数学课堂教学贵在立意高远

赖启茂

[摘 要]以《加减消元法》的教学为例，从开拓数学视野、经历数学研究、渗透数学思想、培养理性思维等方面实施立意高远的数学课堂教学，旨在提升学生的数学素养，促进学生全面发展.

[关键词]立意高远；数学课堂教学；加减消元

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0011-04

正如一篇文章写得好不好，主要看文章的立意一样，数学课堂教学能否真正促进学生数学素养的提升，在很大程度上要考量课堂教学的立意是否高远.纵观一线的初中数学教学现状，多数课堂就事论事，只在本节课的教学内容里原地“打滚”，能把初中数学整体作为教学背景展开教学的较少.而能引领学生站在数学学科的高度去认识、去思考、去发现的，更是凤毛麟角.比如《加减消元法》的教学，教师一般都把加减消元法的反复演练作为教学手段，以达成高准确率的终极目标.表面上看是重点问题重点训练，实则使灵动的数学教学沦为一种简单的技能操练.这样的数学课堂教学视野狭窄，没了思想性，缺了数学味，与数学教学的终极目标“提升学生的数学素养”相去甚远.在此，笔者以省名师“送培下乡”活动中上的一节示范课为例，谈谈如何实施立意高远的数学课堂教学.

一、教学实录

环节1：感知发展.

师（显示字幕：方程的昨天、今天、明天）：同学们，我们去年就开始学习方程了，当时学的是什么方程？每人能否写出一例？

生众：一元一次方程.（一学生上台写出2x-3=5）

师：这里的“一元”是什么意思？

生1：含有一个未知数.

师：“一次”又是什么意思？

生2：含未知数项的最高次数是一次.

师：可见，在整式方程中，给一个方程命名要从两个方面考虑，一是“元”的方面，二是“次”的方面.

师：最近，我们学了一种新的方程，叫什么方程？

生众：二元一次方程.（一学生上台写出2x-3y=6）

师：去年学一元一次方程，现在学二元一次方程，那么，你猜猜，接下去该学什么方程？你能否写出一例.

生众：三元一次方程.（一学生上台写出x-2y+3z=10）

师：再接下去呢？

生众：四元一次方程，五元一次方程……

师：对，这是从“元”的方面发展而产生的方程系列.那么，除了“元”的方面，还可以从什么方面发展产生新的方程？

（学生一时语塞）

师：回顾一下，刚才我们是从哪两个方面给一个方程命名的？

生众：从“元”和“次”的方面.

生3：我想起来了，还可以从“次”的方面发展产生新的方程.

师：我们最先学的是一元一次方程，那么，如果从“次”的方面考虑，接下去该学什么方程？你能举出一例吗？

生众：一元二次方程.（一学生上台写出x2-2x+3=0）

师：再接下去呢？

生众：一元三次方程，一元四次方程……

师：说得很好，这是从“次”的方面发展而产生的方程系列.另外，还可以从“元”和“次”两个方面同时发展产生很多方程，这样一来，就形成了完整的整式方程体系.

[教学说明]从一元一次方程的命名说起，让学生初步整体感知整式方程的发展脉络.一方面，使学生对数学知识的产生发展产生一种自然亲切之感；另一方面，为后续学习中探究解整式方程的两个策略“消元”和“降次”做好鋪垫.

师：以上这些方程，虽然多种多样，但是它们有一个共同的特点，就是都含有未知数.我们学习方程，就是要弄明白，方程中未知数的值究竟是多少，这就涉及方程的解的问题.回顾一下，一元一次方程，比如2x-3=5有几个解？

生众：一个.

师：二元一次方程 x+y=5 有几个解？

生众：无数个解.

师：显然，二元一次方程x-y=1也有无数个解.如果把它们组成方程组，要知道二元一次方程组[x+y=5x-y=1]有几个解，得先弄清楚什么叫二元一次方程组的解.你知道什么叫二元一次方程组的解吗？

生4：方程组里面各个方程的公共解.

师：对.那么，按照二元一次方程组的解的定义，应该先把两个方程的解都求出来，然后再找出公共的解.但是这样求解太费时费力了.我们上节课学了一种较简单的求二元一次方程组的解的方法，叫什么方法？

生众：代入消元法.

师：为什么要消元？怎样代入消元？

生5：通过消元，把二元变一元，使复杂问题简单化.代入消元就是，用另一个未知数表示其中一个未知数，并将其代入另一个方程，消去一个未知数，使二元变为一元.

师：说得好！解二元一次方程组关键是消元，即把二元一次方程组化为一元一次方程.

[教学说明]在感知了整式方程发展脉络后，很自然地过渡到方程的解、方程组的解.特别提到二元一次方程组解的定义，让学生明白，根据定义去求方程组的解太困难，从而促进学生去寻求更简便的解题方法，使学生体会到数学新知识、新方法的产生，源于数学现实的需要.

环节2：温故求新.

师：既然大家对用代入消元法解二元一次方程组这么熟悉了，下面，请同学们再动手试试用代入消元法解方程组（1）[2017x+2016y=1 ① 2014x-2016y=4030 ②]

生6（上台板演）：由①得x=[1-2016y2017] ③，把③代入②，得[2014×1-2016y2017-2016y]= 4030.

（多数学生做到这里，停了下来）

师：你们觉得能做下去吗？

生众：能，就是太复杂了.

师：这么复杂的式子是怎么得到的？

生众：用代入消元法得到的.

师：用代入消元法解前面做过的二元一次方程组，都能轻松地解出结果，而这里，却不容易解.这说明了什么问题？

生7：说明用代入消元法并不能轻松解决所有二元一次方程组问题.

师：确实如此.用代入消元法解这个方程组时，遇到了困难，怎么办呢？想想还有没有别的方法？

生8：我想到一种方法，可以由①得2016y=1-2017x ③，把③代入②，得2014x-（1-2017x）=4030；2014x-1+2017x=4030；4031x=4031；x=1.

师：很好，这种方法确实容易得多.实际上这也是代入法，叫整体代入法（把2016y看成一个整体），能想到这种方法很不错.同学们再想想，还有没有更简便的方法？

[教学说明]精心设计方程组[2017x+2016y=1，2014x-2016y=4030，]让学生尝试用代入消元法解答，学生代入后运算遇到麻烦，由此体会到代入消元法的局限性.这时候，不得不寻找新方法，凸显了学习加减消元法的必要性.

环节3 ： 探索新知.

（学生在埋头思考，寻找新的方法，却毫无头绪）

师：同学们，不同的方程组，主要体现在什么的不同？

生众：系数的不同.

师：我们寻找新方法就要从系数方面考虑，大家仔细观察这个方程组，其系数有什么特殊之处？

生9：两个方程中y的系数互为相反数.

师：我们的目的是消元，既然y的系数互为相反数，你怎么想？

生10：把这两个方程的两边分别相加，消去y.

师：说得太好了.我们终于找到了一种新的方法，即方程组中某一未知数的系数互为相反数时，可相加消元.与前面的代入消元法比较，相加消元法要容易得多.问题是，①②两个方程能相加吗？依据是什么？

生[11]：可以相加，依据是等式的性质，即等式两边加或减同一个数或式子，等式仍然成立.

师：既然这样，我们就可以放心地把两个方程相加了.

[教学说明]新方法完全由学生自己发现，只有学生发现的数学才是学生自己的数学.教师的作用是在学生迷茫时指明方向.另外，教师质疑两个方程相加的依据，旨在引发学生的理性思考，培养学生的问题意识.

环节4：巩固新知.

（教师出示以下练习题，先让学生独立完成，再让两个学生上台板演）

解方程组（2） [x+2y=9 ①3x-2y=-1 ②]

（3） [2a-3b=-5 ①2a-5b=-11 ②]

方程组（2）的解题过程略.

方程组（3）的解题过程：

由 ①-②，得

（2a-3b）-（2a-5b）=-5-（-11）

2a-3b-2a+5b=-5+11

2b=6

b=3

……

（教师要求学生说明为什么这样做）

生[12]：在方程组（3）中，没有互为相反数的项，只有系数相同的项，所以①-②，才可把a消去.

师：生[12]的类比能力很强，能从相加消元，想到相减消元.这两种情况称为直接加减消元.我们来总结一下经验，什么条件下可以直接加减消元？易错点在哪？

板书：

经验一：系数[相同时，相减消元相反时，相加消元直接加减消元法].

易错点：1.两个方程相减时，要整体加括号.

2.减去一个负数时要加括号.

[教学说明]给出巩固练习两小题，解方程组（2）时，学生可直接模仿求解.方程组（3）不含互为相反数的项，出示此题的目的是让学生学会类比，从相加消元，自己悟出相减消元，体现学生的主体作用.板书“经验一”，让学生养成概括总结的习惯.要学生列出易错点，可培养学生的理性思维，做到在解题中尽量不犯或少犯“低级错误”.

环节5：拾级而上.

师：解二元一次方程时，若某一未知数的系数相同或相反的都能解了，那么接下来要研究什么问题呢？

[教学说明]这里，笔者不直接给出接下来要学习的问题，而是引领学生站在教师的角度去思考教学进程.一方面是对新学内容设置悬念，让学生充满期待，集中学生的注意力；另一方面是培养学生“思维走在老师的前面”的意识.更主要的是使学生逐渐领略到研究数学的一般方法，提升学生的数学素养.当然，要达成这种教学效果，笔者一般不要求学生预习，而是在课堂上营造一种“学生在完全未知世界里观察、思考、发现”的研究氛围.

生众：研究系数不相同也不相反的问题.

师：很好，说明同学们的思维走在老师的前面了.接下来，请同学们独立解方程组（化二元为一元即可）：

（4） [4x-5y=22 ①6x+7y=4 ②]

（先让学生自主探究，后小组交流，再让学生上台说明解题思路）

师：我们今天刚学习了一种新的方法：直接加减消元法，用新方法来解这个方程组时，会遇到什么问题？

生众：没法直接加减消元.

师：为什么不能直接加减消元呢？

生众：因为没有相同的项和相反的项.

师：那怎么办呢？消元是必需的.哪位同学来说一说，并上来展示.

生[13]：化为相同或相反的项，就可直接加减消元了.如①×3，得 12x-15y=66③，②×2，得 12x+14y=8④，③-④，得-29y=58，y=-2.

生14：消去y也可以.（解题过程略）

師：两位同学的解法都很有创造性.由此我们可总结出没有相同项或相反项时，就要变到有相同项或相反项，然后再加减消元.这种方法我们称之为变形加减消元.

[教学说明]对学生而言，解方程组（4）是一个难点.这个难点依然让学生独自探究.学生已经有了直接加减消元的经验（经验一）了，根据维果斯基的最近发展区理论，学生跳一跳能够得着，所以尽可放手让学生自己去探寻解决问题的方法.波利亚指出，学习任何东西，最好的途径是自己去发现.这样，学生更能享受到成功的喜悦，更加激起他们对数学研究的兴趣.另外，要求学生化二元为一元即可，不写出完整的解题过程，是为了节省操练时间，把时间花在有思维价值的地方.

环节6：再固新知.

解方程组（化二元为一元即可）：

[（5）3x-2y=-23y+2x=6][ （6）5x+2y=253x+4y=15]

[教学说明]设置上述巩固练习，是考查学生的观察力.第1题，只看系数，有相同，也有相反的，但是未知数不同.第2题，两个y的系数成倍数关系.学生能否一眼看出，选择最快的方法，关键在于仔细观察，并做出正确的判断.

环节7：迎接挑战.

师：到此，二元一次方程组的问题全部解决了，那么接下去又该研究什么问题呢？

生众：三元一次方程组.

师：非常正确.请同学们试一试解方程组（化成二元即可）：（7） [3a-b+c=4 ①2a+3b-c=12 ②a+b+c=6 ③]

（学生独立思考，上台交流，教师视学情适当引导）

[教学说明]学生已经具备了解二元一次方程组的能力，此时趁势推出三元一次方程组，并非是把后面的内容刻意提前，而是有意设置培植学生类比迁移能力的情境，对中等及以上层次的学生是一个挑战.这个难点突破了，学生就能解决多元一次方程组的问题了.学生的类比迁移能力得到充分的提升，消元思想愈加稳固.

生15：我的想法是，先通过消元，把三元问题变成二元，再消元变成一元.根据观察，先消c较方便.①+②，得 5a+2b=16④，②+③，得 3a+4b=18⑤，这样就可得到二元一次方程组.

师：说得很好！以后遇到四元、五元、多元的问题，都可类比这种消元方法，逐步减少未知数个数，最终化归为一元的问题.

环节8：展望未来.

师：这样一来，从“元”方面发展产生的系列方程组的问题都解决了，接下去又该研究什么问题？

生众：研究从“次”的方面发展产生的方程.

师：一元一次 x-3=0，大家都会解.一元二次 x2-2x+1=0，大家就不会解了。请同学们思考，解这种“二次”的方程，该往哪方面去思考？

（学生都不知从何入手，没人举手回答）

师：根据刚才的经验，遇到“二元”的就消元，变成“一元”.那么，这“二次”的咋办？

生众（豁然开朗）：变成“一次”.

师：二次变一次，叫作降次.那么，一元三次方程x3-x2-x+1=0呢？

生众：也是降次.

师：因为我们学的数学知识太少，还没学习怎样降次.到了八年级下学期学完了，我们就能通过降次来解二次方程了.现在，我们来总结一下.

板书：

经验二：多元方程（组）[ 消元 ]……→一元一次

多（高）次方程[ 降次 ]……一元一次

[教学说明]这个环节与课始首尾呼应.课堂上，学生对整式方程的发展脉络有了较清晰的认识，整节课都围绕二元、多元方程的消元问题展开.那么对二次、三次、高次方程呢？课尾，教师用1分钟时间，适度涉及降次问题，让学生对多次方程解题策略“降次”有一个初步的感知.

环节9：“嫣然回眸”.

师：请回顾今天这段研究数学的历程：是从哪里开始的？又是怎样发展的？途中遇到了哪些曲折？采用了什么方法解决？

环节10：作业布置.

另外印发作业，分A类、B类、C类（个性化作业）.

二、教学思考

立意高远的数学课堂教学应关注以下几个方面.

1.打造数学视野宽广的课堂.教材编写者把每一模块的数学知识（比如方程模块）分散在各学段让学生学习，逐级而上.教师教学时，如果局限在本学段、本课时的内容的话，会让学生感觉数学知识是散乱，缺乏整体感的.因此，教师应尽可能地站在数学学科的高度，上下相连，贯通“古今”，把相关知识有机地组合在一起，让学生通过上这节课，对与这节课相关的知识，有一种“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉.

这里，要注意避免过多、过难地涉及课本教学内容之外的知识和方法，以免增加学生的学业负担.因此，需要教师根据学生的认知特点，在学生的“最近发展区”内，大胆地取舍教学材料，重新梳理编写教学内容，以学生很自然地有“窥一斑而知全豹”之感为宜.

2.讓学生体验数学学习中的“研究味”.布鲁纳说：“在教学过程中，学生是一个积极的探索者，教师的作用是要形成一种学生能独立探索的情境.而不是提供现成的知识.”因此，立意高远的数学课堂教学应突出“研究味”，追溯数学历史渊源，引导学生进行数学化探索，体验古代数学家探索发现的经历，让学生从知识的接受者转变为知识的发现者.这样形成的数学，才是学生自己的数学.

本节课以“用代入法解二元一次方程组（1）时遇到困难”，作为研究起点，通过观察发现了直接相加消元法.在“新知体验”中，学生遇上了不能直接相加消元的方程组（3）.思量一番后发现了直接相减消元法.在学生经历了直接加减消元法的发现过程后，教师又引导学生自己提出研究方向，进而发现变形加减消元法.二元方程组的问题解决了，学生很自然地把目光投向三元方程组；从“元”方面发展的系列方程解决了，研究方向转为“次”方面发展的系列方程.整节课的数学学习过程，实为研究数学的过程.“润物细无声”，学生长期在这样的“研究”氛围下熏陶，不仅越来越领略到“研究”数学的乐趣，而且由此形成的“研究”意识、“研究”路径，必将为学生未来的发展插上翅膀.

3.注重渗透数学思想.数学思想是数学的灵魂，所有数学教学活动应以渗透数学思想为落脚点，只有这样才能真正促进学生数学素养的提升，发挥数学学科育人的最大效益.本节课将转化与化归思想的领悟和渗透作为主线贯穿始终.与学生一起回顾上节课学习的代入消元法时，教师追问“为什么要消元”“怎样消元”，让学生重温通过消元，把二元变一元的化归思想.

在解方程组（1）～（3）时，学生通过观察发现了直接加减消元法后，教师推出方程组（4），学生通过探究，发现可变形后再加减消元，即把新问题转化为旧知识来解决.二元的问题解决了，教师引导学生思考更高层次的问题，学生积累了一定的转化经验，此时水到渠成地活用化归思想把“三元”化为“二元”.

在研究“次”的方面发展产生的方程时，学生通过类比不难想到化“三次”为“二次”，化“二次”为“一次”的逐步降次的化归思想，使化归思想进一步得到升华.这种在潜移默化中形成的数学思想将影响学生终身的学习、工作和生活.

4.应着力理性思维的培养.初中生有了一定的数学知识和数学活动经验，但由于相应年龄的心理特点，决定其思维往往不够严谨和深入，凡事爱“想当然”，思考问题常常顾此失彼或只看表面.因此，在数学教学中的各个环节针对初中生进行理性思维的培养显得尤为重要.

本节课，当学生面对方程组（1），为了消元，在发现y的系数刚好互为相反数时，就自然产生一种冲动：把两个方程相加消去y.几乎不去考虑，两个方程能否相加.此时教师追问：“两个方程能相加吗？依据是什么？”让学生恍然大悟，明白数学运算每一步都得有理由.

解方程组（3）时，学生用①-② 消元，教师引导学生总结这种方法易错点在哪，这不仅让学生养成解题反思的习惯，更是让学生学会站在更高层次对解题的每一个步骤进行理性的思考.当学生的每一步运算或推理都有充分的算理支撑，并且每一步可能出现的失误学生都了如指掌时，学生的理性思维就达到了炉火纯青的境界，这正是数学教学所追求的.学生有了这种严谨的理性思维，不仅现在能把数学学好，更重要的是为后续的学习和工作打下了坚实的基础.

诚然，立意高远的数学课堂教学并不仅限于关注以上这些方面，笔者在此只是抛砖引玉.实际上，数学教学的每个环节的处置都饱含了教师的教学立意.不同的教学立意，决定不同的教学品质，必然产生不同的教学效益.教学立意是否高远取决于教师自身的专业素养.要想提升教学立意，关键在于教师应精通学科理论和教育教学理论，不断升华自己的教学思想，才能跳出思維定式.从广阔处、新颖处立意教学，使学生在数学活动中充满创新激情，使数学自身的探索魅力成为学生一直向前的不竭动力，这样的教学展现出浓浓的数学味，而数学味在催化着学生数学素养的提升.

[ 参 考 文 献 ]

[1] 胡海舟.教学立意的实践误区及提升路径[J].中国教育学刊，2015（12）：49-53.

[2] 钱燕.回归数学课堂的生命本色[A].江苏省教育学会2006年年会论文集（理科专辑）[C]，2006：1-6.

（责任编辑 黄春香）