最大模估计和一类Jensen不等式的应用*

邢家省，杨义川

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京 100191；2.北京航空航天大学数学、信息与行为教育部重点实验室,北京 100191)

1 最大模估计和一类Jensen不等式的直接证明

定理1[1-4]设正整数k≥2，实数p>q>0,则对于任意正实数ai(i=1,2,…,k)，

证明记b=max{ai:i=1,2,…,k},则

定理2[1-4]设正整数k≥2，实数p>q>0，则对于任意实数ai(i=1,2,…,k)，

证明设a={a1,a2,…,ak}，‖a‖∞=sup{|ai|:i=1,2,…,k}，则

|ai|≤‖a‖∞i=1,2,…,k，

于是

定理4[1-4]设a={a1,a2,…,ak}(k为有限正整数或+∞)，记

‖a‖∞=sup{|ai|:i=1,2,…,k}，

则

(ⅰ)‖a‖∞≤‖a‖p(0

(ⅲ)设p>q>0，则‖a‖p≤‖a‖q；

证明[1,3]由定理2和定理3的证明方法，即可给出(ⅰ)—(ⅲ)的证明过程；利用(ⅱ)，即可得到(ⅳ).

文献[1，3]中对定理4(ⅳ)给出的证明相当复杂，不具广泛使用性.而这里的证明则简单直接，具有一般使用性.定理4的结果是在文献[1-11]的基础上给出的，主要来源于文献[1，3-4，10-11]中的思想.这些结果可被用来研究lp和Lp空间的性质.

2 利用最大模估计和一类Jensen不等式求一类数列极限

例1[1-7]设m是正整数，对于任意实数a1,a2,…,am，证明

证明设b=max(|a1|,|a2|,…,|am|)，则

证明记βn=max(|a1|,|a2|,…,|an|)，则

证明由已知条件得

3 一类Jensen不等式的多种表现形式

定理6[1,7]设p>1，则对于∀a1,a2>0，a1p+a2p<(a1+a2)p.

定理7[1,7]设1>q>0，则对于∀a1,a2>0，(a1+a2)q

仿照定理1的证明方法可给出定理5—7的证明过程.显然，定理6和定理7是等价的.利用定理6，可得如下结论：

定理8设p≥1，则

(ⅰ)对于∀x≥y≥0，(x-y)p≤xp-yp；

(ⅱ)对于任意实数u,v，|(|u|-|v|)|p≤|(|u|p-|v|p)|.

利用定理7，可得如下结论：

定理9设0

(ⅰ)对于∀x≥y≥0，xp-yp≤(x-y)p；

(ⅱ)对于任意实数u,v，|(|u|p-|v|p)|≤|(|u|-|v|)|p≤|u-v|p.

利用定理9可得到数列极限和函数极限一个性质的证明[12-15]，也可得到一些函数的一致连续性和Holder连续性[8-15].

定理10[8-15]对于∀x>0，当α>1时，1+xα<(1+x)α.

证明考虑f(x)=(1+x)p-(1+xp)，显然f′(x)=p(1+x)p-1-pxp-1>0(x>0)，f(0)=0，故当x>0时，f(x)=(1+x)p-(1+xp)>0.

定理11[8-15]对于∀x>0，当0<β<1时，1+xβ>(1+x)β.

定理11可以用微分方法单独证明，也可由定理7给出.显然，定理10和定理11是等价的.

应用归纳法即可推得定理1.

定理12[8-15]设a1,a2,a3>0，则

证明显然

故有

a13+a23+a33=a12a1+a22a2+a32a3≤(a12+a22+a32)max(a1,a2,a3)<

对于定理12，这里给出的证明过程隐含着一般性的方法.定理12已得到普及，定理1可以看作是定理12的发展[8-15].