两端都栽的植树问题中数学思想方法的渗透

钟雪梅

【摘要】本文以“两端都栽的植树问题”教学为例，阐述在解决问题过程中如何引导学生掌握化归思想、模型思想、一一对应思想和数形结合思想，充分体现数学思想方法在解决问题中的应用。

【关键词】植树问题 数学思想 数学方法

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）05A-0104-02

数学思想方法的教学不同于数学知识技能的教学，知识和技能是显性的、具体的，它的有效性是短暂的，而数学思想方法却是隐性的、抽象的知识系统，有效性是长期的，需要教师深入挖掘和提炼，并贯穿在教学过程中。本文以人教版五年级上册《数学广角—植树问题》为例，谈谈如何有效渗透数学思想方法。

一、在解决问题中渗透化归思想

化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易。化归思想在小学数学学习过程中运用比较广泛，牢固掌握和熟练运用这种思想方法理应成为学生的数学能力之一。在植树问题教学中，教师应设计前置学习任务单，让学生自主探究学习，在解决问题中经历化繁为简的整个过程，充分体现化归思想的重要地位。

（一）化繁为简。课前让学生观看一段微视频，了解总长、间距、间隔数、棵数四个关键词后，再利用10分钟时间完成前置学习任务单。在前置学习第一部分内容中，有学生得出了错误的结论。为了验证这个结果是错误的，教师设计了前置学习的第二部分内容，例题中总长100米数据较大，学生用线段图表示有困难，此时教师引导学生用比较数据来验证，也就是把总长换成是10米、20米或25米，让学生尝试用示意图或线段图来验证，并且从简单的事例中发现规律，然后运用找到的规律来解决原来总长是100米的问题，体现了化繁为简的数学思想。在教学中教师遵循了三不教原则：①四个关键词不教。因为课前学生通过观看微视频，对正确掌握四个关键词已经达到90%以上。②画线段图和间隔数、棵数不教。因为学生通过课堂上合作学习，互相纠错后已经掌握了这些画法。③只栽一端和在封闭图形上栽树的内容不教。因为结合农村学校实际，要在一节课的时间完成植树问题中的三个知识点对学生来说难度较大。因此，笔者只选择两端都栽的情况进行研究，让学生在经历知识形成的探究过程中体验化归思想、数学模型思想、数形结合思想、一一对应思想，并通过形式多样、由浅入深的习题多次强化关键知识点。下面是植树问题（两端都栽）的前测题：

植树问题（两端都栽）前测题

第一题：填一填。

1.同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽（ ）棵。

2.看图填一填。

总长是（ ），间距是（ ），

间隔数是（ ），棵数是（ ）。

第二题：把下面的表格补充完整。

在路的一側栽树（两端都栽）

（二）把生活问题转化成植树问题来解决。让学生了解生活中也有许多植树问题，比如队形队列、公交车站点、安装路灯等问题都可以转化成植树问题来解决。

二、在解决问题中建构数学模型思想

数学模型是数学知识与数学应用之间的桥梁，笔者认为，构建植树问题的数学模型的过程就是将数学知识应用于实际问题的过程。学生课前先通过前测题进行自主探究学习，然后围绕典型错误师生共同纠正，最后把教学的重心放在构建数学模型上。在教学过程中，笔者围绕下面两个核心问题让学生展开讨论：间隔数与棵数之间有什么关系？总长、间距和间隔数之间又有什么关系？

学生通过观察，有的发现“间隔数比棵数少1”，有的发现“棵数比间隔数多1”，还有的发现“间隔数+1=棵数”。那么，哪个才是正确的呢？接着笔者让学生观察总长、间距和间隔数三者之间又有什么关系？有的学生发现“总长÷间距=间隔数”，有的发现“间距×间隔数=总长”，还有的发现“总长÷间隔数=间距”。最后，笔者让学生在具体的情境中构建植树问题的模型，从而建立“一条线段两端都栽”这类植树问题的数学模型：总长÷间距=间隔数，间隔数+1=棵数。

为了巩固学生对数学模型的理解，并能够灵活运用这些数学模型解决一些生活中的问题，笔者设计了两道题目，适当拓展植树问题模型的逆向运用。

第一题是课堂检测题：

我能利用“间隔数+1=棵数”的规律填一填。

1.一排同学之间有7个间隔，这一排站了（ ）个同学。

7个间隔相当于植树问题的（ ），8个同学相当于求植树问题的（ ）。

2.工人叔叔在道路的一边安装路灯（两端都装），一共安装了21盏，从第1盏到最后1盏一共有（ ）个间隔。

21盏相当于植树问题的（ ），20个间隔相当于求植树问题的（ ）。

第二题是拓展提升题：

首先笔者出示了一道求总长的逆向思维题：园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6m种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后1棵的距离有多远？思考：6m相当于植树问题的（ ），36棵相当于植树问题的（ ），求“从第1棵到最后1棵的距离有多远”相当于求植树问题的（ ）。画出线段图，再列式计算。

然后再出示一道求间距的拓展提升的逆向思维题：在一条长4米的直线上，平均站着5位同学（两端都站）。每两位同学之间的距离是多少米？思考：4米相当于植树问题的（ ），5位同学相当于植树问题的（ ），求“每两位同学之间的距离是多少米？”相当于求植树问题的（ ）。画出线段图，再列式计算。

学生通过解答问题发现“间距×间隔数=总长”，还有的学生发现“总长÷间隔数=间距”，有效地训练了学生的逆向思维。

三、在解决问题中渗透数形结合思想

数形结合是充分利用“形”来把其中的数量关系具体直观地表示出来。在植树问题中，用线段图来帮助学生理解数量关系，使问题简单直观、易于理解和掌握。通过观察线段图以及表格中各个量之间的关系，由 引出“总长÷间距=间隔数，间隔数+1=棵数”的数量关系式，再由关系式引出算式“10÷5=2，2+1=3”。把线段图、数量关系和算式紧密结合，数形巧妙相结合。

四、在解决问题中渗透一一对应思想

植树问题中，两端都栽是教学的重点，而这一教学内容的关键落脚点在于教师要密切关注学生对“间隔”概念的理解，进而解决植树问题的基础和起点。播放微视频，用一竖“|”代表一棵树，一横“—”代表间距5米，接着再种一棵树“|”，再间隔5米“—”用线段表示就是“”，每栽一棵树就间隔5米，因为两端都栽，因此终点还要栽上一棵树，所以就多出了最后的一棵树。这样，让学生通过观察微视频直观感受一一对应思想。

在植树问题教学中，让学生经历分析、理解、运用的全过程，在自主探究新知的过程中不但掌握了植树问题的显性知识，更重要的是让学生挖掘、提炼出“化归、数学模型、数形结合、一一对应”等隐性的数学思想，引导学生通过化繁为简，把复杂的植树问题转化成简单的植树问题，逐步发现隐藏于不同情境中的规律，充分体验数学思想方法在解决问题的应用。

（责编 林 剑）