分段函数大解密

杜红全

(甘肃省康县教育局教研室 746500)

分段函数是高考的一个重要的知识点，一般是一个选择题.对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系的函数，称为分段函数.不能认为它是几个函数，它只是一个函数的表达式，它由各段上的解析式(对应法则)用符号“{”合并成一个整体. 下面通过例题进行解析，以期达到抛砖引玉的作用.

一、求分段函数的定义域与值域

解析函数f(x)的定义域为{x|x≥1}∪{x|x<1}=R，因为y=log1/2x在(0，+∞)上是减函数，所以当x≥1时，log1/2x≤log1/21，即y=log1/2x≤0; 当x<1时，0<2x<21, 即0<2x<2.取并集得f(x)的值域为(-∞，2).故应分别填(-∞,+∞)，(-∞，2).

点评本题考查了分段函数的定义域和值域求法. 分段函数的定义域是各段定义域的并集，求分段函数的值域是将每一段上的函数分别求出值域，再取其并集即可.

二、画分段函数的图象

例2 画出函数f(x)=x2-2|x|+1的图象.

点评对含有绝对值的函数要作其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数化为分段函数来画图象.画分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分分别由表达式画出其图象，分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成,但要注意定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点(关键点)处的断开或连接，断开时要分清断开点处谁虚谁实.

三、求分段函数的值

点评本题考查了分段函数的求值、函数的周期性与奇偶性.根据函数的周期性与奇偶性转化为分段函数的求值问题，其关键是“分段归类”，即根据自变量取值范围不同，选取相应的表达式求解.

四、求分段函数中自变量的值

A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2

解析由题意知当a≤0时，f(a)=-a=4,此时解得a=-4.当a>0时，f(a)=a2=4,此时解得a=2.所以a=2或a=-4.

故选B.

点评若给出函数值求自变量，应根据每一段的解析式分别求解，但注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内.

五、求分段函数的最值

解析当x≤0时，y=2x+3≤3;当01时，y=-x+5<4.综上所述，函数f(x)的最大值为4.

故应填4.

点评本题考查了分段函数最值问题, 分段函数在相应自变量取值区间上的最值中最大者，是整个分段函数的最大值，最小者是整个分段函数的最小值.当然本题也可以画出分段函数的图象来求解.

六、根据分段函数解不等式

点评本题考查了分段函数、不等式组的解法. 根据分段函数解不等式关键是确定自变量的取值属于哪个区间段，再选相应的对应关系建立不等式，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因.

七、判断分段函数的奇偶性

解析(1)当x<0时，-x>0，f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x).

(2)当x>0时，-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-(-x2+2x-3)=-f(x).

可知对x≠0时，都有f(-x)=-f(x).

综上所述可知f(x)为奇函数.

点评对于分段函数的奇偶性的判断，须特别注意x与-x所满足的对应关系.分段函数的奇偶性的判断有时也可以通过函数的图象的对称性来判断.

八、求分段函数的解析式

点评求与分段函数有关的问题时，应依据自变量的取值范围，选择相应的解析式.

九、分段函数的应用

例9 某汽车以52km/h的速度从A地运行到260km处的B地，在B地停留1.5h后，再以65km/h的速度返回A地.试将汽车离开A地后行驶的路程s表示为时间t的函数.

解析因为260÷52=5(h)，260÷65=4(h)，所以，当0≤t≤5时，s=52t；当5

点评由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是要根据实际问题需要分成几类，就分成几段;特别注意除了考虑函数解析式自身的限制条件外，还应注意实际问题对自变量取值范围的限制.