有关初等对称函数的一个广泛定理

2018-08-17 09:35吴德昭吴牮
数学学习与研究 2018年12期
关键词:凸性不等式

吴德昭 吴牮

【摘要】本文实质性地推广了文献[4]中的一个结果,得到反映初等对称函数凸性的一个一般性定理.

【关键词】初等对称函数;不等式;凸性

初等对称函数与对称平均的课题开启于G.H.Hardy与J.E.Littlewood的名著[1].多年来,各国学者对初等对称函数精细性质的进一步探讨始终未停止过.早在20世紀50年代末期,M.Marcus、J.B.McLeod等就有过十分深入的研究[2]-[3].朱宗毅在文[4]中再度给出一个新颖的不等式,此不等式刻画了初等对称函数的凸性,笔者发现,此结果可以做一种实质性推广.

一个猜测:

若记

∑∞k=0T(k,s,n,a)xk=∏ni=1(1+aix)s,s>0,∏ni=1(1-aix)s,s<0,

其中T(k,s,n,a)与所谓的Whiteley平均值有关,文献[5]指出,对于T(k,s,n,a)有类似于(7)式的不等式

[T(k,s,n,a+b)]1k≥[T(k,s,n,a)]1k+[T(k,s,n,b)]1k(s>0).(8)

我们猜测,(8)式也可以做类似(6)式的非平凡拓广,完成证明可能需要克服复杂的初等运算带来的困扰.

【参考文献】

[1]哈代GH,李特伍德JE,波利亚G.不等式[M].北京:科学出版社,1965.

[2]Marcus M,Lopes L.Inequalities for Symmetric functions and Hermitian matrices[J].Canad.J.Math,1957(9):305-312.

[3]McLeod J B.On four inequalities in symmetric functions[J].Proc.Edinburgh Math.Soc.1959(11):211-219.

[4]朱宗毅.一个对称不等式的证明及其加强 [J].数学的实践与认识,1988(1):51-53.

[5]Mitrinovic D S,Vasic P M.分析不等式[M].赵汉宾,译.南宁:广西人民出版社,1986.

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