20以内数加减法的教材比较研究

王张妮

美国数学家哈尔莫斯指出“只有数学问题才是数学的心脏”。在数学课程中，课程内容和目标都可以并需要通过数学问题得以体现。某种意义上，它是教育者、学习者、教学内容三者之间有效沟通的桥梁，更是课程意志最直观的表达。因此通过对教材中所设计问题的研究，可以更好地探知教材的价值取向，开展自觉有效的教学实践活动。

一、研究对象

本研究选取人教版和浙教版教材中20以内数的运算部分进行比较研究。人教版教材普及面较广，浙教版教材颇具特色，两个版本的教材均广受关注。

二、研究框架

1.框架。

目前国际上的教材比较主流的有横向分析、纵向分析、背景分析等方法，鉴于三种分析方法都存在一定的优势与劣势，Charalambos Y.Charalambous等人曾经在研究中生动地刻画横向纵向交织的教材分析框架，对于本研究中关于人教版和浙教版两种版本的20以内数的运算的比较分析框架的建立而言，无疑具有参考价值。在本研究中，与原始文本中所涉及到的知识内容有一定差异，因此做出一定修正来比较两种教材所涉及的题目，尽可能更好地揭示教材的本质特征。

横向上，我们比较20以内数的运算所包括的知识序列。纵向上，则着重于每个问题所呈现的知识的广度和深度的探索，构建了任务多样性、认知水平、思维类型、作答方式等四个方面的比较。

2.编码。

在统计时需要对问题进行编码，编码方式举例如下：

案例 1：把 2、3、4、5、6、7、8 这七个数填在每个图的圆圈里，使每排及外圆圈上三个数的和相等（浙教版）。

该题可以编码为：1.任务多样性：运算与推理；2.认知水平：探究；3.思维类型：抽象逻辑；4.作答方式：推理论证。

除上所陈述之外，其中任务多样性中，也应涉及“选数字构等式”这个形式，因为它是整个序列题训练之后高度抽象的练习。但是在我们的编码过程中则主要选取最能代表的一种形式，不拘泥于把所有可能涉及的点一一穷尽。

三、数据结果与分析

1.横向比较。

横向上，对两个教材的学习序列进行深刻剖析，人教版教材将20以内数的运算直接镶嵌在数的认识中，即会认某一段数，就要会简单计算，任务要求相对简单且任务结果更易于评价。而浙教版教材的安排则在前面认数中更重视感性的认知，以此为经验基础，着重对20以内数的运算问题进行探究。其中，浙教版教材还将2的乘法口诀纳入到20以内数的运算当中，作为一个连续的板块与加法衔接，这个安排契合数学内部的联系，且符合儿童认知规律。

浙教版教材将乘法的意义及2的口诀前移，从联系和发展的角度，用儿童已有的知识去促成新知的学习，而不是将乘法运算割裂开来。众所周知，乘法是表示同数连加的一种方法，实际上是加法的一种特殊形式，浙教版教材在前期加法练习中就渗透了很多同数连加的经验，在已经具备一定加法基础的同时引入乘法，由2个2个量的累加作为渐进线索，探究了1～9的数与2相乘的结果，减轻了后继乘法的学习负担，也准确定位了儿童的最近发展区，为发展儿童数学学习的可能性创造更多空间。

2.任务多样性的比较。

研究过程中抽取所有关于20以内数的加法习题，并总结出以下几大类的题型进行频率统计。

表1 任务类型的统计

通过表格的描述不难发现，人教版教材在题型安排上相对收敛，更注重基础题的训练，把主要内容集中在直接计算、看图提问、看图列式上。其中看图提问、看图列式关注具体情境的设置，符合低段儿童的心理特性，基于儿童已有的经验学习新知，有助于儿童对知识的把握。但是在问题表征的多样性上还未见有明显突破。形如下题这样的看图列式题较多。

案例2：一共有10根萝卜，小兔子拿走了3根，还剩下几根？（人教版）

浙教版教材在任务设计上更加开放，不但创设了丰富的数学情境，而且有大量独创的问题。特别是，使用数学的方式从多个角度表征运算的意义，别具内涵。

案例3：看图填数。（浙教版）

如案例3用数轴的直观变化来触发儿童理解11向后增加5格得到16的理解，有效破除加法即离散数量叠加的困局，让儿童在自然而然的过程中生发连续数量概念的意义，这实际上是数与运算学习过程中进一步的抽象；此外，在整个数轴上，儿童可以清晰的理解自然数的构成原理，一个数向前进与向后退的意义，在数轴上十分直观且易于操作。

浙教版教材中具有代表性的是代数思维的提前萌发。在习题的分析中蕴含了大量的图形等式和不等式的概念。在代数思维之前，有一个很重要的概念在学习中被建立起来，即“=”号除“得出”的含义之外，还有更为要紧的意义“平衡”。因此，在整个序列的训练中，浙教版的教材中加入了大量的构建等式的练习，典型的题目是：

案例4：从1～9这九个数中，各选一个填入□里，每个数只能用一次。（浙教版）

□+□+□=□+□

经过大量的等式铺垫，训练儿童有序思考，独立反思的能力。而在儿童形成平衡概念时，通过托盘天平的直观结合引出图形式，例如下题就是一个不定图形等式，在儿童尝试填空时会明显感知给出定值时，两个图形都未知，则数值不唯一，这其中就有非常重要的代数与函数的意味，为儿童代数启蒙提供了有意义的支撑。

案例5：6=○+△，○、△表示的数分别有哪些可能？

此外，在建构主义理论支撑下，浙教版教材在引出新知的过程中大量调用儿童已有知识与能力，而不仅限于活动，有效地升华了数学学习的主题。例如，大量类比题目的设置，加法算式与减法算式的类比、10～20数运算与10以内数运算的类比、定值的类比等等。

案例6：先计算，再选两个计算式说一说被减数、减数与差。（浙教版）

5-4 4-2 16-3 13-2

15-4 14-2 3+16 2+11

由此可以看出浙教版教材的任务类型更为多样，尤其可以满足学习能力强的儿童的学习要求，当然，这对教师教学、评价的要求也很高。而人教版教材的任务类型则多指向于得出一个清晰、易于评价的答案，易于教学操作，利于普及，但在题目灵活性、多样性方面相对较弱。

3.认知水平的比较。

数据中显示人教版教材习题集中在识记、理解两个层次，而在难题应用、探究方面难有突破。而浙教版教材问题灵活，并长于在学习过程中埋下伏笔，等待时机成熟时引入综合类题型进行思维的突破。因而，在识记层面花费时间相对减少，强调儿童通过多样化的任务自主建构知识、方法，在探究层面上寻求突破。

表2 两个版本教材习题认知水平比较

4.思维类型的比较。

在题目的设置中实际上已经渗透了编者的指导思想，一个题目要训练儿童哪些思维品质，在哪些能力上需要点拨升华，当然儿童在思维方面的提升受多种因素的影响，我们不能完全归因于教材的问题设置，但可以从题中看出这种价值导向。

表3 两个版本教材习题在体现的思维类型方面的比较

直观动作思维是指在思维过程中以具体、实际动作作为支柱而进行的思维，这种思维所要解决的任务目标一般总是直观的、具体的。具体形象思维是指在思维过程中借助于表象而进行的思维。抽象逻辑思维则是在思维过程中以概念、判断、推理的形式来反映事物本质属性和内在规律。

通过数据比对我们可以非常明显地看到浙教版教材在儿童抽象逻辑思维的训练方面相较人教版更加重视，有更多这方面的题目。

5.作答方式的比较。

人教版教材在题目设置中较为谨慎，作答类型更为收紧，其中单一答案的问题占53.9%，而在更为开放的题型上则鲜少有精力投入。而浙教版教材则在作答类型中都有涉及，且分布平均，尤其在概括类型方面的要求，更体现教材期望儿童在学习中能发展的创新思维能力和高层次数学思维能力。

表4 两个版本教材作答类型的比较

两个版本教材作答类型的比较

四、结论与启示

与课程目标一致，两个版本教材主要教学阶段没有显著差异，都涵盖了《数学课程标准（2011版）》中的具体知识点，但是在范例呈现与任务组织中则呈现出非常大的差异性。当任务使用多种表述和结构呈现多样性，并提供多种解决方法时，对于学习者学习质量就有更直接的影响，他们将有更多的机会发展对20以内数的运算的理解和运用。而在问题的呈现中，则更应注重多元思维能力的开发、高认知水平的激活、多样性任务的呈现、多角度的问题解答等。

除教材的呈现方式完整地展现在视线中之外，实际上以上数据尤其传达了教材关于学习者的成就期望。浙教版教材力求每一个题都达到预期成就，因此不单在量上做叠加，而是力求以不同的任务类型促进量级的变化。比对数据我们不难发现，认知要求与思维水平在任务的安排上具有指导意义，直接定位了预设问题的价值与呈现方式，后续我们将更进一步进行相关性研究，探寻这种指导意义的实效性。