高中数学核心素养之数学抽象的教师问卷调查报告

吴智敏 周先华

摘 要：核心素养是教育改革的关键和课程改革的核心，而数学抽象核心素养是数学核心素养中的一大重要内容，对它的研究有利于提高学生的数学思维与学业成绩。通过对教师进行问卷调查，对不同类型教师对核心素养及数学核心素养的了解程度进行分析，分析高中数学老师对数学抽象核心素养的理论学习与实际操作情况。

關键词：数学核心素养；数学抽象核心素养；高中数学教师

中图分类号：G451.6 文献标识码：A 收稿日期：2018-03-01

作者简介：吴智敏（1983-），女，重庆梁平人，一级教师，硕士研究生，研究方向：中学数学教学；

周先华（1972-），男，四川广安人，高级教师，本科，研究方向：中学数学教学。

一、问题的提出

核心素养已经成为我国教育领域最关受注的词语之一，它将是新课标的源头、中高考评价的核心和未来教育改革的关键。《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：核心素养是育人价值的集中体现，是通过学习而逐步形成的关键能力、必备品格与价值观念。数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。基于高中数学课程性质和教育价值，数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体[1]。我们子课题“培养高中学生数学核心素养之数学抽象的实践研究”课题组就数学核心素养的“数学抽象”进行了学习和调研。

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养，主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。

数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。

为了更加客观、全面地了解目前四川省成都市玉林中学（以下简称“我校”）高中数学教师的数学抽象核心素养现状，课题组设计了教师问卷，用于直接了解教师对数学抽象的理解，同时了解教师对学生问卷中的试题如何分析。本文主要对教师问卷的命制、教师问卷的调查结果以及后期如何研究进行分析。

二、教师问卷调查设计

1. 调查目的

为了了解我校高中数学教师对数学抽象核心素养的理论学习与实际操作，教师问卷的内容围绕这样几方面：

（1）不同类型教师对核心素养、数学核心素养的了解程度；

（2）不同类型教师对数学核心素养之数学抽象的情境、历程、表现及内容的理解程度；

（3）不同类型教师对学生问卷试题的分析。

2. 调查对象

教师卷的调查对象为为我们学校高中三个年级的数学教师，工作年限分为：1～5年、6～0年、11～15年、15年以上；职称主要集中在中学二级、中学一级和中学高级三个层次；高中数学教师男性偏多，女性较少。

3. 调查问卷的设计

为了实现上述调查目的，结合核心素养、数学核心素养、数学抽象的理论基础以及对照学生问卷试题，本研究在教师问卷中设计了这样三个部分：

第一部分为了了解教师们对核心素养、数学核心素养的认识，设计了问卷的第1、2、3题，通过调查教师对核心素养和数学核心素养的认识，可以知道教师们对新的教育观点与理论是否关心。

第二部分为了调查教师们对数学抽象的认识，包括数学抽象的定义、内容、情境、历程及表现形式。数学抽象是教师们经常提到的术语，但是是否真正了解呢？因此问卷设计了第4～15题，通过调查了解教师们对数学抽象的理解程度。

第三部分选取学生问卷试题中的“餐厅位置”“公园水池”“虚数的产生”“分形几何”以及“考试成绩”五个题，让教师们通过读题，分析里面蕴含的数学抽象各个方面的内容，旨在挖掘出教师们遇到一道实际应用题，如何将问题抽象化的过程，因此设计了第16～20题。

三、教师问卷调查的实施

课题组选择了一个周一下午（教研活动时间）对全体数学教师进行了问卷调查，共收到问卷34份，有效问卷32份，有效问卷率94.1%，其中职称为中学二级的4份、一级的8份、高级的20份；教龄1～5年的6份，6～10年的4份，11～15年的0份，15年以上的22份；男老师30份，女老师2份。需要说明的是高级职称都是工作15年以上的，二级职称的都是工作1～5年的，符合职称和工作年限长度成正比的关系。

四、教师问卷调查的结果统计与分析

从回收的问卷构成不难发现，学校高中数学教师年龄结构不太合理，教龄15年以上的占了68.8%，出现了断层现象，老教师习惯了他们对数学抽象的认识，对新的教育理念接受度不高，因此他们在一些题中错误率较高。

从表1与表2我们发现，总体上教师对高中数学核心素养、数学抽象核心素养了解不多。由于除了第5、9、11、12、16、17、18、19这八道题是单选，其他都是多选题，本身难度就增加了，因此很多题教师都漏选。正确率最高的是第17题，然后是第9题，都为单选题；错误率最高的是第4题和第19题，一个多选，一个单选。中学二级教师每道题的得分率是最不理想的，出现了13道题全错，一道题正确率为100%，另外6道题正确率为50%；中学一级教师每道题的得分率是最为理想的，除了第9题落后于中学高级教师，其余各题都是最好的。究其原因，我们认为有这样两点：其一，由于职称和工作年限基本成正比关系，所以评了高级的教师思想有所懈怠，没有职称的外在压力，因此主动学习数学抽象的相关理论的可能性就小一些；而中学一级的教师们正处于事业上升期，各种赛课，攥写论文，培训机会也多，学习数学抽象的相关理论也多一些，因此情况相对好些；中学二级的教师们刚工作不久，教学经验缺乏，对数学抽象在教学中的一些应用还不知道如何处理。其二，对一线教师普遍存在的现象，教育教学任务重，很难得静下心来对新的教育政策方向、新的教育理论进行研究，尽管教师们经常将数学抽象挂在嘴边，但是对它的实质缺乏深入的研究。

第17题背景是学生问卷里的试题“公园水池”中的6个问题的数学抽象进行分析，6个小问从平面三角形内切圆问题类推到空间三棱锥的内切球问题，经历的抽象历程为：形成数学抽象、理解数学抽象与运用用数学抽象；数学抽象的表现为形成数学方法与思想、形成数学结构与体系及形成数学命题与模型，这是一個大家很熟悉的同向思维中的“类比联想”的应用。

第9题属于理论知识，根据弱抽象的定义，来理解它是从特殊到一般的抽象方式。徐利治、张鸿庆两位学者在《数学抽象度概念与抽象度分析法》一文中定义，弱抽象也可以叫做概念“扩张式抽象”，即从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例[2]。弱抽象与类比联想同属于数学抽象中的“同向思维”，函数的奇偶性从特殊的二次函数的函数值入手找规律，然后推广一般的函数的奇偶性属于弱抽象，而直角坐标系点的坐标类比到空间直角坐标系中点的坐标属于类比联想。从第9题和17题的结果表明，教师们对数学抽象中的同向思维掌握得很好，这也与很多教学内容属于数学抽象的同向思维内容有关。根据表2，我们发现得分最高的第17题的正确率各为：中学一级和二级100%，高级60%；第9题的正确率分别为：高级90%，一级75%，二级50%。

第4题数学抽象主要包括的内容，很多教师选择了D选项：“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论”，这个叙述应该是对数学建模的阐释。何小亚在《数学核心素养指标之反思》一文中，对数学建模指标进行反思时，提出对从数学抽象和数学建模的定义看出，这两个核心素养的内容明显重复了，不满足分类的子项必须互斥的逻辑要求[3]。因此也说明教师容易混淆两个概念，还需要对数学抽象进行学习。

第19题对学生问卷问题8“分形几何”中数学抽象内容中的“审美直觉的数学抽象”的理解，科克曲线的制作过程最能体现审美直觉中的统一性原则。统一性原则是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，四个选项中：A.对数的运算，B.正余弦函数的图像，C. 的无理性，D.分数指数幂。分数指数幂将整数指数幂与有理数指数幂的运算都可以统一起来，达到部分与整体的和谐一致。

从问卷结果反映出来这样几方面的问题：

1. 对核心素养的相关内容不清楚

第1题《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》正式印发，此文件中明确提出要研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准，这是教育部第一次以文件形式将核心素养提上日程，但是只有25%的教师回答两方面，而25%的教师单选“立德树人目标”，集中在1～5年、15年以上教龄两个群体。

第2题与第3题都是对六种核心素养的解读，数学的定义：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，运用符号运算、形式推理、模型构建等，表达现实世界中事物的本质、关系和规律。这个定义包含了六种核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析、数学建模、直观想象。从统计情况看，错误的都是漏选。

2. 对数学抽象核心素养相关内容模糊

数学抽象是一种特殊性的抽象，其特殊性表现为，数学抽象的对象是“空间形式和数量关系”，不管是现实世界中的“数量关系和空间形式”还是思维想象中的“数量关系和空间形式”，都属于数学研究的范畴[4]。

第4～15题都是关于数学抽象核心素养内容，从结果看，教师们对数学抽象的三种情境（社会情境、数学情境、科学情境）、数学抽象内容中的同向思维体会更深，回答得更好。

3. 对实际问题进行数学抽象化的分析还需要进一步加强

第16～20题通过对学生试题的分析，看教师对数学抽象过程的掌握程度。从表1看出，第18～20这3道题正确率都不高。

五、提高高中数学教师数学抽象核心素养的途径

1. 加强理论学习

从问卷反映出来的问题，需要加强对各个教龄段教师的培训，新的教育理念、好的教学方法都值得学习。对一线教师来说，首先自己要对数学抽象引起充分重视，只有清楚了数学抽象的各种表现形式、内容，才能创造性的对教材加工，帮助学生从各种不同的数学抽象情境中形成、理解、运用数学抽象，掌握知识点，形成数学思想与方法。新入职的数学教师缺乏实践，但是接受新事物更快，因此应该借助新一轮高中课程改革，认真研究《普通高中数学课程标准（2017年版）》里提出的数学抽象素养。

2. 在数学教学中充分运用数学抽象

在数学中，抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物（事件或实物）的本质特征，从而上升到理性认识，这既是一个获取知识的过程，也是一个研究的过程]。

【例】2017年全国卷3大题第一道第（1）问：设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n..求{an}的通项公式。

此题抽象情境属于数学情境，数学抽象的表现为形成数学方法与思想。学生在这个新的数学情境中模仿学过的数学方法解决问题，涉及的数学抽象内容为是数学抽象中同向思维的类比联想，本质就是一个已知数列{（2n-1）an}前n项和sn，求{（2n-1）an}的通项公式，进一步得到{an}的通项公式。教师在分析与点评这道题的时候，可以让学生根据该题进一步类比推广，从而形成这样一类问题的数学方法与思想。例如：已知一个数列{an}前n项积，怎样求数列{an}的通项公式； 已知数列{bn}及{bn·an}前n项积Tn，怎样求数列 的通项公式等。教师通过这样的数学抽象的运用，让学生能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2018.

[2]徐利治，张鸿庆.数学抽象度概念与抽象度分析法[J].数学研究及应用，1985，5（2）：133-140.

[3]何小亚.数学核心素养指标之反思[J].中学数学研究（华南师范大学版），2016（13）：1-4，53.

[4]史宁中，孔凡哲.关于数学的定义的一个注[J].数学教育学报，2006（4） ：37-38.

[5]张胜利，孔凡哲.数学抽象在数学教学中的应用[J].教育探索，2012（1）：68-69.