基于Copula函数的电网规划指标相关性分析及建模

丁家满 唐渐 王清心 杜奕

摘 要： 电网规划决策中，忽略指标间的相关性将影响整个电网规划的可靠性和经济性，引起工程计算的误差，进而影响决策的准确性。电网规划指标间不仅存在线性相关还存在非线性相关，单纯以线性相关为基础的分析研究不能完整精确地表达其相关性。为此，提出基于Copula函数的电网规划指标的相关性分析及建模方法，并引入了相关性测度。首先采用核密度估计法确定变量的边缘分布及图形观测法选取Copula函数，并利用极大似然法进行参数估计。然后以经验Copula函数为基础计算欧氏距离值，评价二元正态Copula和二元t?Copula两模型的优劣。最后，以某省电网规划方案的数据为样本进行实例验证，结果表明所提方法构造的Copula函数模型的有效性，不仅能有效刻画指标间的相关结构和尾部相关性，而且能更好地反映指标间的秩相关性。

关键词： 相关性； 电网规划； Copula函数； 核密度估计； 尾部相关性； 建模

中图分类号： TN99?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）17?0095?07

Abstract： The correlation between indexes will affect the reliability and economy of the whole power grid planning in the decision of power grid planning， which leads to the error of the engineering calculation， and misleads the accuracy of decision. The linear correlation and nonlinear correlation exist in the power grid planning indexes. The analysis and research only based on a linear correlation can′t express the correlation between indexes completely and precisely. Therefore， the correlation analysis and modeling method of power grid planning indexes based on Copula function is proposed， and the correlation measure is introduced. The kernel density estimation method is used to determine the marginal distribution of the variables. The graph observation method is used to select the Copula function， which is estimated with the maximum likelihood method. The empirical Copula function is adopted to calculate the Euclidean distance， and evaluate the merits of bivariate normal Copula and bivariate t?Copula models. The data of a certain provincial power grid planning scheme is taken as an example for instance verification. The results show that the proposed method is effective to construct the Copula function model， can not only depict the correlation structure and tail correlation between indexes effectively， but also better reflect the rank correlation between indexes.

Keywords： correlation； grid planning； Copula function； kernel density estimation； tail correlation； modeling

0 引 言

电网规划是电网建设的重要环节。优秀的电网规划是保证电网安全、稳定、经济运行的基础，同时也是保证电力建设资金合理、有效、充分利用的重要前提。电网规划方案作为电网工程的前期工作，具有十分复杂的特点，其复杂性表现为指标的不确定、相关性、规模大和专业领域广。多指标间某个指标的变化会使其他指标对应的改变，也就是多随机变量相互间存在相关性。如果忽视这种关系可能引起工程计算中的误差，并对电力系统安全运行及经济效益造成影响。因此，在电网规划过程中有必要对各指标规律和彼此间的相关性系统地进行精确建模，以量化电网规划中的不确定性给电网带来的影响，实现电力系统安全经济运行。针对电网规划方案中多指标问题，文献[1]将可靠性评估的方法引入电网规划流程，并提出了考虑可靠性、安全性和经济性的指标体系以及综合评价规划方法；文献[2]构建了多权重因子影响的电网规划指标评价体系，并制定了各评价指标的计算方法和评判标准；文献[3?5]提出电网规划方案中多指标的整体评价决策方法；文献[6]针对配电网规划问题，提出一种可靠性指标的改进显式估算算法，但未考虑前期指标之间存在相关性；文献[7]应用相关性分析方法进行指标间的优化筛选，但未对筛选的指标做任何处理，导致不能全面的衡量指标的特性。另外在电力系统其他方面的相关性建模问题中，文献[8]提出三阶多项式正态变换方法，文献[9]提出九阶多项式正态变换，但是这两种方法都是基于线性相关系数建模，不适合于描述非线性关系；文献[10]采用秩相关系数描述全局非线性相关性，但无法反映全部的相关特征，如尾部相关性等。

电网规划指标之间往往是线性及非线性相关都同时存在，单纯以线性相关为基础的分析研究不能完整精确地表达其相关性。Copula函数作为一种刻画变量之间相关性机制的工具，构造出的模型几乎包含了所有的线性与非线性相关性信息，且建模步骤简单，使用灵活，使用范围广，如在电力领域中的最优潮流[11]、风险评估[12]、概率潮流[13]和可用输出能力评估等。文献[14]通过建立基于Copula理论的风速与负荷相关性模型，提出了一种计及二者相关性的配电网重构优化方法；文献[15]提出一种基于核估计理论与Copula函数相结合的风电场出力相关性分析方法；文献[16]以ASV?EVT模型为边缘分布，运用Copula簇方法研究了QFII和HS300指数之间的相关关系。利用Copula函数描述变量间的相关性的优点主要有以下几点：边缘分布不受限制，即使是不同分布的随机变量，其相关性也可以用Copula函数描述；Copula函数可以描述随机变量间的非线性相关性，并且对随机变量进行线性单调增加变换时，由Copula函数导出的相关性测度不发生改变；Copula函数可以捕捉变量间特殊的相关关系，如非线性，非对称及尾部结构等，它是一种突破性的非线性相关模型，更加符合实际情况。

基于以上所述的优点与特性，本文用Copula函数构建电网规划指标间相关性模型。以电网规划中的供电可靠率和电压合格率两个指标的数据样本为例展开了实证研究，验证了Copula建模的有效性。结果表明本文提出的方法构造的Copula函数模型能较好地反映两指标间蕴含的相关性和指标间尾部的特征，而且能更好地反映指标间的秩相关性。

1 Copula基本理论与相关性测度

1.1 Copula的基本理论

Copula函数定义域为[0，1]的二元分布函数，其实际意义是连接两个随机变量的边缘分布和联合分布，建立边缘分布和联合分布的映射关系，将边缘分布和联合分布分开研究。令二维随机变量[X，Y]的联合分布函数为[F]，边缘分布分别为[H]和[G]，Sklar定理指出存在着一个Copula函数[C（?）]，使得：

Kendall秩相关系数[τ]和Spearman 相关系数[ρ]可以通过Copula函数唯一确定，但Copula函数的种类繁多，不同的Copula函数所求出的[τ]不相同，因此相关性测度的准确性依赖于所选取Copula函数的拟合度。

2 基于Copula函数的电网规划指标相关性分析及建模方法

结合1.1节所述相关定理，可将Copula相关性建模的构造步骤分为三部分：首先是确定变量的边缘分布；然后根据随机变量相关性特点选取合适的Copula函数；最后根据所选择的Copula函数，估计Copula模型中的未知参数。

2.1 确定边缘分布函数

对电网规划的某个指标历史数据做如下处理：利用Matlab画出指标的频率直方图（见图1），并求得其偏度值为-0.472 0，峰度值为3.057 4；由此可知该指标分布较正态分布呈现尖峰厚尾特性，并对其进行Kolmogorov?Smirnov检验发现并不服从正态分布，故本文采用核密度估计法确定指标边缘分布。设随机变量[X]的样本点为[（x1，x2，…，xn）]，[n]为样本个数，其概率密度函数为[f（x）]，则核密度估计公式为：

2.2 选取合适的Copula函数

根据电网规划指标间相关性的特点，选取合适的Copula函数。常用的Copula函数包括Gumbel?Copula，Clayton?Copula，Frank?Copula，Normal?Copula，t?Copula。这5种函数（见表1）可以较好地对二元相关性进行建模，本文采用图形法利用Matlab编程画出变量的二元频率直方图选取Copula函数。假如电网规划[X，Y]两个指标的二元频率直方图是非对称分布，就可以把Gumbel?Copula，Clayton?Copula作为备选。假如两个指标的[X，Y]的二元频率直方图是对称的，可以将t?Copula，Normal?Copula，Frank?Copula列为备选。

2.3 参数估计

参数估计常见方法有极大似然估计、分步极大似然估计和半参数估计，其中前两种方法需要知道或者估计变量的边缘分布。由2.1节提出的核分布估计法可以确定电网规划指标的边缘分布，且文献[17]指出分步极大似然估计法得到的参数估计值渐进正态，并且计算量小，容易实现。因此本文利用分步极大似然估计方法，考虑一般情况，假设电网规划指标[X，Y]，其边缘分布函数为[u=Hx]，[v=Gy]；概率密度函数为[hx，gy]；联合概率密度函数为[fxyxy]；[xi，yi]为样本点，[i=][1，2，…，n]，由式（3）以及极大似然定义得出似然函数为：

平方欧氏距离反映了Copula函数拟合原始数据的情况，取值越小，Copula函数的拟合程度越好。

3 算例分析

本文以電网技术性能评价指标体系，结合某省电网规划的供电可靠率和电压合格率的原始数据为例进行研究，两个指标的原始数据如表2所示。

3.1 确定指标的边缘分布

电网规划指标边缘分布的确定可分为参数估计和非参数估计两种方法。核密度估计属于非参数法，相比于参数估计法，其不需要分布的先验知识和任何概率分布形式的假设，仅从指标数据样本出发，研究指标数据样本特征，可通过经验分布验证核密度估计的准确性。根据2.1节提出的核密度估计法，由表2提供的电网规划中供电可靠率和电压合格率两个指标的历史数据，可确定两个指标的边缘分布[H（x），G（y）]。如图2所示，图中虚线为核分布估计，实线为经验分布函数，经验分布函数是实际分布函数的一个逼近，可与其对比判断估计的精准。由图可知核密度估计的边缘分布与样本经验分布基本一致，很好地刻画了两个指标的规律。

3.2 选取适当的Copula函数

在确定了供电可靠率的边缘分布[u=H（x）]和电压合格率边缘分布[v=G（y）]后，利用Matlab编程画出供电可靠率和电压合格率的二元频率直方图，根据二元频率直方图的形状（见图3）选取恰当的Copula函数结构。

图3为频率直方图，可作为[u，v]联合密度函数（即Copula密度函数）的估计。[u，v]联合密度函数（即Copula密度函数）具有对称的尾部，再参考表1中5种Copula函数各自的特性，可以初选表1中的Normal?Copula函数或t?Copula函数描述供电可靠率和电压合格率间的相关模型，最后通过拟合优度检验确定最终模型。

3.3 参数估计

3.4 模型的评价

通过比较表3中平方欧氏距离可知，二元Normal?Copula与经验Copula的平方欧氏距离为[d2t=]0.614 9，二元t?Copula与经验Copula的平方欧氏距离为[d2Ga=]0.019 0。因此，在欧氏距离的指导下，可以认为二元t?Copula和经验Copula能更好地拟合供电可靠率和电压合格率两个指标间的相关性。

对比图4a）和图5a）的图形可看出：二元Normal?Copula中相关参数[ρ1=0.930 2]与二元t?Copula的相关参数[ρ2=0.999 6]相比，二元t?Copula的密度函数具有更厚的尾部特征，说明该函数能更好地反映指标变量间尾部具有的相关性。再分别将图4b）和图5b）与图6对比发现：图4b）与图6在中间部分有明显差别，说明在此范围中二元Normal?Copula分布不能很好地反映供电可靠率和电压合格率的关系；图5b）与图6虽然在底部有细微的差别，但其他部分拟合较好，说明二元t?Copula函数模型能更好地拟合供电可靠率和电压合格率之间的关系。

此外，表3中给出了几种随机变量相关性度量系数。Pearson系数表示随机变量间线性相关性，Kendall表示随机变量间的变化趋势一致相关性，Spearman表示随机变量变化一致与不一致的概率之差倍数。对比可知，二元t?Copula分布的Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数均与经验分布的秩相关系数更接近。说明二元t?Copula比二元Normal?Copula能更好地反映供电可靠率和电压合格率间的秩相关性。

4 结 语

电网规划指标间的相关性对后期电力系统的正常运行、风险分析具有重要的意义。本文以Copula理论为基础，提出核密度估计法确定指标的边缘分布，采用分步极大似然估计法和经验Copula及欧氏距离定理，对所选取的Copula函数进行参数估计和Copula函数模型的拟合优度检验，使最终选取的Copula模型更贴合实际分布。实例分析结果表明，二元t?Copula函数比二元正态Copula函数能更好地刻画供电可靠率和电压合格率之间的相关结构，避免了传统相关性分析中只关注相关程度的缺点，能够准确地刻画指标间的尾部特征。

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