的宽度

例4如图4，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）

A．0.7米. B．1.5米. C．2.2米. D．2.4米.

解析：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，

∴AB2=0.72+2.42=6.25．

在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，

∴BD2+A′D2=A′B′2，

∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，

∴BD=1.5（米），

∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2（米）．选C．

温馨小提示：将勾股定理与方程结合是解几何题的常用方法，是数形结合思想的应用．

图4

五、景点的位置

例5如图5是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是_____．

解析：如图5，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AC.

∵A（400，300），∴OD=400m，AD=300m.

∵AD⊥OD，CB⊥OB，∴∠ODA=∠ABC=90°．

∵AB=300m，BC=400m，由勾股定理得AC=500m．

在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，

∴△AOD≌△ACB，∴∠CAB=∠OAD，AO=AC.

∵点B，A，O在一条直线上，∴点C，A，D也在一条直线上，

∴AO=AC=500m，∴CD=AC+AD=800m，∴C点坐标为（400，800）．

温馨小提示：将实际问题转化为数学问题是解题的关键．若是解答题，要谨防默认“点C，A，D在一条直线上”而出现的错误．

图5

六、工程质量的检验

例6如图6是某斜拉桥的剖面图.BC是桥面，AD是桥墩，设计大桥时工程师要求斜拉的钢绳AB等于AC.大桥建成后，工程技术人员要对大桥质量进行验收，由于桥墩AD很高，无法直接测量钢绳AB，AC的长度.请你用两种不同的方法检验AB，AC的长度是否相等．（检验工具为刻度尺；检验时，人只能在桥面上）

解析：测量一些数据后，可利用全等三角形证明AB=AC.

方法1：用刻度尺测量BD，CD的长度，若BD=CD，又AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC，AD是公共边，则△ABD≌△ACD，∴AB=AC.

方法2：如图6，在∠B的两边任取两点E，P，在∠C的两边取两点F，Q，使BE=CF，BP=CQ，再度量EP和FQ的长度，若EP=FQ，则AB=AC.

理由如下：在△BEP和△CFQ中，BE=CF，BP=CQ，EP=FQ，所以△BEP≌△CFQ，所以∠B=∠C，即AB=AC.

温馨小提示：利用等腰三角形的概念与判定方法，构造全等三角形，解决测量长度问题．

图6

七、行走的路程

例7如图7为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为______m．

解析：已知小敏行走的路程来求小聪行走的路程，就需要求出小聪行走的路程与小敏行走路程的关系.比较两人走的路线，小敏走的路程为AB+AG+GE=1500+（AG+GE）=3100，则AG+GE=1600m，小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF）.下面关键是要寻找AG+GE与DE+EF的关系，这样就把实际问题转化为数学问题.

连接CG.在正方形ABCD中，∠ADG=∠CDG=45°，AD=CD.

在△ADG和△CDG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△ADG≌△CDG，∴AG=CG.

又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，

∴四边形GECF是矩形，∴CG=EF.

∵∠CDG=45°，∴DE=GE，

∴小聪走的路程BA+AD+DE+EF=3000+（GE+AG）=3000+1600=4600（m）．

温馨小提示：本题比较复杂，经过分解转化，问题得到了简化，即寻找AG+GE与DE+EF的关系，将问题转化为证明两条线段相等，从而找到了解决问题的途径.

图7

八、几何体的表面积

例8如图8是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为_____．

解析：由三视图可知，几何体是由圆柱体和圆锥体构成的，

温馨小提示：判断几何体的形状、确定圆锥的底面直径和高是解题的关键.

图8

九、求热水器的支架长

例9某太阳能热水器的横截面示意图如图9所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．

（1）求支架CD的长；

（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）

解析：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，

（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm，

温馨小提示：本题主要考查解直角三角形的应用，将实际问题抽象为数学问题，构造直角三角形求解．

图9