铅酸电池剩余放电时间预测的数学模型

宋剑萍

（西安职业技术学院基础课部，陕西西安710077）

2016全国大学生数学建模竞赛C题，电池剩余放电时间预测。本文根据题目中所给定的电池放电采样数据，研究铅酸电池放电数学模型的建立和剩余放电时间的预测。

1 问题重述

铅酸电池作为电源，被广泛用于日常生活、工业、军事中。铅酸电池在恒定电流强度荷载的放电过程中，电压随着放电时间单调下降，直到最低保护的额定电压（Um=9 V）。从充满电后开始放电，电压随时间变化的关系称为放电曲线[1]。

问题一根据同一生产批次的电池，出厂时以不同电流强度荷载，放电测试记录数据。用初等函数建立放电数学模型，并用模型的平均相对误差MRE检验其精度。根据建立的模型，预测新电池分别以30 A、40 A、50 A、60 A和70 A电流强度放电，从电压为9.8 V降到9 V时的剩余放电时间。

问题二依据任一恒定电流强度荷载下电池放电的数学模型，绘出电流强度为55 A时的放电曲线图，并写出其数学表达式。

问题三根据不同的衰减状态，以同一恒定电流强度荷载的同一电池，从充满电后开始放电的采样数据。预测电池在衰减状态3的剩余放电时间。

2 数据分析

根据题目中给出的生产同一批次电池，出厂时以不同电流强度放电，经测试得到完整放电曲线的采样数据。将其数据导入MATLAB软件中，使用程序为：

x1=xlsread（′CUMCM2016-C-Appendix-Chinese.xlsx′，′，exc1′，′A7:A1885′）；

可得电池在不同电流强度状态下，放电时间与电压关系的散点图，如图1所示[2]。

图1 不同电流强度，时间与电压的散点图

因采样数据点较多，数轴上的长度单位较小，所以图1的散点图给人以曲线图的感觉。图1得出，电流强度越大，电压随时间下降的越快。即电池以不同的恒定电流强度放电时，电流强度越大，其放电时间越短。电流强度越小，其放电时间越长。

3 恒定电流下，模型建立与求解

根据图1不同的恒定电流下，电池的放电散点图和题目要求用初等函数表示放电曲线，所以放电模型一为：

3.1 恒定电流下，放电模型建立

平均相对误差MRE的计算公式为：

MRE=，其中Z为实际剩余放电时间，Z′为理论剩余放电时间，n为样本点的数量。

题目要求用基本初等函数建立数学模型，基本初等函数有三角函数，对数函数，指数函数，幂函数以及它们的四则运算，根据图1猜测，电池的放电曲线是多项式函数。

采用MATLAB软件工具箱中的多形式拟合命令，拟合出放电曲线的多项式函数。

因100 A电流强度放电时的时间和电压数据比较少，所以对它分别采用了二次曲线和三次曲线拟合，二者的拟合系数都在99以上。但是，用MATLAB程序计算这两条曲线的平均相对误差MRE分别为10.986 7和0.046 3。这两个数据说明，采用二次曲线拟合时，实际放电时间与理论放电时间差别较大，超过了百分之百的误差，而三次曲线拟合的MRE误差在5%以下，说明三次曲线拟合得到的理论放电时间更接近于实际值。因此选用三次曲线拟合最佳[3-4]。

效仿100A电流强度下，电池放电曲线的三次多项式拟合方法，得到不同恒定电流下，电池的放电模型均采用三次多项式拟合。得到20 A，30 A，40 A，50 A，60 A，70 A，80 A，90 A，100 A 9种电流下的放电模型二为：

（其中u为电压，t为放电时间，α,β,γ,λ分别是多项式的系数，n取1到9之间的整数）

3.2 恒定电流下，放电模型求解

图1直观显示，时间与电压的关系可分为3个阶段：电压随放电时间急速下降阶段，电压随放电时间单调上升阶段，这是由于刚开始使用电池时，电池内物质的化学反应还没达到稳定状态所造成的。当电池放点持续一小段时间后，电压随放电时间进入单调下降阶段。电池在放电初期，电压随放电时间急速下降和单调上升阶段，这与题目中的要求“在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降”矛盾。电压随放电时间急速下降和单调上升阶段不考虑，删除不考虑阶段的数据。将下降阶段的整理后导入MATLAB软件，建立初等函数数学模型，拟合放电曲线如图2所示。本文仅仅从电压随放电时间下降阶段开始研究[5]。

图2 不同电流强度的放电曲线

运用MATLAB软件工具箱中的拟合编程，分别得到20 A，30 A，40 A，50 A，60 A，70 A，80 A，90 A，100 A的放电曲线数学模型三如下：

根据平均相对误差MRE的定义编程，得到上述各模型的放电曲线的平均相对误差NRE值，如表1[6-7]。

表1 不同恒定电流下放电时间模型的MRE值表

上表中的数据说明，拟合得到的理论放电曲线与实际放电的记录数据误差在5%以下，放电曲线模型可以作为实际放电时间预测的理论根据。

根据上面的放电曲线模型三，将电压分别是9.8 V和9 V带入等式左边，得到关于未知数为t的方程。用MATLAB软件解方程得到对应的放电时间，如表1[8]。

电池的剩余放电时间=9 V所用放电时间—9.8 V所用放电时间。

在新电池使用中，分别以30 A、40 A、50 A、60 A和70 A电流强度放电，测得电压都为9.8 V时，根据建立的数学模型，得到电池的剩余放电时间分别是：605 min，434 min，331 min，277 min，251 min。这与现实情况中，电流荷载越大，电池的使用时间越短是一致的。

表2 电压为9.8 V和9 V放电时间

4 任一恒定电流下，放电模型建立与求解

问题一是给定的恒定电流强度下放电曲线数学模型，建立的数学模型中有两个变量，即电压u和放电时间t。而问题二要求的是任一恒定电流强度下放电曲线数学模型，有3个变量，即电压u，放电时间t和电流i[9]。建立如下模型四：

4.1 任一恒定电流下，放电模型建立

u=ϕ(i,t)是二元非线性拟合，如果整体去拟合，难度大，并且积累起来的误差比较大，所以采用逐步拟合的方法[10-11]。

利用（2）中各项系数α,β,γ,λ与电流i的之间的数据，即 (αn,in)，(βn,in)，(γn,in)，(λn,in).用 MATLAB软件工具箱中的拟合命令，建立各项系数α,β,γ,λ与电流i的函数关系[12]。即

得到任一恒定电流强度下放电曲线模型五为：

（其中u为电压，t为放电时间，i为电流强度）

4.2 任一恒定电流下，放电模型求解

把i=50带入式（4）中，得到平均相对误差MRE为0.0097。说明模型五的建立是比较合理的[13]。

把i=55带入式（4）中，得到电流为55A时的放电曲线函数表达式（6）和图3：

图3 电流为55 A时的放电曲线

5 同一电流强度不同衰减状态，放电模型建立与求解

由同一电池以同一电流强度的荷载，在不同衰减状态下的，从充满电后开始放电。根据电池放电时间与电压的数据，建立新电池状态、衰减状态1、衰减状态2 3种状态的放电曲线，找出它们的放电曲线规律，预测衰减状态3的放电曲线规律，从而得到衰减状态3的未知放电时间。

5.1 同一电流强度不同衰减状态的模型建立

根据放电电压与时间的数据，使用MATLAB软件，分别做出3种状态的放电时间随电压变化的散点图，如图4所示[14]。

图4 不同状态，同一电流强度时间与电压的散点图

对图4进行跟踪定点，得出骤变节点坐标在10.4 V处。由骤变节点可以将图像分为两部分，电压在10.4 V到10.5 V之间内，放电时间降低缓慢，3条曲线几乎重合，可推出，在同一电流强度放电的情况下，电池的放电曲线差别甚微。当电压u＜10.4 V时，新电池状态、衰减状态1、衰减状态2的放电曲线的趋势大致相同，3种状态放电曲线的趋势大致相同，推测衰减状态3的放电曲线与他们有相同的走势。利用衰减状态3的中已知放电时间与电压的数据，拟合出的状态3的放电曲线[15]。建立如下模型六

5.2 同一电流强度不同状态的模型求解

根据图4和建立模型六的过程分析，将衰减状态3中的已知数值，带入模型五中，通过曲线拟合得到衰减状态3的放电曲线的函数表达式（8）如下：

其中，α=-156.9(-200.9,-112.8)，β=4181(2848,5514)，γ=-3.734×104(-5.078×104,-2.39×104)，λ=1.126×105(6.738×104,1.577×105)。

在衰减状态3下，电池的剩余放电时间t=tu=9-tu=9.765.所以，电池在衰减状态3下的剩余放电时间为t=264.7min[16]。

6 结束语

本文依据采样数据，运用MATLAB软件，采用3次多项式拟合，建立了铅酸电池在多种状态下的放电曲线模型，对所建立的模型进行求解，用平均相对误差MRE指标进行检验。该模型的建立，方法简单易于操作，对电池放电时间的研究有一定的帮助和借鉴意义。