让高中递推数列教学走向阳光地带

祁山国宝

(福建省莆田第八中学 351144)

递推数列问题是高考的重要考点之一，它是教学的一个重点，但又是学生感觉比较棘手的问题之一.对递推数列这一模块，在高中数学课堂教学中我们要怎么上好这一内容，才能既不让学生觉得枯燥，又能与我们当前的数学教学大纲倡导的主旨思想相融合.本文结合近年高考中递推数列出现的相关类型，浅谈一下怎么让现有高中递推数列的教学更快地走向阳光地带.

一、在递推数列教学中，指引学生感悟数学文化的内涵

例1 “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8,…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，则(1)S7=____；(2)若a2017=m,则S2015=____(用m表示).

解析(1)S7=1+1+2+3+5+8+13=33.

(2)∵Sn+2-Sn=an+2+an+1=an+3,

∴S2015-S2013=a2016,s2013-s2011=a2014,…,s3-s1=a4.

叠加可得，S2015-S1=a2016+a2014+a2016+…+a6+a4.

∵a2017=a2016+a2015=a2016+a2014+a2013=a2016+a2014+a2012+a2011=…=a2016+a2014+a2012+a2010+…+a4+a3=S2015-S1+a3

所以S2015=a2017+S1-a3=m+1-2=m-1.

点评本题将递推数列和数学文化相联系，弄懂数学文化中蕴含的数学本质是关键，先把数学文化中蕴含的数学关系式用式子S2015-S2013=a2016,S2013-S2011=a2014,…,S3-S1=a4表示出来，接着用累加法就可求解，这体现了知识间的关联性、思维的灵活性.

数学的发展史源远流长，每种数学问题的提出和最后的解决都有其历史的背景.数列教学中穿插数学史知识的传授，有利于学生对知识的来龙去脉在熟稔中学习.另外数学问题的提出往往有其实践的背景，或者是人民集体智慧的结晶，或者是某一时期特殊问题的解决之道，教师在课堂教学的过程中要努力挖掘现实问题的应用.学以致用，当学生认识到自己学习的数列知识在现实生活中确实能解决很多问题的时候，学习的欲望和学习的效果自然而然就出来了.

因此, 在递推数列的教学中，教师要有意识地把数学文化思想贯穿到平时的课堂教学中去，用数学文化的精髓去感化学生、影响学生，让学生能够沉浸在数学之美、数学之奥妙中，去学习数学、领悟数学，从而真正达到数学文化的育人功效，让学生优秀的数学习性得以塑造和提升.

二、在递推数列教学中，培养学生学会捕获新知的能力

解析∵函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1，2，

∴f(x)=ax2-3ax+2a.

则f′(x)=2ax-3a.

∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则an=2·2n-1=2n,故答案为：2n.

在现实课堂教学中, 遇到新定义型问题时，许多学生觉得困难重重，要么不理解题目提供的新定义内涵，要么不能选择恰当的方法进行运算等.因此，在递推数列的教学中，我们要有意识地培养学生学会迁移新知的能力，引导学生挖掘出对新定义类问题产生疑惑的原因，启发学生找出解决新定义型问题的真正途径，具有重要的现实意义.

三、在递推数列教学中，引导学生树立数学函数思想

例3 已知函数y=f(x)的定义域为(0，+)，当x>1时，f(x)>0，对任意的x，y∈(0，+)，f(x)+f(y)=f(x·y)成立，若数列{an}满足a1=f(1)，且f(an+1)=f(2an+1)(n∈N+)，则a2017的值为( ).

A．a2014-1 B．a2015-1 C．a2016-1 D．a2017-1

解析∵f(x)+f(y)=f(x·y),

∴f(1)+f(1)=f(1)，即f(1)=0，a1=f(1)=0.

∵f(x)+f(y)=f(x·y),

∴y=f(x)为增函数．

由an+1=2an+1，可得

an+1+1=2(an+1)，an+1=2n-1，an=2n-1-1.

综上a2017=22016-1．

数列中蕴含的函数思想，是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系.在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列，这样不仅能够引导学生通过多方面解决问题，而且对提高学生运用知识的能力也具有重要的意义.

因此，在递推数列问题的教学中，教师要有意识地树立学生的函数思想，教师要立足教材，挖掘出教材中蕴涵的函数思想，优化教学过程，在教学过程中适时渗透函数思想，让学生在学习递推数列问题的过程中，拓宽自己的函数思想与认知视角.

四、在递推数列教学中，启发学生形成转化与化归意识

例4 已知数列{an}的首项为a(a≠0)，前n项和为Sn，且Sn+1=tSn+a(t≠0且t≠1,n∈N*)，bn=Sn+1.若cn=2+b1+b2+…+bn，则使数列{cn}为等比数列的所有数对(a,t)为____．

解析当n=1时，由S2=tS1+a，解得a2=at.

当n≥2时，Sn=tSn-1+a,

∴Sn+1-Sn=t(Sn-Sn-1)，即an+1=tan.

又a1=a≠0,

∴an=atn-1.

∴cn=2+b1+b2+…+bn

故满足条件的数对是(1,2).

学习能力是学生寻找知识大门的钥匙，是学生实现终身学习必须掌握的一项技能.在教与学过程中，学生要是没有获得必要的学习能力，那么在求知过程中就会受到相应的阻碍.因此，在递推数列问题的教学中，教师要有意识地启发学生形成转化与化归意识，让学生在有意识地转化与化归中去获取新知、去提升能力.

总之，在当前高中数学课堂教学中，我们要改变过分注重理论和规律，改变只看重分数而不重视学生实际的教学态度，我们要在自己的课堂教学中将数学文化精髓、数学函数思想、挖掘新知和迁移新知能力潜移默化地渗透进、贯彻到平时的课堂教学中去，让学生真正体会到数学蕴含的内在应用价值，从而激发出学生学习数学的热情和动力，达到教育的最终目的，让我们的课堂教学更快地走向阳光地带.